复旦大学高等数学课件01函数1-1

11高等数学2数学文化与数学教育数学发展史数学发展的应用和趋势数学的社会需要数学家的创新精神数学科学的思想体系数学的美学价值3科学大师在解决问题的过程中有如下共同点：1）善于将一个实际问题经过合理简化，抽象成一个（数学）模型；2）在研究这个（数学）模型中，能将获得的理论结果来阐明实际现象和实际意义；3）能通过实践来检验和匡正理论模型，以便进一步改进和完善之。4非数学专业的学生学习数学的目的合理研究理论检验实际实际阐明简化实际问题数学模型理论结果实际解答解决实际问题的途径5学习高等数学的重要性学习方法理解核心的概念和关键的内容，并通过严格的训练，真正学到手，能得心应手地加以应用和发挥，这才掌握其精髓。数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论；注重：概念理解，思维方式及应用，创新精神。6＊数量遗传学＊计量诊断学＊生物数学＊流行病学＊免疫学、药理、药浓度、药物代谢＊医学统计、卫生统计＊生物信息学案例复旦大学控股的复华集团购并了上医大的红旗制药厂数学研究的对象现实世界的数量关系和空间关系现代医学与数学的结合产生了许多边缘学科7数学发展纵横谈数学是什么？1）数学是作为关于数、量、几何图形的科学；2）数学是作为关于量的变化及几何的映像的科学；3）数学是作为关于现实世界一切普遍性、抽象化的数量形式及其空间形式的科学。8数学发展纵横谈数学发展史告诉我们1、数学家是普通人；2、先人数学创造的思想、发现的能力；3、数学发展的进程；4、数学规律的发展。9数学发展纵横谈数学发展的四部曲数学交响曲有四个乐章组成：精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。数学按质分类：必然现象、或然现象、模糊现象、突变现象。1）必然现象与精确数学—激昂的第一乐章①没有微积分就没有万有引力定律②早期具有代表性的数学模型③数学思想的两次重大转折：a、从算术到代数b、从常量数学到变量数学102）或然现象（随机现象）与随机数学—第二乐章a、随机现象是指事物的变化发展具有几种不同的可能性，究竟何种结果，有随机性、偶然性。b、随机数学主要包括概率论、随机过程理论、数理统计学。c、随机数学与经典数学、自然科学、社会科学相互作用产生出许多新的学科：平稳随机过程论、马尔科夫过程论、多元统计分析、试验分析、生物统计学、医学统计等。113）模糊现象与模糊数学—第三乐章a、模糊现象是指客观事物界限不分明的量和性质，即不分明现象。b、模糊数学是用数量表示一个事物属于某个模糊概念的程度，即隶属度，以此说明该事物能否包含在那个模糊概念的论域中。c、现在模糊数学应用领域相当广泛，产生了许多学科：模糊信息、模糊控制、模糊规划与决策、模糊语言、模糊逻辑等；d、模糊数学未来最重要的应用领域，在计算机模拟识别和人工智能方面：模糊智能家电，模糊控制的洗衣机、以模糊规则为基础的照相机、模糊感应的空调等；模糊技术将红绿灯改造得更灵活；航天航空中的火星探测器离不开模糊技术；机器人足球赛中，模糊数学更是大显身手；等等。124）突变现象与突变数学—辉煌的第四乐章a、突变现象b、突变理论解释了所有不连续的、突变的现象c、突变以奇点理论为其数学基础，运用拓扑学、结构稳定性等数学工具，以形象生动的模型来把握事物的量质互变过程。总结：精确数学主要应用在自然科学领域；随机数学开始向社会科学渗透；模糊数学则将成为思维科学中的数学工具；突变理论则向各个领域渗透（经济、胚胎学）；合奏出壮美的交响乐13第一篇一元函数微积分微积分产生背景和主要矛盾运动：静止与运动、静态与动态、有穷与无穷、常量与变量、离散与连续、稳态与瞬态、均匀与不均匀、不变与变化、直与曲等等矛盾。微积分的主要课题:研究变量的变化性态，刻划这种变化过程的特征：利用变量的变化趋势、变化速度、变化的累积效应等要素。14第一章极限与连续＊介绍极限的基本概念、性质和运算＊讨论微积分主要研究的对象－连续函数、及其性质和基本运算15设D是实数集R的一个子集，如果按某规则f，对D中每个数x，均有唯一确定的实数y与之对应，则称f是以D为定义域的一元函数，称x为自变量，y为应变量。一、函数概念函数关系记作::fDRxyxD记为()yfxxD函数f的值域()RfxxD§1函数函数是变量变化关系最基本的数学描述定义：16函数y=f(x)成立必然包含三个因素：(1)定义域:x的取值范围(2)对应规律:y依赖于自变量x的变化法则(3)值域:所有对应的y值组成的数集fDfR如果两个函数1f2,f满足12ffDD且112()()ffxfxxD则有12ff只有当两函数的定义域及对应规律完全相同时，才能说两个函数是相同的或相等的。1717例1、五个函数f,g,h,u,v分别定义为：2()gxx2()()hxx()xuxIne()Inxvxe()fxx:(,)fD:(,)fR:[0,)gR:(,)gD:[0,)hD:[0,)hR:(,)uR:(,)uD:(0,)vD:(0,)vR()()fxux18216sinxx例2、求函数的定义域。例3、设有半径为R的圆,记该圆内接正n边形周长为S(n).19二、函数的图象记{(,)(),}fGxyyfxxDfG称为函数的图形。()yfx几个特殊的函数举例1、符号函数sgn,:(,)fD1(0,)sgn001(,0)xyxxx1-1xyoxxxsgn定义设函数f的定义域为Ｄ，在平面直角坐标系，202、取整函数()fxx,10,1,2,xkxkkk12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线返回其是不超过x的最大整数，即x是单调增加函数。213、取最值函数)}(),(min{xgxfy)}(),(max{xgxfyyxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg224、分段函数：对于定义域内自变量x的不同取值范围，函数有不同的解析表达式12xy12xy221,0()1,0xxfxxx例如：23三、函数的性质1、奇偶性)()(xfxf)(xfyx)(xfox-x)(xfy奇函数,xD设D关于原点对称，对于有称f(x)为奇函数。24()(),fxfxyx)(xf)(xfyox-x)(xf偶函数,xD设D关于原点对称，对于有称f(x)为偶函数。2525??fgfg那么()cosfxx是偶函数，()sin,tan,cotfxxxx例如：是奇函数，26例4、判断函数的奇偶性：(1)()lnsectanfxxx(2)()tan24xfxarc例5、设函数f(x)满足：D(f)关于原点对称，证明:f(x)可表示成一个奇函数与一个偶函数之和。272、周期性()()ffxTfxxD则称f是以Ｔ为周期的周期函数满足上式的最小正数Ｔ称为f的最小周期。通常说周期函数的周期是指其最小正周期。对于函数f，常数T0，2l2l23l23l28(2)tancotyxyx和(3)sin,cosyxx是以2π为最小正周期的函数。(4)tan,cotyxx是以π为最小正周期的函数。是周期函数，周期T是周期函数，周期2T例5、(1)sin()cos()yxyx和291(5)cosyx是周期函数吗？例6、设函数f(x)定义在(-∞,+∞)上,若有常数c≠0,使得f(x+c)=-f(x),x∈(-∞,+∞),证明:函数f(x)是一个周期函数。303、单调性12()()fxfx12,,fxxDD12(()())orfxfx)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI对于函数f，如果任取12xx当时，恒有则称f在D上是单调增加的。（或单调减少）例如:取整函数314.有界性局部有界不唯一,fDD设有函数f，0,,MxD若()fxM恒有成立，则称f在D上有界，否则称为无界。()1(,)fxx例如:()sin,cosfxxx为有界函数。注意:函数是否有界，不仅与函数有关，且与区间有关。等价于：若两个常数m、M，(),,mfxMxD既有上界又有下界时，称为有界，否则称为无界。32例7、判断下列函数在给定区间上是否有界。2(1)()(2,4)2xfxxx2(2)()sin(0,)fxxxx33四、复合函数()()(())fgxfgx设有函数f和g，定义：,()gfxxDgxD称定义在上的函数fg为f和g的复合函数，记为()ugx()fgxD称为中间变量，其中为自变量。注意:判断函数f(x)和g(x)能否构成复合函数的关键是f(x)的定义域Df与g(x)的值域Rg的交集是个非空集合，即fgDR348.()arcsin,:[1,1]ffxxD例2()2:[2,)ggxxR求：复合函数和.()()fgx()()gfx39.()log:(0,):(,)fffuuDR例),0[:),4[:4)(ggRDvvg),0[:),(:)(6hhRDxxh求：复合函数.()()fghx3522cos2yx例10、试把分解为几个简单函数的复合（或由哪些简单函数的复合而成）例11、设，00()20xxfxx220(),0xxgxxx求：,gfgg36五、反函数1、定义：fyR设有函数f，如果对每一个，fxD有唯一的，满足：y=f(x)，fRyx则称这个定义在上的对应关系：1f为函数f的反函数，记作由定义：1ffDR1ffRD3711()()[()]fffxffxxxD111()()[()]fffyffyyyD2、性质：1）如果f的反函数存在，那么2）严格单调增加（或减少）函数的反函数也是3）奇函数的反函数也是奇函数；严格单调增加（或减少）函数。偶函数没有反函数。38),(baPxyo),(abQ反函数y=g(x)原函数y=f(x)4）如果反函数存在，则与原函数关于直线y=x对称。xye如：与y=lnx关于y=x对称。39例12、求函数的反函数，并指出反函数的定义域。2(1)()11,10;fxxx2()0(2)()3sin2xxfxxx40六、初等函数（一）基本初等函数()fxC1、常数函数:(,)fD为常数41oxy)1,1(112xyxyxy1xy2、幂函数yx是常数423、指数函数()(0,1):(,)xffxaaaDxya01xyaa(1)a434.对数函数()log(0,1):(0,)affxxaaDxyalogxya1log)1(a445、三角函数(1)sinyxxysin45(2)cosyxxycos46(3)tanyxxytan47(4)cotyxxycot48(5)secyxxysec49(6)cscyxxycsc50xyarcsin(7)arcsinyx51(8)arccosyxxyarccos52(9)arctanyxxyarctan53(10)cotyarcxcotyarcx54(二)初等函数由基本初等函数经过有限次代数运算和复合所构成的函数，并可用同一个解析式表示的函数。其定义域为使相应的解析式有意义的自变量的取值范围。55七、几个常用公式.ababab1、三角不等式对于任意实数a和b，都有2、平均值不等式对任意n个正数a1,a2,…,an，有1212.nnnaaaaaan