北大力学课件07振动和波

1第七章振动和波2振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。3§7.1简谐振动的运动学描述§7.1.1运动方程简谐振动：匀速圆周运动在任意直径方向的分运动xt振动：物体在平衡位置附近的往返运动4简谐振动的运动方程)cos(tAxAxt周期2T频率2/1T角频率振幅A相位t初相位5§7.1.2同方向同频率简谐振动的合成)cos(),cos(222111tAxtAx合振动一个质点同时参与两个同方向、同频率的简谐振动)cos(212212221AAAAA)cos()cos()cos(2211tAtAtAx22112211coscossinsintanAAAA合振动的振幅与相位差有关6§7.1.3同方向不同频率简谐振动的合成)cos()cos(2211tAxtAx考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动ttAxxx2cos2cos2121221合振动包含一个随t变化较慢的余弦因子和一个随t变化较快的余弦因子2121122或当两个振动的频率非常接近时7合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动振动的强弱与振幅的平方相关，这种周期变化的现象称为拍。12拍拍是一个重要的现象，有许多应用。拍频---只与振幅的大小有关，例如从零再变到零。21拍8§7.1.4方向互相垂直、同频率简谐振动的合成)cos()cos(yyxxtAytAx如果两个振动频率相同，但一个沿x方向、一个沿y方向这是以t为参量的轨道方程；消去t，可得显式的轨道方程)(sin)cos(222222yxyxxxyxAAxyAyAx为椭圆轨道方程（包括圆，直线段）----椭圆振动9特例1特例2)12(kyx特例3kyx2yxAyAxyxAyAx)2/1(kyx12222yxAyAx其它情况为斜椭圆10§7.1.5方向互相垂直、不同频率简谐振动的合成当两个互相垂直的简谐振动频率不同时，合成的轨道与频率之比和两者的相位都有关系，图形一般较为复杂，很难用数学式子表达。当两者的频率之比是有理数时合运动是周期运动，轨道是闭合的曲线或有限的曲线段这种图形称为李萨如图形（Lissajousfigure）11)cos()cos(yyyxxxtAytAxx、y两垂直方向的简谐振动时，对应不同初相位差的李萨如图形2:1:yxxyO相邻的李萨如图形初相位差为12°123:2:yx4:3:yx相邻的李萨如图形初相位差为12°135:3:yx8:5:yx相邻的李萨如图形初相位差为12°14§7.1.6非简谐振动的简谐分解非简谐振动分为周期性的和非周期性的第一类可以用傅里叶（Fourier）展开第二类可以作傅里叶（Fourier）变换因而非简谐振动都可分解为简谐振动设振动的周期为T，周期函数满足)()(txTtx引入称为基频率，简称基频T2nn次谐频（n=2为二次谐频，其它依此类推）15傅里叶级数：,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1tntntttt它们都具有周期T，且有正交性和完备性TTTmnTmntdtmtnmnTmntdtmtntdtmtn000)(2/)(0sinsin)(2/)(0coscos0cossin正交性1610sincos2)(nnntnBtnAAtx一般的周期性函数都可以用傅里叶级数展开TdttxTA00)(2TntdtntxTA0cos)(2TntdtntxTB0sin)(2x(t)被分解为（除常数项A0/2之外）频率为nω的一系列简谐振动ω，2ω，3ω，…构成离散的傅里叶频谱An，Bn为相应简谐振动的振幅17例6方波xtO1T0)(200TdttxTA0cos)(20TntdtntxTA为正整数mmnmtdtntxTBTn,12,)12(4sin)(20TntTnTTnTtnTtx)1(2/,12/,1)(18ttttx5sin513sin31sin4)(19例7锯齿波xtO1TTntnTtTtx)1(,21)(0)(200TdttxTA0cos)(20TntdtntxTAntdtntxTBTn2sin)(2020ttttx3sin312sin21sin2)(21简谐振动的复数表示法)()cos(tiAetAdtetxAdeAtxtiti)(21)()(21)(傅里叶变换)(A构成连续的傅里叶频谱非周期性振动的傅里叶分解非周期性的振动，可理解成T→ω的周期振动，基频ω→0，分解出的简谐振动频率间距ω→0，对应的振动频谱是连续谱。22例8δ函数定义)0(,1)0,0,(,0)()0(,)0(,0)(bababadtttttba或21)(21)(dtetAti另一种形式的δ函数tkttksin1)(lim性质23detti21)(24简谐振动的矢量图象法21§7.1.7简谐振动的矢量表述和复数表述1A2A21AAA简谐振动用旋转矢量表示AtAx)cos(iAxiAAxxx)(212125简谐振动的复数表示)(0tiAex复数表示的优越之处：求导、积分很方便。)sin()cos(00)(0tiAtAAexti复数的实部对应真实的振动量26例已知简谐振动的角频率ω，并且已测得在某时刻的振动量和振动速度试求振幅和初相位。00,0),2/(avaxtx简谐振动一般表述)cos(tAx代入已知条件cos)2/sin(sin)2/cos(00AAaAAa解得4/or4/1tan20aA考虑到0/sin0Aa4/27第七章作业题A组1、6、7、9、10、12、15、18、21、25、28、33、37、39、45、46、47B组48、52、5528§7.2简谐振动的动力学性质§7.2.1动力学方程匀速圆周运动的质点在直径x方向上的分运动是简谐振动)cos(tAx向心力AmF2心x方向上的分力xmiFFx2心mAxOt线性回复力：力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向指向平衡位置。xmxm202xx动力学方程29例1两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的点电荷qQQaaOxax22)()(xaQqkxaQqkFx为线性回复力xaQqkaxaxaQqkFx32224111130例2两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力0l0lyl3202200001212sin)(2ylkyyllkyllkllkFy不是线性回复力31kxFx线性回复力水平弹簧振子OxFxkkxFmaxxkxxm0xmkx动力学方程32竖直弹簧振子lkmgOyymkyylkmgFy)(合力：0ymky动力学方程平衡位置33复摆（刚体摆）刚体定轴转动定理dtdLMzzsinOCzmglM0ILz0sinImglOC0sin0ImglOC小角度近似00ImglOCOCgm340xmkx动力学方程（二阶常系数线性齐次微分方程）0ymky00ImglOC虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程020xx35动力学方程及其解x的通解形式为020xx)cos(00tAx通解中包含两个待定的积分常量，它们取决于振动的初始运动状态，),(0A),(00vx描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率36振幅A和初相位φ0的确定),(00vx由振动的初始条件0t00000sincosAvxAxx000022020tanxvvxAφ0所在的象限则由sinφ0或cosφ0的符号确定37固有频率ω0弹簧振子单摆复摆mk0lg0OOCImgl0任一振动系统的固有频率由振子的固有参量决定，与初始条件无关。0020338例圆柱形冰块轻轻按入海水中，让它竖直方向上自由运动，略去所有阻力，求冰块运动周期。12hHHh2122第一阶段：冰块顶部匀加速上升至水面水中冰块所受合力HSgF)()1(12上升的加速度冰块顶部到达水面的时间和速度ga112)1(211221)()1(,)1(gHvgHt39120hy平衡位置第二阶段：简谐振动O平衡位置HhSghHHSg2120021)(冰块受力gSygHSSgyhHF2102)()2(冰块作简谐振动HgtAy12),cos(由振动的初始条件确定振幅和初相位4/,2))1(,(00hAvh40冰块顶部上升到平衡位置上方y=A处，速度降为零，所用时间满足1)cos(2tgHt2124343竖直向上运动时间21ttt冰块运动周期gHtT21)232(43241例小球A，B，B'在光滑的水平面上沿一直线静止放置。B，B'质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让A对准B匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到A和B两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和B两球的质量比。ABB设B的质量为m，A的质量便是γm第一阶段是弹性碰撞第二阶段：A做匀速直线运动；B，B'的质心做匀速直线运动，B，B'相对质心作简谐振动。0v弹性碰撞2022021)0(2121,)0(mvmvmvmvmvmvBABA0012)0(,11vvvvBA42B的直线运动=匀速运动+简谐振动B，B'的质心做匀速直线运动01)0(21vvvBcB相对质心的初速度01)0()0(vvvvcBB简谐振动的频率mk/2简谐振动的初始条件01)0(,0)0(,0vvxtBBB相对质心的简谐振动tmkkmvxB2sin21043B的运动000012cos112sin21vtmkvvvvtvtmkkmvtvxxcBBcBBA做匀速直线运动0011,11vvtvxAA在某时刻，A和B相遇不相碰的条件：)()(),()(0000tvtvtxtxBABA整理后得到21,11tan222数值计算60.4,494.41244例复摆小角度近似00ImgrCOC200,2CCCmrIImgrITCCCCCrmrIrmrIl00复摆的等时摆长CrglT/2045OCOCrCrCCrrl0的点O'保持周期不变，称为O的倒逆点过