重庆工商大学数学模型与数学实验课件第06讲 差分方程和数值微分

大学数学实验ExperimentsinMathematics实验2差分方程和数值微分《数学建模与数学实验》---李焕荣差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型•一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xkMxkxrxkk01,,2,1,0,)1(n年后本息为Mrxnn)1(•污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度为ck,,2,1,0,)1(1kcqckk离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的0)1(cqcnn)1lg(2lgqn天后污水浓度降低一半1.一阶线性常系数差分方程2.高阶线性常系数差分方程3.线性常系数差分方程组4.非线性差分方程数值微分简介•建立离散动态过程的数学模型;•用MATLAB计算数值解;•作理论分析(平衡点及其稳定性).差分方程例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化一阶线性常系数差分方程•在较好自然环境下，年平均增长率为1.94%•在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%•在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.生态学家估计如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?模型及其求解例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化记第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为r,2,1,0,1,1kraaxxkk05101520406080100120140160r=0.0194r=-0.0324r=-0.0382设每年人工孵化的数量为b，,2,1,0,1kbaxxkk05101520406080100120140r=-0.0324,b=5r=-0.0324,b=0结果分析例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化时间充分长后(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势,2,1,0,0kxaxkka1(r0)时xk→∞,a1(r0)时xk→0,1,1raaxxkk在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。,2,1,0,110kaabxaxkkk人工孵化条件下baxxkk1a1(r0)时xk→x=b/(1-a)050100150200100110120130140150160r=-0.0324,b=5x=5/0.0324=154.32自然环境下线性常系数差分方程组例4汽车租赁公司的运营汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.在A市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1在B市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.2,0.7,0.1在C市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营中汽车数量在3个城市间转移的模型，讨论时间充分长以后的变化趋势.例4汽车租赁公司的运营模型及其求解0.10.20.10.10.30.30.70.60.6ABC)(6.0)(1.0)(1.0)1()(3.0)(7.0)(3.0)1()(1.0)(2.0)(6.0)1(321332123211kxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxkxx1(k),x2(k),x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量x(k)=[x1(k),x2(k),x3(k)]T6.01.01.03.07.03.01.02.06.0A,2,1,0),()1(kkAxkxk012345678910x1(k)200180176176178179179180180180180x2(k)200260284294297299300300300300300x3(k)200160140130125123121121120120120开始时600辆汽车平均分配到3个城市开始时600辆汽车全分配给A市k012345678910x1(k)600360258214195187183181181180180x2(k)0180252281292297299300300300300x3(k)06090105113116118119120120120例4汽车租赁公司的运营模型及其求解时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定，稳定值与初始分配无关数值微分用离散方法近似计算函数y=f(x)在某点x=a的导数值hafhafaf)()()(hhafafaf)()()(前差公式后差公式hhafhafaf2)()()(中点公式)()(2)()()(32hOafhafhafhaf误差为O(h)误差为O(h)误差为O(h2)泰勒展开:函数y=f(x)在等间距h的分点x0x1xn上用离散数值表示为y0,y1,,yn数值微分1,2,1,2)(11nkhyyxfkkkhyyyxfhyyyxfnnnn234)(243)(122100，三点公式，误差为O(h2)在中间点x1,,xn-1在两端点x0,xn实验练习实验目的1.练习用差分方程建立离散动态过程的数学模型，并用MATLAB计算其数值解；2.了解差分方程平衡点及其稳定性的基本知识；3.练习数值微分的计算。实验内容3；10