复旦大学高等数学课件06求导运算2-2

1§2求导运算本节的中心问题是求各类函数的导数，即介绍基本初等函数的求导公式，函数的四则运算求导,复合函数的求导法则等。初等函数导数表基本初等函数构成法求导法则2一、几个初等函数的导数)()(xfxxfy步骤:xxfxxfxy)()(xyyx0lim用导数的定义求出一些基本初等函数的导函数1）求增量2）算比值3）求极限1、常数f(x)=C0)(xf证：xxfxxf)()(xCC0xxfxxfxfx)()(lim)(003(),nfxxnNxxfxxfxfx)()(lim)(0xxxxnnx)(lim0xxxxxnnxnxxnnnnnx22102)1(lim)(lim01xonxxn1nnx1)(nnxxf2、幂函数证：4()xfxexxfxxfxfx)()(lim)(0xeexxxx0limxeexxx1lim01xexe)~1(xexxexf)(3、指数函数证：5()sinfxxxxfxxfxfx)()(lim)(0xxxxxsin)sin(lim0xxxxx)2cos(2sin2lim0)2cos(22sinlim0xxxxxxcosxxfcos)(4、正弦函数证：6二、四则运算的求导法则)(.1gf)()(gfgf)(.2fggfgf)(.3gf)0(g2ggfgf定理：,设f和g均是可导函数，是常数，则证：1、2略证：3设()()(()0)()fxFxgxgx7xxFxxFxFx)()(lim)(0xxgxfxxgxxfx)()()()(lim0xxgxxgxxgxfxgxxfx)()()()()()(lim0xxgxxgxgxxgxfxgxfxxfx)()()()()()()()(lim0)()()()()()()()(lim0xgxxgxxgxxgxfxgxxfxxfx2)()()()()(xgxgxfxgxf8])([.11niixf])([.2xCf11()()nnikikkifxfx])([.31niixf)()()(21xfxfxfnniixf1)()(xfC)()()(21xfxfxfn推论：923sinxyexxy求例1、例2、求的导数，1mmNx10三.复合函数求导的链式法则000()()()()fxfuxdxdududydxdy定理：（链式求导法则）0x00()ux如果函数在处可导，函数f在处可导，0(())ffxx则复合函数在处可导，且用微商记号注意：不要与导数的乘积混淆11xyx0lim])([lim00xuxuufxxuxuufxxx0000limlimlim)()()(00xuf证明：∵y=f(u)在点u0可导，)(lim00ufuyu)0lim()(00uufuy0()yfuuu则12xaxf)(xInae()()()fxfugxInaeuInaexInaInaaxxInae()(0,1)xfxaaa例3、指数函数解：()ufue()ugxxIna∴可视为函数和的复合()xxaaIna即例4、余弦函数(cos)sinxx解：)2sin(cosxx()sinfuu设()2ugxx(cos)()()xfugx)1(cosu)2cos(xxsin13)(tanxxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2secxx2csc)(cotxxxsectan)(secxxxcsccot)(csc)cossin(xx由此可得到其它三角函数的求导公式同理：142)(1uuuf)()()(xgufshxxeu2122xxeechx()xugxe2xxeeshx双曲正弦函数2xxeechx双曲余弦函数()chxshx同理：15dydydudvdxdudvdx注意：复合函数求导公式还可推广到有限次的复合函数的求导法则。(),(),(),yfuuvvx设{[()]}yfx则复合函数的导数为16四、反函数的求导法则0()0,fx1001()()()fyfxdxdydydx10(,),xab定理：如果f是(a,b)上严格单调的连续函数，f在x0上可导，且100()fyfx则反函数在处可导，且微商表示：证：记y=f(x)，∵y是严格单调函数，0)()(00xfxxfy0)()(0101yfyyfx∵f是严格单调连续的，1f是严格单调连续的，00yx当时，)()(01yfyyfyyfy)()(lim01010)()(lim000xfxxfxx)(10xf17yayf)(1)(logxaInaay1xIna1xInaxa1)(log1()Inxxx)(1ya()logafxx例5、对数函数证：当a=e时，有例6、任意幂1()xx为任意实数解：()x)(Inxe)(Inxe)1(xeInx1x18)(arcsinxycos1y2sin11211x)11(11)(arcsin2xxx)11(11)(arccos2xxx)(sin1yarcsin(11)yxx例7、证：同理可得)(11)(arctan2xxx21(cot)()1arcxxx以上基本初等函数的求导结果均为求导公式19例8、求y’.21yx例9、设f(x)可导，，求22()xyxfxe.dydx20例10、设，其中32121xyfx2()arctan,fuu求：0xdydx21五、对数求导法主要适用于:()()vxyux1）形如（幂指函数）的求导；2）求由三项或三项以上函数之积、商、乘方、或开方运算组成的函数的导数。])([)(xvxudxd][)()(xvxInuedxd][)()(xInuxvedxd])()([)()(xInuxvexInuxv)()([)()(xInuxvxuxv)]()()(xuxuxv相当于1）对等式两边取对数2）两边对自变量x求导3）结果以x形式表示22sinxyxy例11、求2354(2)(5)(4)xxyx例12、求的导数23六、高阶导数,f2222,,dxfdordxydynndxyd)(11nndxyddxd)(ny)(nfnndxydnndxfd定义：f如果函数y=f(x)导函数仍是可导函数，()f则可求出它的导函数，称之为f的二阶导函数，记作同理可推出f的n阶导函数也可记为：24xInx1)(1x)()(1xInx2x)()(2xInx3)2)(1(x3221)1(x101)1(x211)1(x)()(nInxnnxn)1(321)1(1nnxn)!1()1(1例13、求y=lnx的n阶导函数解：以此类推由此可推出)()1(nx1!)1(nnxn)1()(nInx25)()()()(nnngfgf如果函数f和g都是n阶可导函数，定理：,则1）对（常数）fg也是n阶可导，且()fgfgfg2）gfgfgffg2)(gfgfgfgffg33)(由数学归纳法得Leibniz公式nkknkknngfCfg0)()()()((0)(),offgg其中2621()32fxxx例14、求的n阶导函数23(10)()xfxxef例15、求27综合练习2()()(1)(53)cos(1)nnnfxxxxxf2、求22log()xyexxxy1、设，求其反函数的二阶导数。