北大力学课件01质点运动学

0第一章质点运动学11.1空间和时间时间和空间的测量绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变。绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关。牛顿——《自然哲学的数学原理》时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系2WirelessGPSSynchronizedClockSystem3参考物：选取的一个有固定大小和形状的物体。相对参考物，可以确定其它物体的位置。参考空间：沿左右、前后、上下三对方向无限扩展，构成三维平直空间参考系：参考空间+测量时间的时钟坐标系：在参考空间中任选一点作为原点，可建立各种坐标系。时间的零点也可任选xzyO参考系4相对运动的参考系两个参考系之间若有相对运动，他们观测同一个运动物体是否会得到相同的距离和时间？xzyOv5由繁到简将物体模型化为一个点——质点由简到繁质点——质点系质点61.2直线运动1.2.1位移速度加速度直线运动的运动方程)(txx)(tx)(ttxx位移)()(txttxx矢量的标量化：引入正负号即可表示方向7平均速度和瞬时速度txO)(tx)(ttxtxPQ切线割线平均速度txv瞬时速度txvt0lim某一点的导数将该点的函数值与它相邻的函数值联系起来求导↔积分历史上，正是由于牛顿在处理这类基本力学问题时需要一种适当的数学工具，才促使他创建了微积分。8平均速度txv不能反映各个时刻的运动瞬时速度，简称速度dtdxv加速度22dtxddtdva瞬时速度txvt0lim9如果已知加速度随时间的变化tttvvdttadvvtv00)()()(0ttdttavtv0)()(0ttdttvxtx0)()(0质点的运动状态：),(vx质点的初始运动状态：),(00vx10例题物体在t0时刻的初始运动状态为(x0,v0)，加速度求t时刻的位置和速度)(00ttbaa先求t时刻的速度adtdvttttttdtttbaadtdv000)]([00微分关系式两边积分])(21[])(21[])(21[2000020020000ttbtattbtattbtavvtt1120000)(21)(ttbttavv再求t时刻的位置vdtdx微分关系式ttttttdtttbttavvdtdx000])(21)([20000两边积分30200000)(61)(21)(ttbttattvxx物体运动的初始状态与积分常数一一对应121.2.2三类直线运动直线运动可按加速度为零、常量和变量分为：匀速、匀加速和变加速23例简谐振动)cos(0tAx)sin(0tAvxtAa202)cos(13例小球A在倾角为φ的光滑斜面顶部从静止下滑，同时小球B在斜面底部从静止开始匀加速离开斜面。若A不能追上B，试求B的加速度a的取值范围。AB分析：a越小，A越能追上B，先求A恰能追上B的加速度临界值。设A滑到底部的速度为vA，所用时间为t1sin1gvtA经t2时间，A恰能追上B的条件路程2212)(21ttatvA速度)(21ttavAsin21gaB的加速度a的取值范围sin21ga14第一章作业A组4，5，7，9，11，1314，15，17，18，23，25B组26、33、34151.3平面曲线运动直角坐标系自然坐标系极坐标系161.3.1直角坐标系分解在质点运动的平面上建立直角坐标系OxyxyO)(trP位置矢量jyixr)(trr质点的平面曲线运动方程这个运动方程有两个分量式)(),(tyytxx平面曲线运动可正交地分解为两个直线运动17xyO)(tr)(ttrrixjyPQ速度rjdtdyidtdxdtrdvrjdtdvidtdvdtrddtvdayx22t时刻质点位于P处，位置矢量t+dt时刻质点运动到Q处，位矢)(tr)(ttr位移)()(trttrr加速度18例空心入篮Oxy水平线v12xAA抛射角21122sin21cosgtvtx122cos21singtvty0y12cossin2gvt11122sin)2sin(cosAgxv无极大值，但有极小值24510极小值对应的抛射角191.3.2自然坐标系分解自由度：确定物体的运动状态所需的独立坐标的数目。限定在一条曲线上运动：限定在圆周上运动：222Ryx曲面上运动的质点最多有两个自由度20圆周运动dvd//vdvd)(tv)(dttv角速度dtd角加速度22dtddtd圆周运动加速度可分解为切心aadtvddtvddtvda//2RdtdRdtvddtdva心RdtRddtdva//切速度RdtdRv与速度垂直，改变速度方向与速度平行，改变速度大小21无限小角位移矢量d⊙k)(tr)(ttrkdd初、末态矢量与转动正方向满足右手螺旋法则无限小角位移与有限角位移的区别？22有限角位移不是矢量不满足矢量加法的交换律23d角速度kdtd角加速度kdtkdkdtddtd⊙k)(tv角速度和角加速度都沿转轴的方向无限小角位移是矢量24dvRdtRdRdtddtvda)(tv转动引起的无限小位移RRdRdRd速度加速度RRdtddtRdv⊙kRava切心,25曲线的曲率和曲率半径dddl曲率曲率半径dldddl曲率正比于转过的角度，反比于经过的路程。26自然坐标系vn自然坐标系的两个正交基矢n沿速度方向指向曲率圆的圆心aaan加速度在自然坐标系中的分解dtdvavdtdldlvddtvdan2切向单位矢量法向单位矢量27计算曲率半径的运动学方法（1）假设一种沿曲线的简单运动（2）计算各点的速度（3）计算各点的加速度（4）计算与速度方向垂直的加速度分量，即向心加速度（5）计算曲率半径心av228例椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径AB假设一沿轨道的运动tBytAxsin,cos求速度和加速度tBatAatBvtAvyxyxsin,coscos,sin22求向心加速度在(A,0)处2Aa心在(0,B)处2Ba心代入公式，曲率半径?,2BAABBA2291.3.3极坐标系分解)(trree极坐标系),(r基矢),(eer任意矢量的分解eAeAtrArr),,(与直角坐标系的变换sin,cosryrx30正交基矢与极坐标的微分关系)(trreedededrreded正交基矢只依赖，与r无关当θ变化时，正交基矢同时改变方向满足微分关系31极坐标系中位置矢量、速度和加速度的表示位置矢量rerr速度vvedtdredtdrdtedredtdrdterddtrdvrrrrr)(rrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度32)(trreerrrrevedtdrvevedtdrv径向速度横向速度径向速度依赖r随时间的变化和径向基矢横向速度依赖r、θ随时间的变化和横向基矢当r和θ随时间变化时，径向速度的变化包含两项横向速度的变化包含三项径向基矢和横向基矢依赖θvvrv33rrredtddtdredtdredtddtdredtddtdredtrdedtdredtdrdtddtvda2222径向速度大小的变化径向速度方向的变化r增大引起横向速度的变化角速度增大引起横向速度的变化横向速度方向的变化34edtdrdtddtdredtdrdtrdeaeaaaarrrr222222径向加速引起横向旋转引起径向变化与横向旋转共同引起加速旋转引起加速度35平面极坐标系中质点运动的轨道方程在平面上，质点的运动方程)(trr在极坐标系中，质点的运动方程)()(ttrr消去时间参量t，得到极坐标系中的质点运动轨道方程)(rr若已知径向速度与横向速度，利用vrvddrr通过积分，可以得到轨道方程)(rr36例狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。求狗的速度、加速度和轨道方程。狐狸的角速度Rvdtd狗有横向和纵向速度22,vvvrvr狗的横向和纵向加速度22222,2dtdrdtrdadtdrdtddtdrar轨道方程22rRvvrddrr0022drRdrrsinRr37r例四点追击四支狗开始位于边长为l的正方形四个顶点上，追击速度v保持不变，求开始时狗的加速度、相遇的时间和轨道方程。分析：四支狗始终成一正方形经过时间间隔dtlvdtd/vdvd加速度lva/2沿径矢的分速度不变相遇的时间rvvrddrrler22381.4空间曲线运动1.4.1质点的空间曲线运动xyO)(tr)(ttrrPQzxyz质点的位置矢量kzjyixr运动方程)(trr)(),(),(tzztyytxx可分解成三个直线运动方程39位移)()(trttrr速度kvjvivkdtdzjdtdyidtdxdtrdvzyx加速度kajaiakdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzyx401.4.2质点系和刚体的空间运动物体的形状不可忽略若物体内各个点部位的运动相同，整个物体可近似为质点。若物体内各个点部位的运动不相同，将它分解成一系列无穷小部位，每个小部位可处理为质点，物体→质点系力学中质点系是普适性的系统模型41刚体的运动刚体的自由度刚体的平动刚体的定点转动刚体的定轴转动质点在空间中自由运动，有三个自由度。宠辱不惊，闲看庭前花开花落；去留无意，漫随天外云卷云舒。421.5参考系间的相对运动1.5.1参考系间的平动zy'OrPxyz'O'rx'S'系S系两个参考系观测同一质点的运动时间tt位置矢量)()()(trtrtrOOr43平动：参考系S'的基矢相对参考系S不变，参考系S'的基矢不随时间变化。,0i)()()(trtrtrO位置矢量速度)()()(tvtvtvO加速度)()()(tatataO441.5.2参考系间的匀速定轴转动y'OrPxyO'rx'S'系S系⊙转动参考系：相对S系，S'系绕着它的某一点O'匀速定轴转动。转动角速度沿z轴方向。两个坐标系的原点和z轴重合在两个坐标系中质点P的jyixrjyixr速度加速度jyixvjyixvjyixajyixa位置矢量45y'OrPxyO'rx'S'系S系⊙质点P相对S'系静止，相对S系作匀速圆周运动。在S'系质点P的速度、加速度皆为零