北大普通物理综合实验课件14两端固定张紧弦振动研究

两端固定张紧弦振动研究驱动力频率,本征频率（n个波节）长春五光实验仪器，出现了的现象（？）新的实验仪器（PASCO）出现了的现象（？）1fnf11::1kffn11::12kffn问题的引出(1/n):1?1/2nm11/21/41/61/81/101/12理论计算值187.1387.7988.2688.0387.132176.10176.96177.00174.263265.44266.00265.36261.394354.41355.40354.39348.525444.58444.60444.40443.98444.62444.14435.656535.63535.80534.60522.787624.18623.92624.08624.08609.911/2nm11/21/41/61/81/101/12理论计算值8718.63719.08716.80716.52717.44697.049814.19812.08811.20810.60811.20810.93784.1710907.76906.86905.32903.60904.80904.00871.30111003.31001.01000.41001.41000.01000.6958.43121110.41100.71100.81099.21100.81100.41045.6131200.01199.01199.21195.21197.61132.7141310.01310.41219.8我们的主要工作研究以前实验中出现的一些问题，给出一些解释和解决的办法研究非线性效应较小弦的本征振动，以及弦振动和驱动力的关系研究振幅较大时，由于非线性效应产生的频率飘移基本的理论出发点22222(,)(,)(,)uxtuxtaFxttx22222(,)(,)(,)(,)uxtuxtuxtaFxtttx(,)()sin()nuxtAtxl2212d()d()()()ddAtAtAtFtxxπ(,)sin()sin()nuxtAtxl经典的数学物理方程（线性）分离变量基本解，对应本征振动模式本征频率1(1,2,3,4,5,6.......)nnn实验装置介绍FDetectorDriver钢弦Detector通过感生电动势反映弦的振动电压U~速度VDriver产生交变磁场，作为驱动力源示波器信号发生器电阻最准确的测量量：周期T，频率fDriverDetector硬磁铁我们的分析驱动力的严格考虑长春五光的仪器（驱动器是硬磁铁）主要的问题出在()FMB000cos()BkIBkItB()()()MMBMtTMt()cos()FMtt()()FtTFt2πT2πnTnnn()MMBPASCO新的仪器（驱动器是软磁铁）0cos()BIIt()()()MMBMtTMtMB2200cos()(1cos(2))2IFItt()()MMBMB()()cos()(cos())(cos())(cos(π))cos(π)()2FtMBtMttMttTFt2π2nTn2nn5101520-1-0.50.5151015200.10.20.30.4MB()FtMB解决的办法在新仪器上加一块硬磁铁，让M近似为定值。驱动力实验效果确实主要只有1:1的情况了00cos()FMBMIt研究驱动力与弦振动的关系前期准备：一些参量的测量：杨氏模量E、弦半径r、弦长度L略检验驱动器Driver流入电流|I|与|B|大小的正比关系结果：很好的满足接入电阻R，使得CH1的测量对象由Driver两端的电压U变为流过Driver的电流I。I能比U更好地表现B的情况将Driver与Detector紧靠桥码放置，减小测量中的非线性因素振幅A较小情况下驱动力与弦振动的关系弦的振动方程为：22222(,)(,)(,)(,)uxtuxtuxtafxtttx可见驱动力f(x,t)的具体形式对于求得弦的振动模式u(x,t)即方程的解很重要：1.如果u的振幅正比于f0，则可以分析得出方程是线性的，可以进行解的叠加，傅立叶分析才有意义；2.f(x,t)是否和预期一样为正弦形式f0sinωt；3.f与u的相位关系。示波器通道一(channel1)显示驱动器(Driver)中流过的电流值I1通道二(channel2)显示接收器(Detector)中产生的感生电动势U2可观测量：CH1:I1∝B∝F=B·mCH2:U2∝v速∝ωA，其中A为弦的振幅由CH1、CH2的信号I∝U，可得f∝ωA即f∝A所以方程式是线性的与待考察物理量的关系：1）F与u的振幅的关系数据图如下：观察得到ω1:ω2=1:n（n≠1）的激发，振幅十分小。可以分析得出弦的本征振动模式为比较好的正弦形式2）F的正弦形式的检验即它与u的频率的关系3）F与u的相位的关系本节小节F与u成线性关系，有利于方程分析和进一步的模拟F为较好的正弦形式这些工作对于以后进一步研究有基础性意义弦振动的频率漂移弦音计实验后期工作报告基本思路1、发现问题2、理论分析3、实验检验1、分析实验结果（1）实验结果与理论公式有偏差（2）空间频率（波腹数m）增加，偏差也增加（3）振幅增加，偏差也增加1nfnf一、初步实验、现象、猜想2、考察引起频率漂移的因素（1）空间频率（波腹数n）（2）振幅U（3）其他因素（如水平振动、隔板摩擦等，理论推导中略去）二、理论分析分析思路1、基本假设——张力的变化是频率漂移的主要因素2、推导（1）基本方程（2）张力分析（3）驻波解和受力形式的确定（4）方程化简（5）得到推导结果1、假设弦振动基本方程：振动时的弦长L变化，T随之发生变化：2222(,)()UUTfxtxt0TTT图示微观伸长由勾股定理：由小量假设，取根式的泰勒展开的前两项：222d(d)(d)1()dUUxxxxxx21dd()d2Uxxxx宏观伸长当振动为形式时，振动弦长为：其中：(,)UUxt0002002001d[d()d]21=()d2LLLULxxxxULxx02001()d2LUxLx张力变化在t时刻：其中：我们将得到一个随时间变化的张力T0()()TTtTTt02000()()()d2LESUTtESLLxLx对弦中张力处处相等的说明（1）张力的传播，是以伸长压缩的纵波形式量级（2）驻波的传播，是横振动的横波形式量级（3）取决于横波形式的张力，极快速的达到平衡，及处处相等的情形1000/Vms50/Vms2、实验关系推导(1)基本波动方程：源于牛顿方程，对于弦上任一点都成立为张力，为x处的外力总和，为线密度根据T与坐标无关，方程化简为：2d2()()(,)d()dxxxUUUTTfxtxxxxtT(,)fxt2222(,)()UUTfxtxt（2）振动形式和张力的具体表达式由微扰法，可令：为波腹处的幅值，波矢，为与策动力的相位差将其带入张力表达式，经化简得到：0sin()sin()mUUkxt0U0mkmL22200sin()4mESTTUkt（3）受力形式外力作用：策动力：（点作用周期函数）阻力：（为常数，满足与速度成正比，类比空气阻力）(,)(,)UfxtFxtt000000(,)()sin()()cossin()()sincos()FxtFxxtFxxtFxxt0sin()cos()mUUkxtt（4）方程化为：可见，方程中有空间和时间两种周期项下面先后对它们作分析22220000000200sin()sin()sin()4()cossin()()sincos()sin()cos()sin()sin()mmmmmESTUktUkkxtFxxtFxxtUkxtUkxt（5）空间周期部分做傅立叶分析——两边乘以，再从积分得：得到只有时间部分的方程sin()mkx00L2243000000200002sin()sin()sin()cossin()42sin()sincos()cos()sin()mmmmFkxESTktUkttULFkxtttUL（6）时间周期部分我们让，对应于实验中就是让策动力F与速度同相位，这总是能调控的，有：由与的正交性，作傅氏分析得到频率方程：π2Utsin()tcos()t224300000022sin()cos()cos()sin()4sin()cos()mmmFkxESTktUkttULtt（7）频率公式（结果）其中：作变换：或者：则有：22222200000π()ESAUmLT2200mTk22200000π()2ESfffAUmLT2πf三、实验检验22200000π()2ESfffAUmLT1、推导出的关键公式：：波腹处振幅m：波腹数E：杨氏模量S：弦的切面积：恒定张力：弦长A：推导常数0T0L0U2、杨氏模量E对公式的旁证取定一根弦（E，S），振动长度，恒定拉力代入数据，计算得到的公式系数与实验测得的值，量级是一致的。相差只在同一量级内0L0T3、检验正比关系取定一根弦（E，S），振动长度，恒定拉力，我们取定公式形式：其中：220002000mfffAmUffAU2mAAm0L0T取=16.5N，=0.5m，考察线性关系（1）m=3=345.12Hz=0.27710T0L20fU0f0.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.014345.2345.4345.6345.8346.0346.2346.4346.6U20f3Am=4=461.16Hz=0.47320f0.00050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.0040461.2461.4461.6461.8462.0fU204A与正比关系的验证m=3和m=4342222:0.2771:0.47323:3.923:4AA2m（2）m=3=360.29Hz=0.37280.0000.0020.0040.0060.0080.0100.0120.0140.016360.4360.6360.8361.0361.2361.4361.6361.8362.0362.2362.4fU200f3Am=4=483.97Hz=0.66800f4A0.0000.0010.0020.0030.0040.0050.0060.0070.0080.009484.0484.5485.0485.5486.0486.5fU20m=5=608.05Hz=1.09380f5A0.00000.00050.00100.00150.00200.00250.00300.00350.0040607.5608.0608.5609.0609.5610.0610.5611.0fU20345222222::0.3728:0.6680:1.09383:4.02:5.133:4:5AAA与正比关系的验证m=3m=4m=52m四、回顾本阶段：1、受到试探实验的启示：频率漂移与频率值、振幅相关2、在微扰法和方程线性保证下，作出假设：频率变化主要来源于张力随振动模式的变化；且弦中张力T处处相等。并做了量级估算。3、依据假设，从数学上导出频率与理想值的漂移与共振频率、振幅的关系4、通过实验，比较好的验证了理论推导。从而肯定了我们做的张力假设，从某种意义上