北大量子力学期末试题及答案(2套)

量子力学期末试题A姓名:学号：题号一二三四五六习题总分成绩一.（10分）若Sˆ是电子的自旋算符，求a.xSˆzSˆxSˆySˆxSˆ=?b.?SˆSˆ=×二．（12分）若有已归一化的三个态γβα和,，且有8.02.03.0======βγγβαγγααββα,试用Schmidt方法构成正交，归一的新的态矢量γβα′′和,.三．（16分）算符ηηηη/zSˆi/ySˆiz/ySˆi/zSˆineeSˆeeSˆϕθθϕ−−=是电子自旋算符zSˆ经幺正变换而得。试求出它的本征值和相应的本征矢在zSˆ表象中的表示。四．（18分）在t=0时，自由粒子波函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥=b2x0b2xbxsin2b0,xπππψa.给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；b.求出几率最大的动量值；c.求出发现粒子在xdpbb+−ηη区间中的几率；d.()?t,x=ψ（积分形式即可）。五.(18分)三个自旋为2η的全同粒子，在一维位势())xxx(m21V23222123x,2x,1x++=ω中运动，a.给出这三个粒子体系的基态和第一激发态的能量及相应的本征矢；（谐振子波函数以()xun表示）；b.它们的简并度分别是多少？六．（16分）质量为m的粒子处于位势()⎩⎨⎧∞≤≤≤=其他和az0ay0,ax00z,y,xV中。假设它又经受微扰bxyHˆ=′，试求第一激发态能量的一级修正。量子力学期末试题A答案和评分一.(10分)5分a.xyxzxsssssxy2xzssss−=5xyz2)2(isss4ηη=−=或5xyzzy2)2(is)ssss(214ηη=−−=5分b.si)ssss(k)ssss(j)ssss(issxyyxzxxzyzzyηρρρ=−+−+−=×二．(12分)1=αα∴α=α′4分)3.0(N)(Nα−β=βαα−β=β′由)..(N).)(.(N222230230130301+⋅−=α−βα−β==β′β′2分91.01N=，)3.0(91.01α−β=β′4分)2.0(Nγβ′β′−α−γ=γ′2020202012....(N⋅+γα−β′γγβ′−αγ−γγ==γ′γ′)β′γγβ′+β′γγβ′−910740309101..).(.=γα−γβ=γβ′191032602020910740201222222==+−−−⋅..N).....(N，2分67.1N=三.(16分)m2mmsˆzη=′=′ϕθθ−ϕ−meesˆeemsˆzyyzsˆisˆizsˆisˆinηηηη如′=′θ−ϕ−meemyzsˆisˆiηη，则′=′mm2msˆnη6分∴它的本征值为2η±相应的本征值在zsˆ表象中的表示m)sini)(cossini(cosmmmyz2222θσ−θϕσ−ϕ′=′′msinsinicossinimsincosicos(cosmxy22222222θϕσ+θϕ−θϕσ−θϕ′m)ee(sin)sinim(coscosmii222222ϕ−+ϕ−σ−σθ+ϕ−ϕθ′=6分1m,1m1m,1m2i1mm2ie)(2sine2cos=′−=−=′=ϕ±±==′ϕδ±θ+θ=μ2分nsˆ本征值为2η，本征表示为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθϕϕ−2i2ie2sine2cos2分2η−，本征表示为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛θθ−ϕϕ−2i2ie2cose2sin四.(18分)6分a.dxi2ee2be21ibxibxb2b2xippxx−ππ−−−ππ=ϕ∫ηηdx]ee[i41)b()/xpbx(i)xpbx(i21xxηηη+−−−π=∫]e)pb(ie)pb(i[bibbx)pb(ixbbx)pb(ixxxππ−+−ππ−−++−π=22221141ηηηηη2x2x21p)b(b2bp2sin)i2()b(41−π+π=ηηηη该态中粒子动量可能测得值为∞∞−xp5分b.}]p)b[(bp{sindpddp)p(dxxxxx22222120−π==ϕηη∴0422422=−π+ππxxxxp)b(pbpsinbpcosbηηηη0bp2sinbpbp2cos]p)b[(xxx2x2=ππ+π−ηηηη∴有解bpxη±=3分c.bxx23bxp2bp2cosb2)b(i)p(ηηηηη−πππ=ϕ发现粒子在xdpbb+−ηη区间中的几率为xx2dpb1dp)b(ηη=ϕ4分d.xtm2pipi21xdpe)2(1)p()t,x(2xx∫−πϕ=ψηηη五.(18分)a.2分ω+=εη)21n(n,3分ω=η25E基,ω=η27E1基态2n0=，1n1=2分)()(u)()(u)()(u)()(u)()(u)()(u)()(u)()(u)()(u!3322113322113322113111100000001ββββββααα=ψ)()(u)()(u)(u)()(u)()(u)(u[221331331221311000010000αχ−αχ=)]()(u)()(u)(u11233210000αχ+1分)()(u)()(u)(u[331221311000002βχ=ψ)()(u)()(u)(u22133110000βχ−)]()(u)()(u)(u11233210000βχ+第一激发态2n0=，1n2=2分)()(u)()(u)(u[331221312000011αχ=ψ)()(u)()(u)(u22133120000αχ−)]()(u)()(u)(u11233220000αχ+1分)()(u)()(u)(u[331221312000012βχ=ψ)()(u)()(u)(u22133120000βχ−)]1()1(u)23()3(u)2(u10000βχ+2分)()(u)()(u)(u[331221310001113αχ=ψ)()(u)()(u)(u22133100011αχ−)]()(u)()(u)(u11233200011αχ+1分)()(u)()(u)(u[331221310001114βχ=ψ)()(u)()(u)(u22133100011βχ−)]()(u)()(u)(u11233200011βχ+b.4分基态二重简并第一激发态四重简并六.(16分)3分粒子的能量为)nnn(mazyx2222222++πη第一激发态为1121212112222220134112a)(maEππ=++π=ηη，5分za2sinyasinxasin)a2(1r23πππ=ρzasinya2sinxasin)a2(2r23πππ=ρzasinyasinxa2sin)a2(3r23πππ=ρdyyasinydxxasinx)a2(1Hˆ1a02a022∫∫π⋅π=′4adxxasinx2a02=π∫∴2222ba41b4a4a)a2(1H1=⋅⋅⋅=′03H12H1=′=′2a02a022ba41dyya2sinydxxasinxb)a2(2H2=π⋅π=′∫∫dyyasinya2sinyxdxa2sinxasinxb)a2(3H2a0a02∫∫ππ⋅ππ=′42222228164ba4)9a8)(9a8(b)a2(π⋅=π−π−=2a02a022ba41dyyasinydxxa2sinxb)a2(3H3=π⋅π=′∫∫4分于是有：0Eba4181ba464081ba464Eba41000Eba411242421212=−π⋅π⋅−−2分∴211ba41E=2分2424422132344181464418146441ba])([ba)(babaE,π±=π⋅±=π⋅±=量子力学期末试题B姓名学号题号ⅠⅡⅢⅣⅤ习题总分成绩Ⅰ.（35分）回答下列问题：A.写出电子在外电磁场(ϕ，A)中的哈密顿量；B.反常塞曼效应的特点，引起的原因；C.分别写出非简并态的一级、二级能量修正表达式；D.若yxiσσσ±=±，求2±σ；E.体系处于)t,x(ψ态，a.几率密度?)t,x(=ρ；b.几率流密度?)t,x(j=；c.证明：xjt∂∂−=∂∂ρ。F.处于位势22xm21ω中的两个无相互作用的粒子，试分别给出它们的基态、第一激发态和第二激发态的能量和简并度，a)非全同粒子；b)自旋为21的全同粒子；c)自旋为0的全同粒子。Ⅱ.(14分）用试探波函数a/x)x(e−=ψ，估计一维谐振子基态能量和波函数。Ⅲ.（16分）设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为∃H，它在∃H0表象中的表示为()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ΔΔ=00EEEEHˆ，A.求∃H的本征值和本征态；B.若t=0时，粒子处于φ1，它在0Hˆ表象中的表示为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛01。试求出t0时的粒子波函数；C.绘出粒子在φ1态的几率随t的变化（以η/EΔ为单位）。Ⅳ.（15分）0=t时，氢原子处于基态π4/)r(R10100=Ψ，后置于电场)0,0,eE(E/t0τ−=中。求∞→t时，发现氢原子处于激发态),(Y)r(R1121211ϕθ=Ψ的跃迁几率（一级近似下）（径向矩阵元不必具体计算出来；不计及电子的自旋）。(提示：)YY(32r(r1111−=−π，)(321111YYir+π−，)3410Yrπ)Ⅴ.（10分）两个电子处于自旋单态，1σ和2σ分别表示两个电子的Pauli算符。设a和b为空间任意给定的两个方向的单位矢量，求关联系数)b,a(C，即)b)(a(21σσ⋅⋅的平均值。量子力学期末试题B答案和评分Ⅰ.(35分)A.ϕ−⋅++=eBSˆme)Aˆepˆ(m21Hˆ（4分）B.碱金属原子能级偶数分裂（1分）光谱线偶数条（1分）分裂能级间距与能级有关（1分）由于电子具有自旋（1分）C.10HˆHˆHˆ+=,k0kk0EHˆϕ=ϕ(2分)k1k)1(kHˆEϕϕ=，∑≠−ϕϕ=ks0s0k2k1s)2(kEEHˆE（2分）D.0222=σσ+σσ+σ−σ=σ+σσ+σ=σ+)(i)i)(i(xyyxyxyxyx（2分）0222=σσ+σσ−σ−σ=σ−σσ−σ=σ−)(i)i)(i(xyyxyxyxyx（2分）E.2)t,x()t,x(ϕ=ρ（2分）)t,x(dxd)t,x()t,x(dxd)t,x([mi)t,x(j**ϕϕ−ϕϕ−=2η（2分）ϕ∂ϕ∂+∂ϕ∂ρ=ρtt)t,x()t,x(dtd**)VVmp(i)Vmp(i***x*x*ϕϕϕ−ϕϕ+ϕϕ=212122ηη)xdxd(xm2i**ϕ∂∂ϕ−ϕϕ∂∂=η因*VV=x)t,x(j∂∂−=（2分）F.a）基态0nn21==ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,1n,0n110n1n22==ωη2二重（1分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,1n,2n,0n1111n0n2n212===ωη3三重（2分）b）基态0nn21==00χ（总周旋为0）ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,n,n10110122==nnm100χχ)()(二态相减二态相加ωη2四重（2分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,n,n,n120111102212===nnn00100χχχm)()(相减相加ωη3五重（2分）c.基态0nn21==ωη非简并（1分）第一⎩⎨⎧==,n,n10110122==nn)(二态相加非简并（1分）第二⎪⎩⎪⎨⎧===,n,n,n120111102212===nnn)(二态相加二态简并（2分）Ⅱ.（14分）归一化∫∫∞−∞−==+0220221aA)dxedxe(Aaxax，aA1=（2分）∫∫∞∞−−∞∞−−−ω+−−=dxexmdx]exx)a[(dxdeamEaxaxax)a(22222112η22221211212amdx)eae(e)a(amaxax)x(axω+−δ−−=∫∞∞−−−−η22222121122am)aa(maω+⋅−=η2222412ammaω+=η（6分）（动能计算错扣3分）另一种求法2224121amdxepˆeamEaxxax)a(ω+=−∞∞−−∫222411121amdx)exxai()exxai(amax*axω+−−−−=−∞∞−∫ηη22232412amdxemaaxω+=∫∞∞−−η2