北大量子力学期末试题B及答案

量子力学期末试题B姓名学号题号ⅠⅡⅢⅣⅤ习题总分成绩Ⅰ.（35分）回答下列问题：A.写出电子在外电磁场(ϕ，A)中的哈密顿量；B.反常塞曼效应的特点，引起的原因；C.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式；D.若yxiσσσ±=±，求2±σ；E.体系处于)t,x(ψ态，a.几率密度?)t,x(=ρ；b.几率流密度?)t,x(j=；c.证明：xjt∂∂−=∂∂ρ。F.处于位势22xm21ω中的两个无相互作用的粒子，试分别给出它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度，a)非全同粒子；b)自旋为21的全同粒子；c)自旋为0的全同粒子。Ⅱ.(14分）用试探波函数a/x)x(e−=ψ，估计一维谐振子基态能量和波函数。Ⅲ.（16分）设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为∃H，它在∃H0表象中的表示为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΔΔ=00EEEEHˆ，A.求∃H的本征值和本征态；B.若t=0时，粒子处于φ1，它在0Hˆ表象中的表示为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01。试求出t0时的粒子波函数；C.绘出粒子在φ1态的几率随t的变化（以η/EΔ为单位）。Ⅳ.（15分）0=t时，氢原子处于基态π4/)r(R10100=Ψ，后置于电场)0,0,eE(E/t0τ−=中。求∞→t时，发现氢原子处于激发态),(Y)r(R1121211ϕθ=Ψ的跃迁几率（一级近似下）（径向矩阵元不必具体计算出来；不计及电子的自旋）。(提示：)YY(32r(r1111−=−π，)(321111YYir+π−，)3410Yrπ)Ⅴ.（10分）两个电子处于自旋单态，1σ和2σ分别表示两个电子的Pauli算符。设a和b为空间任意给定的两个方向的单位矢量，求关联系数)b,a(C，即)b)(a(21σσ⋅⋅的平均值。量子力学期末试题B答案和评分Ⅰ.(35分)A.ϕ−⋅++=eBSˆme)Aˆepˆ(m21Hˆ（4分）B.碱金属原子能级偶数分裂（1分）光谱线偶数条（1分）分裂能级间距与能级有关（1分）由于电子具有自旋（1分）C.10HˆHˆHˆ+=,k0kk0EHˆϕ=ϕ(2分)k1k)1(kHˆEϕϕ=，∑≠−ϕϕ=ks0s0k2k1s)2(kEEHˆE（2分）D.0222=σσ+σσ+σ−σ=σ+σσ+σ=σ+)(i)i)(i(xyyxyxyxyx（2分）0222=σσ+σσ−σ−σ=σ−σσ−σ=σ−)(i)i)(i(xyyxyxyxyx（2分）E.2)t,x()t,x(ϕ=ρ（2分）)t,x(dxd)t,x()t,x(dxd)t,x([mi)t,x(j**ϕϕ−ϕϕ−=2η（2分）ϕ∂ϕ∂+∂ϕ∂ρ=ρtt)t,x()t,x(dtd**)VVmp(i)Vmp(i***x*x*ϕϕϕ−ϕϕ+ϕϕ=212122ηη)xdxd(xm2i**ϕ∂∂ϕ−ϕϕ∂∂=η因*VV=x)t,x(j∂∂−=（2分）F.a）基态0nn21==ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,1n,0n110n1n22==ωη2二重（1分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,1n,2n,0n1111n0n2n212===ωη3三重（2分）b）基态0nn21==00χ（总周旋为0）ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,n,n10110122==nnm100χχ)()(二态相减二态相加ωη2四重（2分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,n,n,n120111102212===nnn00100χχχm)()(相减相加ωη3五重（2分）c.基态0nn21==ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,n,n10110122==nn)(二态相加非简并（1分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,n,n,n120111102212===nnn)(二态相加二态简并（2分）Ⅱ.（14分）归一化∫∫∞−∞−==+0220221aA)dxedxe(Aaxax，aA1=（2分）∫∫∞∞−−∞∞−−−ω+−−=dxexmdx]exx)a[(dxdeamEaxaxax)a(22222112η22221211212amdx)eae(e)a(amaxax)x(axω+−δ−−=∫∞∞−−−−η22222121122am)aa(maω+⋅−=η2222412ammaω+=η（6分）（动能计算错扣3分）另一种求法2224121amdxepˆeamEaxxax)a(ω+=−∞∞−−∫222411121amdx)exxai()exxai(amax*axω+−−−−=−∞∞−∫ηη22232412amdxemaaxω+=∫∞∞−−η2222412ammaω+=η021232=ω+−=ammaE')a(η,22242ω=maη（3分）ω=ωω+ω=ηηηη21241222222222mmmmEmin（3分）axea−=ψ1,ω=maη22（结果错扣3分）Ⅲ.（16分）A.000=−ΔΔEEEEE,∴EEEΔ±=±0EEEΔ+=+0，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+1121u（2分）EEEΔ−=−0,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−1121u（2分）B.−+−−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ψuuuaua)(2121010（4分）ηηt)EE(it)EE(i)t(eeΔ+−Δ+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ψ0011211121⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Δ−Δ=−ηηηEtsiniEtcosetiE0（4分）C.几率)tEcos(tEcospηηΔ+=Δ=ϕ212121（2分）（2分）Ⅳ.（15分）201000211211100211∫∫∞ω−τ−−ψψ=dte]rd)eexE([ptt*η（6分）211111120831210212202413202∫∫Ωπ−π⋅=−∞′−τ−d)YY(YdteRrREe*)aei(tηη（6分）22042649121021220216ηηae)(RrREe+τ⋅=（结果正确3分）.Ⅴ（10分）第一种做法：取a为z轴，b在)z,x(平面与a夹角为θ)cos(sin)b)(a(zxz22121θσ+θσσ=σ⋅σ⋅（3分）由于表象）（在zx220110σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=σ表象）（在zz211001σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=σ（2分）则22222201101001⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛σxx（2分）021=σσxz,而121−=σσzz（2分）∴bacos)b)(a(⋅−=θ−=σ⋅σ⋅21ρρρρ（1分）第二种做法：直接求)bbb)(aaa()b)(a(zzyyxxzzyyxx2222111121σ+σ+σσ+σ+σ=σ⋅σ⋅)bababazxzxyxyxxxxx212121σσ+σσ+σσ+=)bababazyzyyyyyxyxy212121σσ+σσ+σσ+)bababazzzzyzyzxzxz212121σσ+σσ+σσ+θ−=⋅−=−−−=cosbabababazzyyxx第三种做法：b))[(a()b)(a(⋅σ−σ+σ⋅σ=⋅σ⋅σ121121)b)(a()b)(a(⋅σ⋅σ+σ⋅⋅σ−=11121σ+σ=σ而0=σ，∴)b)(a()b)(a(⋅σ⋅σ−=⋅σ⋅σ1121)]ba(iba[×⋅σ+⋅−=1但01=σ，∴ba)b)(a(⋅−=⋅σ⋅σ21