复旦大学高等数学课件13定积分的概念、性质、和微积分基本定理3-1

1第三章一元函数积分学上一章我们讨论了一元函数的微分运算，这一章将讨论微分的逆运算—积分学。因为我们不仅需要解决已知函数导数(或微分)的问题,而且往往需要解决与导数(或微分)运算正好相反的问题:已知物体运动速度v(t)，如何求物体运动的路程s(t)；已知曲线上各点的切线斜率k(x)时，又如何求出曲线方程；在经济管理中，类似的问题还可提出很多。2一、实际问题ABCDSEFttt联结行星和太阳之间的焦半径在相等的时间内扫过相等的面积。关键：计算椭圆扇形的面积§1定积分的概念性质基本定理1、Kepler第二定律（定积分思想的雏形）3abxyo?A)(xfy,,0xaxby2、面积问题设f是定义在[a,b]上的非负函数，围成的图形为曲边梯形。用矩形面积近似取代曲边梯形面积。abxyo（四个小矩形）abxyo（九个小矩形）(),yfx由小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。4bxxxxxaDnn1210:ixyoabix1x1ix1nxiiixfA)(作区间[a,b]的一个分割：把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，1,iiixxx长度为i，在[xi-1,xi]上任取一点ix以为底，小矩形面积：iniixf)(1n个小矩形面积相加得maxiix记()if为高的0如果分割越细，即时，上述和式的极限存在，则曲边梯形的面积iniixfA)(lim105二、定积分的定义bxxxxxaDnn1210:定义),,1(ni设f是[a,b]上的有界函数，对[a,b]的任意分割1[,],iiixx任取1iiixxx并记称为Riemann和，1()niiifx作和式max,iix记0如果时，Riemann和的极限存在，称f是[a,b]上的可积函数，称此极限为f在[a,b]上的Riemann积分，601lim()niiifx积分变量积分号﹏﹏被积函数﹏﹏﹏被积表达式()bafxdx积分上限积分下限简称定积分badxxf)(记作即说明1）定积分是面积的代数和，曲边梯形的面积就是定积分的几何意义；7()()bbaafxdxftdtabbadxxfdxxf)()(分割，取点，求和，取极限。2）积分值与积分变量符号的选取无关，即但与被积函数及积分区间有关；i3）定义中区间的分法及的取法是任意的；aadxxf0)(4）规定ab当时，5）计算面积的途径（即计算定积分）8提出两个基本问题：1）什么样的函数可积？2）怎样求可积函数的定积分？三、存在定理定理1定理2当函数f在[a,b]上连续时，称f在[a,b]上可积。设f是[a,b]上的有界函数，且只有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。9nixidxex10iniixf)(lim10nininne11limnnnnneeen211limnnnnneeen111)1(1lim1enxi1ni,,110xedx例1、利用定义计算解：不妨把[0,1]n等分，iiixn取1010ln()fxdxe12lnlimnnfffnnnnenifnnine1ln1limnnifnine1lnlim110)(lndxxfennfnfnfnne21ln1lim例2、设函数f在[0,1]上连续，且取正值。试证12limnnnfffnnn左式=右式11四、定积分的性质性质1（线性性质）[()()]bafxgxdxbabadxxgdxxf)()(设f和g是[a,b]上的可积函数，、对任意常数fg也是[a,b]上的可积函数，且（可推广到有限个线性组合）12性质2（可加性）dxxfba)(补充：cadxxf)(cbbadxxfdxxf)()(cbcadxxfdxxf)()(bccadxxfdxxf)()(bccadxxfdxxf)()([,]cab对任意一点，则有无论a、b、c的相对位置如何，上式总成立，abc如()bafxdx则13性质4dxxfdxxfbaba)()(性质3（单调性）性质5（积分中值定理）()()fxgx如果在[a,b]上babadxxgdxxf)()(则()()().bafxdxfba设函数f(x)在[a,b]上连续，至少存在一点，则在[a,b]上1()()baffxdxba是[a,b]上的平均值。14Mxfm)(bababaMdxdxxfmdx)()()()(abMdxxfabmbaMdxxfabmba)(1badxxfabf)(1)())(()(abfdxxfba)(ba证：∵函数f(x)在[a,b]上连续，Mm、∴在[a,b]上必由单调性再由闭区间连续函数的介值定理],[ba至少存在一点15xyoab)(f积分中值定理的几何解释在区间[a,b]上至少存在一点，使得以区间[a,b]为底边，以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积等于同一底边而高为的一个矩形面积。()f16()mfxM1)(21xfe1)21(21ef2111122221112221xedxedxdx222121212dxeex211221222xeedx例3、证明证：211(),22xfxe设在上连续，11,22在上必能达到其M和m，有2()2xfxxe又(0)1,f而172)(3sinlimxxxdttftt)2)((3sinlimxxf]2,[xx)(3sinlim2f)(3lim2f6lim()1xfx例4、设f(x)可导，且23limsin()xxxtftdtt求解：由积分中值定理18五、积分上限函数及其导数],[bax定理设函数f(x)在[a,b]上连续，()()xaFxftdt则函数在[a,b]上可导，()()()xadFxftdtfxdx且()xaftdt称为变上限的积分，或为f(x)的积分上限函数。19()()xxaFxxftdt()()xxxaxftdtftdt)()()(xFxxFxF))((xxxf],[xxxxFxFx0lim)()(lim0fxabxyoxx)(xFx()xxxftdtxxfx)(lim0x()()xadftdtfxdx证：0,x当[,]()abfxC又()()Fxfx即得20补充：)()(xgadttfdxd)()]([xgxgf)()()(xgxhdttfdxd)()]([)()]([xhxhfxgxgf设函数f(x)在[a,b]上连续，则有1）当g(x)在[a,b]上可导时，2）当g(x)，h(x)均在[a,b]上可导时，21例5、设求222sin2ln(1)()1xxtFxdtt()Fx(,)例7、设f(x)在内连续，且f(x)0，00()()()xxtftdtFxftdt(0,)证明函数在内单调增加。例8、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)1，02()1xxftdt证明在[0,1]上只有一个解。例6、求极限020(11)limsinxtxettdtx22六、原函数原函数的定义：dxxfxdFor)()(xx2)(2设f(x)为定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使其在I上的任一点，()()Fxfx都有则称F(x)为f(x)在I的一个原函数。xxcossin例：sinx是cosx的一个原函数；x2是2x的一个原函数。23()()xaFxftdt再如,x∈[a,b],f(x)∈R[a,b],则()(),Fxfx()()xaFxftdt正是f(x)在[a,b]上的一个原函数.如是的一个原函数。sinxatdttsinxx24原函数存在定理：问题：原函数的说明：)(xf)()()()(xGxFxGxF0)()(xfxfCxGxF)()(如果f(x)在区间I上连续，则在I上f(x)的原函数一定存在。1）原函数是否唯一？2）若不唯一，它们之间有什么联系？)(])([xFCxF1）C为任意常数∴F(x)+C都为f(x)原函数。2）若G(x)和F(x)都为f(x)的原函数，()()GxFxC则证：C为任意常数C为任意常数25七、微积分的基本定理()()xaGxftdtNewton-Leibniz公式：设f是[a,b]上的连续函数，F是f的一个原函数，()()()bafxdxFbFa则证：记由定义可知G是f的一个原函数，又F是f的一个原函数，CxFxG)()([,]xab当时，()()xaftdtFxC恒有()CFa取x=a得取x=b得CbFdttfba)()()()(aFbFNewton-Leibniz公式的意义2620(2cossin1)xxdx例9、计算222max{,}xxdx例10、计算111x21211dxx例11、计算解：原式对？错？