北大力学课件00数学补充知识

0第零章数学补充知识A行列式B矢量的代数运算C一元函数微积分D多元函数微积分1A行列式A.1行列式21-1-1-2-1112zyxFzkFyjFxi2333231232221131211aaaaaaaaa元素：ijai:行标;j:列标22211211aaaa11a三阶行列式可以一般地表述成2阶、1阶、零阶行列式分别表述成3行列式的运算规则可用下述递归方式定义：定义1111111aaa1221221122211211aaaaaaaa232213123133321312213332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa4性质1：行列可互换性zyxzyxFFFzyxkjiFzkFyjFxi5性质2：一行的公因子可以提出333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaakkkk6性质4：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。0333231131211131211aaaaaaaaakkk性质3：对换行列式中两行的位置，行列式反号。7A.2应用333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD引入分母行列式线性代数方程组82D,aabaabaabD33323232221312113,2,1iDDxii引入分子行列式方程组的解能表述为9例1.公比0≤q＜1的无穷等比级数求和qSaaqaqaqaqaaqaqaqaS3232qaS110例2.求无穷串并联系列的电阻RAB设AB间的电阻为RAB则有ABABRRRR111211思考题1：取火柴游戏N根火柴，2人取，每人一次取1至a根，最后取者为负（a1)对先取者，什么样的N是必胜态，什么样的N是必败态12思考题2：机器猫与玩具鼠鼠猫不动0123½½只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠的概率P=？13B矢量的代数运算B.1矢量的叠加与分解既有大小，又有方向的量是矢量，记为A标量：只有大小，没有方向矢量的大小称为矢量的模，记为A单位方向矢量AAAA/或14万有引力定律rrMmGF3MmFr15矢量的代数性质矢量的叠加:矢量的和标积和矢积：矢量的乘矢量与标量的关系数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量BA矢量之间的关系16321321A)AA(AAACBAABC两个矢量的和矢量的叠加满足交换律和结合律17矢量的分解xyzijkAxAyAzAxyAijkkAjAiAAzyxzyxzyxA,A,A或A,A,A:Ax轴单位矢量y轴单位矢量z轴单位矢量可简写为:kBAjBAiBAkBjBiBkAjAiABAzzyyxxzyxzyx18k维空间ik1ikk2211eAeAeAeAAik1i2iAAie)B(ABAk1iiiK维空间矢量矢量的模矢量的和19思考题3：k维空间正方“体”顶点数棱数面数面积体积3维正方体81266a2a32维正方“体”4444aa21维正方“体”2122a20(1)从度量的角度分析，为什么数学上给出S1=2(2)对k维空间正方“体”，用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数；若棱长为a，再求它的“体积”Vk和“面积”Sk21B.2矢量的标积πφ0规定cosφBAABAB//Bφ//ABAABBA////显然有矢量的模量AAA22矢量标积的一些基本性质BABAB)AA(ABBA)BAα(B)A(α2121)(为标量BABABABA)BB()AA(22122111212123三维空间0ikkjjizzyyxxzyxzyxBABABA)kBjBi(B)kAjAi(ABA单位矢量的标积满足正交性归一性1kkjjiiiAxA矢量的某一分量24j若i1j若i0δeeijjik维空间ik1iiBABA正交归一性25例题3重力功的计算balΔ)g(mWz平面xyabazbzPlgmbazmgmgh)zmg(zab26B.3矢量的矢积或由左手系确定的方向或由右手系确定平行四边形的面积）,(sinCφABC:CBA三维空间两个矢量的矢积定义为ABφB(右)C(左)C27矢积的一些基本性质)BAα(B)A(α221221112121BABABABA)BB()AA(ABBABABAB)AA(2121反交换律分配律进一步可导出其它较复杂的公式,例如28BAkBAjBAiBAzzyyxx0kkjjiijik;ikj;kji矢积只能在三维空间中进行,对于坐标基矢有矢积的行列式表示29例4矢积在物理学中的应用一FrMprLBvqF力矩角动量洛仑兹力30baBlIΔF安培力毕奥-沙伐尔定律304rrlIBlIBablIrP例5矢积在物理学中的应用二31B.4矢量的三重积zzzyyyxxxCBACBACBA)CB(A几何意义：平行六面体的体积)(CBAABC)BA(C)AC(B)CB(A三重标积的循环可交换性三重标积32C)BA(B)CA()CB(A矢量的三重矢积)(CBA0)CB(A共面C,B,AABCCB三重矢积必在B、C确定的平面内，是B、C的线性组合。33A组2、3、6、8、10、11、14、15、18B组22、23、24数学补充知识作业题34C一元函数微积分C.1微分一元函数可记为y(x)yxyxxxyyy或OF(x)y自变量x的增量:x函数增量:)()(xyxxyy35BAyxxAy)y()Δy(Δyxxx线性函数当自变量的增量很小时，其它函数的增量能否写成类似的形式？36抛物线函数2Ayx2)A(ΔΔA2Δyxxx含有高阶无穷小，其它函数类似。37xsinyxeyxxxxsincos1)(cosΔsinΔy)1(xxeey38)()(xydxxydy自变量增量0x时,称为自变量微分,改记成dx相应的函数增量0y,称为函数微分,记成dydy与dx的关系微分——忽略高阶无穷小AdxdyBAxy,dxdxxAdyAxy)2(,2dxxdxxdyxysincos)1(cossin,sin39AxBdxAxAxBdxAx简书为1cos1cosdxdx简书为dxdxdxdxsinsin简书为dxdxdxdxtantan简书为edxedxdxdx11)1()1(简书为数学上可以证明,对无穷小量dx,有6427482178525165475945713407663035377274966967620936999595249775724766028747135259045235367182818284.2e40C.2微商（导数）)(dxdyxyxxyxxyxy)()(定义dxdyy或OxxyyPQxy几何意义:平均变化率函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率tan)()(dxxydxxydxdyy41例6函数导数的几个实例AyBAxyAxyAxy22sinxyxdxdxxdxdxxycossincos1cossinxyxysincos42导数的一些重要性质22112211yAyAyyAyAy212121yyyyyyyy22212121yyyyyyyyy43复合函数的微商)()(xuuuyyxuxuyy链式法则:xuxuydxdududydxdyy44例7几个函数的求导)sin(CBxAyCBxuuAysin可看作)cos()cos(CBxABBuAuyyxux45xAycos可变换为)2sin(xAy即得xAxAysin)2cos(46xytan可变换为xxycossin即得xxxxxxy22''cos1cos)(cossincos)(sin47,2,1kxyk可递归地得到1kkxy)()()()(11111kkkkkkxxxxxxxxxx1x既有48三个常用导数公式1)(xx是任意实数aaaxxln)(xx1)(ln?xe49二阶导数dxdydxddxydy)(简写成22dxydynnndxydy)(依此类推,n阶导数记作50例如,2,1)()(keexnx,2,1,0cossin)14(kxxkxxksinsin)24(xxkcossin)34(xxksinsin)44(51增加而增加随xyxy0)(极大值或极小值?则由该点的二阶导数来确定增加而减小随xyxy0)(对应极值点0)(xy导数与极值OxyyPx0xQMdxydy520)(0)(00xyxy极大值点0)(0)(00xyxy极小值点OxyyPx0xQMN53非极值点，称为拐点xy3xy0)0(y0)0(y在x=0处54例题找出xsin的全部极值点,2,1,0)21(2k0kx极大值点极小值点,2,1,0]21)1(2k[0kx55泰勒展开))(()()()(0000xxxydxxydyxyxy导数的一个重要应用——函数的幂级数展开dxxx00自变量函数增量也可写成))(())(()(00000xxxyxxxyxy猜想函数有如下的幂级数展开0030320201000)()()()()()(nnnxxAxxAxxAxxAxxAxy-----泰勒(Taylor)级数56确定泰勒级数的展开系数展开式两边对x依次求导,再取x=x0,可确定所有项的系数,2,1),(!1),(0)(00nxynAxyAnn泰勒级数的收敛性因为y(x)是有限的,所以至少要求0))((!1)(,00)(0nnnnxxxynxxAn57函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。xxsin11)1(1xx111xx11)1ln(xxxxcosxexx0=0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数582468-101第1项!7!5!3sin753xxxxx前3项前2项前4项前9项59!7!5!3sin753xxxxx!6!4!21cos642xxxxxixeixsincos奇函数偶函数例题8导出欧拉(Euler)公式60!5!