重庆工商大学数学模型与数学实验课件第09讲 线性代数方程组的数值解法

大学数学实验ExperimentsinMathematics实验5线性代数方程组的数值解法《数学建模与数学实验》---李焕荣实验5•许多实际问题归结为线性（代数）方程组•大型的方程组需要有效的数值解法•数值解法的稳定性和收敛性问题需要注意为什么要学习线性方程组的数值解法机械设备、土建结构的受力分析输电网络、管道系统的参数计算经济计划企业管理实验5实验53.线性方程组数值解法的MATLAB实现4.实际问题中方程组的数值解。1.两类数值解法:直接方法；迭代方法实验5的主要内容2.超定线性方程组的最小二乘解实验5实验5表1国民经济各个部门间的关系分配去向投入来源农业制造业服务业外部需求总产出农业15203035100制造业301045115200服务业2060/70150初始投入3511075总投入100200150实例1投入产出模型分配去向投入来源农业制造业服务业农业0.150.100.20制造业0.300.050.30服务业0.200.300表2投入产出表假定每个部门的产出与各部门对它的投入成正比，得到投入系数。实验5实验54）如果对于任意给定的、非负的外部需求，都能得到非负的总产出，模型就称为可行的。问为使模型可行，投入系数应满足什么条件？1）设有n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的模型。2）设投入系数如表2所给，如果今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，问这三个部门的总产出分别应为多少。3）如果三个部门的外部需求分别增加1个单位，它们的总产出应分别增加多少。实例1投入产出模型实验5实验51）基本模型投入系数矩阵nnijaA)(产出向量Tnxxx),(1需求向量Tnddd),(1),,2,1(1nixdxinjiij平衡关系xi:第i个部门的产出，xij:第i个部门对第j个部门的投入，di:第i个部门的外部需求jijijxxa/投入系数产出投入部门1部门i部门n外部需求总产出部门1x11x1ix1nd1x1部门ixi1xiixindixi部门nxn1xnixxndnxn初始投入x01x0ix0n总投入x1xixn),,2,1(1nixdxainjijijdAxxdxAI)(dAIx1)(实验5实验5线性方程组的一般形式、两类解法直接法经过有限次算术运算求出精确解（实际上由于有舍入误差只能得到近似解）----高斯（Gauss）消元法及与它密切相关的矩阵LU分解迭代法从初始解出发，根据设计好的步骤用逐次求出的近似解逼近精确解----雅可比（Jacobi）迭代法和高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111或AX=b实验5实验5直接法---高斯消元法)2()2(2)2(2)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnbxaxabxaxabxaxaxa)()()1(1)1(,11)1(1,1)2(2)2(22)2(22)1(1)1(12)1(121)1(11nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbxabxaxabxaxabxaxaxa消元过程回代过程),,2,1(0)(nkakkk条件实验5实验5直接法-矩阵LU分解高斯消元法通过左乘M,使MA=UM单位下三角阵，U上三角阵记L=M-1，L为单位下三角阵若A可逆且顺序主子式不为零，则A可分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的积A=LU。这种分解是唯一的，称矩阵LU分解。),,2,1(0)(nkakkk),1(,01111nkaaaaDAkkkk的顺序主子式实验5实验5迭代法---一个例子123123123103142103531014xxxxxxxxx4.13.01.05.03.02.04.11.03.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx0)0(3)0(2)0(1xxx,2,1,0k9906.0,9645.0,9906.0)4(3)4(2)4(1xxx4.13.01.05.03.02.04.11.03.0213312321xxxxxxxxx4.1,5.0,4.1)1(3)1(2)1(1xxx1321xxx精确解实验5实验5迭代法-雅可比（Jacobi）迭代将A分解为ULDA，其中),,(2211nnaaadiagD，000,0001,11121,2121nnnnnnaaaUaaaaL设对角阵D非奇异（即),1,0niaiibDfULDB1111)(记)2,1,0(1)(1)1(kfxBxkk迭代格式bAxbxULDx)(bDxULDx11)(实验5实验5高斯-塞德尔(Gauss-Sedeil)迭代在D非奇异的假设下)(LD可逆，于是得到bLDfULDB1212)(,)()2,1,0(2)(2)1(kfxBxkkJacobi迭代公式bUxLxDxkkk)()()1(bUxLxDxkkk)()1()1(Gauss-Seideil迭代公式4.13.01.05.03.02.04.11.03.0)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx改进4.13.01.05.03.02.04.11.03.0)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx实验5实验5超定线性代数方程组的最小二乘解实验1§2.1汽车刹车距离建立了刹车距离d与车速v的关系：221vkvkd方程个数超过了未知数个数，称为超定方程组nivkvkdiii,,2,1,221数据拟合已知一组数据，即平面上n个点(xi,yi),i=1,…n,寻求一个函数（曲线）y=f(x),使f(x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。数据拟合问题的提法(#)实验5实验5+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)i使点(xi,yi)与曲线y=f(x)的距离i尽量小,i=1,…n曲线拟合最小二乘准则iii使f(x)与y(i=1,2,,n)之差的平方和(即图中的平方和)最小实验5实验5先选定一组函数r1(x),r2(x),…rm(x),mn,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中a1,a2,…am为待定系数。曲线拟合--线性最小二乘法的基本思路记221211211(,,)[()][()](2)nnmiiiiinmkkiiikJaaafxyarxy按照最小二乘准则,问题归结为：求a1,a2,…am使J(a1,a2,…am)最小。实验5实验51.求解bAx用左除：bAx\。[x,y]=lu(A)若A可逆且顺序主子式不为零，输出x为单位下三角阵L，y为上三角阵U，使LUA；若A可逆，x为一交换阵与单位下三角阵之积.2.矩阵LU分解线性方程组数值解法的MATLAB实现若A为可逆方阵，输出原方程的解x若A为nm矩阵（nm），且ATA可逆，输出原方程的最小二乘解x实验5实验5稀疏矩阵的处理~MATLAB进行大规模计算的优点a=sparse(r,c,v,m,n)在第r行、第c列输入数值v，矩阵共m行n列，输出a为稀疏矩阵，只给出(r,c)及vaa=full(a)输入稀疏矩阵a，输出aa为满矩阵（包含零元素）a=sparse(2,2:3,8,2,4),aa=full(a),a=(2,2)8aa=0000(2,3)80880输出实验5实验51）基本模型投入系数矩阵nnijaA)(产出向量Tnxxx),(1需求向量Tnddd),(1),,2,1(1nixdxinjiij平衡关系xi:第i个部门的产出，xij:第i个部门对第j个部门的投入，di:第i个部门的外部需求jijijxxa/投入系数产出投入部门1部门i部门n外部需求总产出部门1x11x1ix1nd1x1部门ixi1xiixindixi部门nxn1xnixxndnxn初始投入x01x0ix0n总投入x1xixn),,2,1(1nixdxainjijijdAxxdxAI)(dAIx1)(实验5实验5dAIx1)(基本模型2）设农业、制造业和服务业的外部需求分别为50，150，100亿元，求三个部门的总产出。03.02.03.005.03.02.01.015.0ATd]10015050[x=(139.2801,267.6056,208.1377)T实验5实验5若d=(1,0,0)T,即农业外部需求增加1单位时，三部门总产出应分别增加1.3459，0.5634，0.4382单位。即C的第1列。C的第2，3列给出了什么？C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.21673）若三部门的外部需求分别增加1个单位，求它们的总产出的增量。dAIx1)(基本模型1)(AIC记当需求增加d时，总产出增量dCx实验5实验5布置实验目的1)学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2)通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。内容5；6实验5实验5