复旦大学高等数学课件12函数方程的近似求解

1§8函数方程的近似求解一、数值方法1、求方程的解主要方法有两种：解析方法和数值方法。数值方法是一种求近似解的方法。是设法构造一个可实际计算的过程，并通过运行这个过程产生方程的精确解的一系列近似值。这些近似值（精度较高）理论上将收敛（在一定的条件下）于方程的精确解，称其为数值解或近似解。数值方法是用数学工具解决实际问题过程中的一个重要过程。22、迭代法数值计算中常用的求近似值的方法是迭代法。()0fx化为等价形式()xFx即是方程f(x)=0的解，则成立x(),xFx反之亦然。F(x)称为迭代函数。取初始值x0，按1()0,1,2,kkxFxk产生序列{xk}（设每个xk都属于F(x)的定义域），上述的计算过程称为迭代。33、Newton迭代法求函数方程f(x)=0的解：是求曲线y=f(x)与x轴的交点的横坐标xk，若曲线在x=xk处的切线方程为()()()kkkyfxfxxx与x轴的交点的横坐标为()()kkkfxxxfx1kxxy0y=f(x)x*xk+1xkxk-1即Newton迭代法实质上是通过一系列的切线与x轴的交点的横坐标，来逼近曲线与x轴的交点的横坐标，所以又称为Newton切线法。4定理：设f(x)在[a,b]中有二阶连续导数，且满足(1)f(x)·f(b)0;(2)在(a,b)保号;()fx(3)在(a,b)保号;()fx又设x0是a和b中满足00()()0fxfx的点，则以x0为初值的Newton迭代过程1()0,1,2,()kkkkfxxxkfx产生序列{xk}单调收敛于方程f(x)=0在[a,b]中的唯一解。5例：解方程lnsin.xx解：记，考虑区间，()lnsinfxxx[,]2e则有lnsin0,222f()lnsin0,feee而1()cos0[,],2fxxxex21()sinfxxx24sin0[,],2exe所以符合定理的全部条件；因为()()0,fefe所以初值取为x0=e,利用1()0,1,2,()kkkkfxxxkfx6计算结果如下：kxk|xk–x*|12342.257815620636622892.219512490173004782.219107195173873232.219107148913746833.87×10-24.05×10-44.63×10-88.88×10-1642.21910714891374683xx取作为方程f(x)=0的的近似解。x71、Newton迭代法是求解函数方程最基本和最重要的方程之一，它可推广到若干个方程构成的方程组的求解上去，在理论研究上有着重要的意义。同时，在实际求解方程中，它常常又是首选的方程。由于迭代函数比较简单，除了一些导函数特别复杂的情况外，每做一步迭代所化的运算量是比较小的，当初值选得好时收敛速度相当快，编程也比较容易。说明：2、当函数f(x)的导函数不太容易计算时，可以用11()()kkkkfxfxxx近似代替(),kfx这时的迭代公式为801111,,(),1,2,()()kkkkkkkxxxxxxfxkfxfx取初值其几何意义是用过(xk-1,f(xk-1))和(xk,f(xk))的割线代替过(xk,f(xk))切线，将这条割线与x轴的交点的横坐标作为新的近似值xk+1,这种方法叫割线法或弦割法。xy0y=f(x)x*xk+1xkxk-1