重庆工商大学数学建模算法讲义第18章 变分法模型

-218-第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求昀优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和昀优控制理论方法。§1变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统昀优控制问题求解的必要条件和昀大值原理。1.1变分法的基本概念1.1.1泛函设S为一函数集合，若对于每一个函数Stx∈)(有一个实数J与之对应，则称J是对应在S上的泛函，记作))((txJ。S称为J的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于xy平面上过定点),(11yxA和),(22yxB的每一条光滑曲线)(xy，绕x轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(xy的泛函))((xyJ。由微积分知识不难写出dxxyxyxyJxx)('1)(2))((212∫+=π（1）容许函数集可表示为})(,)(],,[)(|)({2211211yxyyxyxxCxyxyS==∈=（2）昀简单的一类泛函表为∫=21),,())((ttdtxxtFtxJ&（3）被积函数F包含自变量t，未知函数x及导数x&。（1）式是昀简泛函。1.1.2泛函的极值泛函))((txJ在Stx∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0tx接近的Stx∈)(，都有))(())((0txJtxJ≥。所谓接近，可以用距离ε))(),((0txtxd来度量，而距离定义为|})()(||,)()({|max))(),((00021txtxtxtxtxtxdttt&&−−=≤≤泛函的极大值可以类似地定义。)(0tx称为泛函的极值函数或极值曲线。1.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(tx在)(0tx的增量记为)()()(0txtxtx−=δ也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作))(())()((00txJtxtxJJ−+=Δδ如果JΔ可以表为-219-))(),(())(),((00txtxrtxtxLJδδ+=Δ其中L为xδ的线性项，而r是xδ的高阶项，则L称为泛函在)(0tx的变分，记作))((0txJδ。用变动的)(tx代替)(0tx，就有))((txJδ。泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数α的导数：0))()(())((=+∂∂=ααδαδtxtxJtxJ（4）这是因为当变分存在时，增量)),(()),(())(())((xtxrxtxLtxJxtxJJαδαδαδ+=−+=Δ根据L和r的性质有)),(()),((xtxLxtxLδααδ=0)),((lim)),((lim00==→→xxxtxrxtxrδαδαδααδαα所以ααδαδααα)()(lim)(00xJxxJxxJ−+=+∂∂→=)(),(),(),(lim0xJxxLxxrxxLδδααδαδα==+=→1.1.4极值与变分利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：若))((txJ在)(0tx达到极值（极大或极小），则0))((0=txJδ（5）这是因为对任意给定的xδ，)(0xxJαδ+是变量α的函数，该函数在0=α处达到极值。根据函数极值的必要条件知0)(00=+∂∂=ααδαxxJ于是由（4）式直接得到（5）式。1.1.5.变分法的基本引理引理],[)(21xxCx∈ϕ，],[)(211xxCx∈∀η，0)()(21==xxηη，有∫≡210)()(xxdxxxηϕ，则],[,0)(21xxxx∈≡ϕ。1.2无约束条件的泛函极值求泛函∫=fttdttxtxtFJ0))(),(,(&（6）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线)(tx，使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为)(*tx。1.2.1端点固定的情况设容许曲线)(tx满足边界条件-220-00)(xtx=，ffxtx=)(（7）且二次可微。首先计算（6）式的变分：0))()((=+∂∂=ααδαδtxtxJJ∫=++∂∂=fttdttxtxtxtxtF00))()(),()(,(ααδαδα&&∫+=fttxxdtxxxtFxxxtF0]),,(),,([&&&&δδ（8）对上式右端第二项做分布积分，并利用0)()(0==ftxtxδδ，有∫∫−=ffttxttxxdtxxtFdtddtxxxtF00),,(),,(δδ&&&&&，再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有∫=−=fttxxxdtFdtdFJ00][δδ&因为xδ的任意性，及0)()(0==ftxtxδδ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程0=−xxFdtdF&（9）它是这类昀简泛函取极值的必要条件。（9）式又可记作0=−−−xFxFFFxxxxxtx&&&&&&&（10）通常这是)(tx的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。1.2.2昀简泛函的几种特殊情形(i)F不依赖于x&，即),(xtFF=这时0≡xF&，欧拉方程为0),(=xtFx，这个方程以隐函数形式给出)(tx，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii)F不依赖x，即),(xtFF&=欧拉方程为0),(=xtFdtdx&&将上式积分一次，便得首次积分1),(cxtFx=&&，由此可求出),(1ctxϕ=&，积分后得到可能的极值曲线族()dtctx∫=1,ϕ(iii)F只依赖于x&，即)(xFF&=这时0,0,0===xxxtxFFF&&，欧拉方程为0=xxFx&&&&由此可设0=x&&或0=xxF&&，如果0=x&&，则得到含有两个参数的直线族21ctcx+=。-221-另外若0=xxF&&有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族cktx+=，它包含于上面含有两个参数的直线族21ctcx+=中，于是，在)(xFF&=情况下，极值曲线必然是直线族。（iv）F只依赖于x和x&，即),(xxFF&=这时有0=xtF&，故欧拉方程为0=−−xxxxxFxFxF&&&&&&此方程具有首次积分为1cFxFx=−&&事实上，注意到F不依赖于t，于是有0)()(=−=−−+=−xxxxxxxFdtdFxFdtdxFxxFxFFxFdtd&&&&&&&&&&&&&。例1(昀速降线问题)昀速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J.Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间昀短。解将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为),(22yxB。根据能量守恒定律，质点在曲线)(xy上任一点处的速度dtds满足（s为弧长）mgydtdsm=⎟⎠⎞⎜⎝⎛221将dxxyds)('12+=代入上式得dxgyydt2'12+=于是质点滑行时间应表为)(xy的泛函dxgyyxyJx∫+=2022'1))((端点条件为22)(,0)0(yxyy==昀速降线满足欧拉方程，因为yyyyF2'1)',(+=不含自变量x，所以方程（10）可写作0''''''=−−yFyFFyyyyy等价于0)'('=−yFyFdxd作一次积分得-222-12)'1(cyy=+令,2'θctgy=则方程化为)cos1(22sin'112121θθ−==+=ccycy又因θθθθθθdcctgdcydydx)cos1(222cos2sin'11−===积分之，得21)sin(2ccx+−=θθ由边界条件0)0(=y，可知02=c，故得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−=).cos1(2)sin(211θθθcycx这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数1c可利用另一边界条件22(yxy=）来确定。例2昀小旋转面问题dxxyxyxyJxx)('1)(2))((212∫+=π})(,)(],,[|{2211211yxyyxyxxCyyS==∈=解因'12yyF+=不包含x，故有首次积分122''1'''1'cyyyyyyFyFy=+−+=−化简得21'1ycy+=令shty='，代入上式，chtctshcy1211=+=由于dtcshtshtdtcydydx11'===积分之，得21ctcx+=消去t，就得到121ccxchcy−=。这是悬链线方程。1.2.3昀简泛函的推广昀简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。（ⅰ）含多个函数的泛函-223-使泛函∫=21)',,',,())(),((xxdxzzyyxFxzxyJ取极值且满足固定边界条件.)(,)(,)(,)(22112211zxzzxzyxyyxy====的极值曲线)(),(xzzxyy==必满足欧拉方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−00''zzyyFdxdFFdxdF（ii）含高阶导数的泛函使泛函∫=21),',,())((xxdxyyyxFxyJ取极值且满足固定边界条件11)(yxy=,221122')(',')('yxyyxyyxy===，）（的极值曲线)(xyy=必满足微分方程022'=+−yyyFdxdFdxdF（iii）含多元函数的泛函设Dyxcyxz∈∈),(,),(2，使泛函∫∫=DyxdxdyzzzyxFyxzJ),,,,()),((取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数),(yxzz=必满足方程0=∂∂−∂∂−yxzzzFyFxF上式称为奥式方程。1.2.4端点变动的情况（横截条件）设容许曲线)(tx在0t固定，在另一端点ftt=时不固定，是沿着给定的曲线)(txψ=上变动。于是端点条件表示为⎩⎨⎧==)()()(00ttxxtxψ这里t是变动的，不妨用参数形式表示为ffdtttα+=寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0),,(00=+++∂∂==∫αααδαδαδdtxxxxtFJffdttt&&fttttxttxxdtFxFxdtFdtdFfff==++−=∫δδ&&0)(（11）-224-再对（11）式做如下分析：（i）对每一个固定的ft，)(tx都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；（ii）为考察（11）式的第二、第三项，建立fdt与fttx=δ之间的关系，因为)()()(ffffffdttdttxdttxαψααδα+=+++对α求导并令0=α得ffttffdttxdttxf)()(ψδ&&=+=即fffttdttxtxf)]()([&&−==ψδ（12）把（12）代入（11）并利用fdt的任意性，得0])([=−+=fttxFxF&&&ψ（13）（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：（i）当)(txψ=是垂直横轴的直线时，ft固定，)(ftx自由，并称)(ftx为自由端点。此时（11）式中0=fdt及fttx=δ的任意性，便得自由端点的横截条件0==fttxF&（14）（ii）当)(txψ=是平行横轴的直线时，ft自由，)(ftx固定，并称)(ftx为平动端点。此时0=ψ&，（13）式的横截条件变为0=−=fttxFxF&&（15）注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.3有约束条件的泛函极值在昀优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统))(),(,()(tutxtftx=&（16）寻求昀优性能指标（目标函数）∫+=fttffdttutxtFtxttuJ0))(),(,())(,())((ϕ（17）其中)(tu是控制策略，)(tx是轨线，0t固定，ft及)(ftx自由，nRtx∈)(，mRtu∈)(（不受限，充满mR空间），Ff,,ϕ连续可微。下面推导取得目标函数极值的昀优控制策略)(*tu和昀优轨线)(*tx的