重庆工商大学数学模型与数学实验课件第07讲 插值与数值积分

大学数学实验ExperimentsinMathematics实验3插值与数值积分《数学建模与数学实验》---李焕荣实验三什么是插值？从查函数表说起查函数表xtdtex2221)(x012…┇┇┇┇┇1.00.84130.84380.8461…1.10.86430.86650.8686…1.20.88490.88690.8888…┇┇┇┇┇标准正态分布函数表求(1.114)(1.114)=0.8665(0.86860.8665)0.4=0.8673插值实验三实验三实验3的基本内容3.数值积分的梯形公式、辛普森公式和高斯公式。1.插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日插值，分段线性插值，三次样条插值。2.插值的MATLAB实现及插值的应用。4.数值积分的MATLAB实现及数值积分的应用。实验三实验三数控机床加工零件加工时需要x每改变0.05时的y值图1零件的轮廓线（x间隔0.2）表1x间隔0.2的加工坐标x,y（图1右半部的数据）0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.680.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64………模型将图1逆时针方向转90度，轮廓线上下对称，只需对上半部计算一个函数在插值点的值。图2逆时针方向转90度的结果-5-4-3-2-101234500.511.522.533.544.55uv实验三插值的基本原理插值问题的提法已知n+1个节点,,1,0(),(njyxjj其中jx互不相同，不妨设),10bxxxan求任一插值点)(*jxx处的插值.*y0x1xnx0y1y节点可视为由)(xgy产生,g表达式复杂,甚至无表达式*x*y实验三实验三0x1xnx0y1y求解插值问题的基本思路构造一个(相对简单的)函数),(xfy通过全部节点,即),1,0()(njyxfjj再用)(xf计算插值，即).(**xfy*x*y插值的基本原理实验三1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii1,0,)())(()()())(()()(110110)3()()(0xlyxLiniinjjnjiyxLjijixl)(,0,1)(（3）有唯一解。基函数()ilx三种插值方法实验三2.分段线性插值xjxj-1xj+1x0xn其它,0,,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxInnnxxxxgxI0),()(lim三种插值方法实验三实验三},1],,[),({)(1nixxxxsxSiii],[)()3),1,0()()2),1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs数学样条（spline）三种插值方法实验三3.三次样条插值三种插值方法小结•拉格朗日插值（高次多项式插值）：曲线光滑用于理论分析，实际意义不大。•分段线性和三次样条插值（低次多项式插值）：曲线不光滑（三次样条插值已大有改进）简单实用，应用广泛。实验三1.拉格朗日插值:自编程序,如名为lagr.m的M文件，第一行为functiony=lagr(x0,y0,x)输入:节点x0,y0,插值点x(均为数组，长度自定义)）；输出:插值y(与x同长度数组)）。应用时输入x0,y0,x后,运行y=lagr(x0,y0,x)2.分段线性插值:已有程序y=interp1(x0,y0,x)3.三次样条插值:已有程序y=interp1(x0,y0,x,’spline’)或y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值计算实验三插值的应用加工时需要x每改变0.05时的y值图1零件的轮廓线（x间隔0.2）表1x间隔0.2的加工坐标x,y（图1右半部的数据）数控机床加工零件0.0,5.000.2,4.710.4,4.310.6,3.680.8,3.051.0,2.501.2,2.051.4,1.691.6,1.401.8,1.182.0,1.002.2,0.862.4,0.742.6,0.64………模型将图1逆时针方向转90度，轮廓线上下对称，只需对上半部计算一个函数在插值点的值。图2逆时针方向转90度的结果-5-4-3-2-101234500.511.522.533.544.55uv令v=x,u=-y实验三人造卫星轨道长度)20(sin,costtbytax决定由短半轴长半轴rssba,,~~21dttbtadtyxL2022222022cossin44轨道长度yxo近地点s1=439km,远地点s2=2384kms1s2地球半径r=6371kmr实验三为什么要作数值积分•许多函数“积不出来”,只能用数值方法，如dxxxdxebabaxsin,22•积分是重要的数学工具，是微分方程、概率论等的基础；在实际问题中有直接应用。•对于用离散数据或者图形表示的函数，计算积分只有求助于数值方法。数值积分实验三nabfIIdxxfInkknnnba)(,lim)(1数值积分的基本思路回忆定积分的定义各种数值积分方法研究的是k),(ba如何取值，区间如何划分，使得既能保证一定精度，计算量又小。n充分大时In就是I的数值积分实验三1.从矩形公式到梯形公式数值积分yy=f(x)xbao)1(10nkknfhL)(,,10kknkxffnabhbxxxxa)2(1nkknfhRnnRL,平均，得到梯形公式)3()(2011nnkknffhfhTxk+1xkxk-1fk实验三2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式）梯形公式相当于用分段线性插值函数代替)(xf抛物线公式提高精度分段二次插值函数2221212222(,),(,),(,)0,1,,1kkkkkkxfxfxfkm数值积分yy=f(x)xbaox2kf2kx2k+1x2k+2f2k+1f2k+2实验三实验三)4(2),24(3112101220mabhffffhSmkkmkkmm对k求和(共m段)，得辛普森公式：)4(3)(22122222kkkxxkfffhdxxskk二次插值函数sk(x)构造用),(),,(),,(2222121222kkkkkkfxfxfx2.辛普森(Simpson)公式（抛物线公式）实验三实验三高斯公式的思路取消对节点的限制，按照代数精度最大的原则，同时确定节点xk和系数Ak构造求积公式)()(22112xfAxfAG对于11)(dxxfI使G2的代数精度为3确定2121,,,AAxx实验三用MATLAB作数值积分梯形公式)(2011nnkknffhfhTtrapz(x)输入数组x,输出按梯形公式x的积分(单位步长)trapz(x,y)输入同长度数组x,y,输出按梯形公式y对x的积分(步长不一定相等)实验三实验三用MATLAB作数值积分辛普森公式quad(@fun,a,b,tol)用自适应辛普森公式计算tol为绝对误差，缺省时为10-6Gauss-Lobatto公式quadl(@fun,a,b,tol)用自适应Gauss-Lobatto公式计算tol为绝对误差，缺省时为10-6实验三实验三用MATLAB作数值积分例.计算4011sindxx1）矩形公式和梯形公式将(0,/4)100等分2）辛普森公式和Gauss-Lobatto公式精确、方便无法计算用数值给出的函数的积分实验三数值积分的应用人造卫星轨道长度)20(sin,costtbytax决定由短半轴长半轴rssba,,~~21dttbtadtyxL2022222022cossin44轨道长度yxo近地点s1=439km,远地点s2=2384kms1s2地球半径r=6371kmr需要作数值积分实验三s1=439km,s2=2384km,r=6371kmyxos1s2rs1s2yxoracb决定由短半轴长半轴rssba,,,~,~21数值积分实例人造卫星轨道长度dttbtaL202222cossin41222ssra7782.5212ssra1srac焦距212ssc7721.522cab实验三dttbtaL202222cossin4用梯形公式和辛普森公式计算只将区间5等分，梯形公式就给出很好的结果轨道长度L=4.8707104千米数值积分实例人造卫星轨道长度实验三布置实验目的1、掌握用MATLAB计算分段线性、三次样条两种插值的方法，改变节点的数目，对两种种插值结果进行初步分析。2、掌握用MATLAB及梯形公式、辛普森公式计算数值积分。3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。内容10；12实验三