复旦大学高等数学课件16定积分的应用3-4

2011/9/31§4定积分的应用在自然科学等各个领域中应用定积分来度量是相当的多，如几何、概率和物理等方面。为了便于各类定积分应用问题的分析和计算，先介绍微元法的概念。abxyo)(xfyxdxx面积元素dAdxxfA)(dxxfA)(limbadxxf)(一、微元法()fxdxbadA曲边梯形面积微元：dx微面积曲边梯形总面积2011/9/32若某个量I与变量x的变化区间[a,b]有关，且符合1）满足关于区间的可加性，即整体等于局部之和；iII2）它在[x,x+dx]上的部分量近似于dx的一个线性函数，即I(),IdIodx其中称之为量I的微元；()dIfxdx()baIfxdx在应用问题中往往略去的验证。()IdIodx则总量I是微元的积分。即2011/9/33微元法的一般步骤：().baIfxdx1）根据具体问题，选取积分变量x，并确定其积分区间[a,b]；2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间，记为[x,x+dx],I求出相应于此小区间的部分量的近似值,()dIfxdx微元3）以微元为积分表达式，()dIfxdx在[a,b]上作定积分，得2011/9/34二、面积问题badxxfxfA)]()([12xyo)(1xfy)(2xfyabxx21[()()]dAfxfxdx1、直角坐标下的区域12(),(),yfxyfx曲线直线x=a，x=b，求其所围区域的面积。面积微元为2011/9/352xyxxy631A2A例1、求曲线所围成的区域的面积23,6yxyxx22,4yxyx例2、求曲线所围成的区域的面积xy224xy1A2Axy224xy2011/9/36()0yt)()(tyytxx],[tdttxtyA)()(2、参数方程形式下的面积问题如果曲边梯形的曲边为参数方程x(t)严格单调，x(t)，y(t)具有连续导数，则曲边梯形的面积为例3、求旋转曲线)cos1()sin(tayttax]2,0[t与x轴围成的面积。2011/9/37xodd)(rrdrdA2)]([21drA2)]([213、极坐标下的面积问题()rr，由曲线,及射线围成的曲边扇形面积。()[,]r在连续，面积元∴曲边扇形的面积为22cos2a例4、求双纽线所围成的区域的面积。xy2cos22a1A2011/9/38aaoyx)cos1(arartaytax33sincos323232ayxor心脏线星形线Archimedes螺线2011/9/39思考题设曲线y=f(x)过原点及点(2,3)，且f(x)为单调函数，并且是连续可导函数，现在曲线上任取一点，作两坐标轴的平行线，其中一条平行线、x轴及f(x)围成的面积是另一条平行线、y轴及f(x)围成的面积的两倍。求曲线f(x)的方程。2011/9/310三、已知平行截面面积求体积xoabxdxx()dVAxdxbadxxAV)()(xA设空间体介于平面x=a和x=b之间，被垂直于x轴的平面截出的面积为A(x)，所以，相应于[x,x+dx]上的体积微元为：母线与x轴平行，高为dx，底面积为A(x)的柱体体积，即2011/9/311RRxyoxM例5、一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并于底面成夹角，计算平面截圆柱体所得部分的体积。2011/9/312四、旋转体的体积圆柱圆锥圆台旋转体就是有一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫旋转轴。2011/9/313bxaxfyyx,)(0),(dxxfVba2)]([xdxxxyo)(xfy2)]([)(xfxAdxxAdV)(1、设空间体由平面图形绕x轴旋转一周而成，求此体积。解：用在x处与x轴垂直的平面截此立体所得截面是一个半径为f(x)的圆，截面面积为体积微元∴旋转体体积为2011/9/314dycyxyx,)(0),(dyyVdc2)]([xyo)(yxcd类似地2、设空间体由平面图形绕y轴旋转一周而成的体积为2011/9/315sinyxsin00yxyx例6、求1）绕x轴旋转的体积；2）绕y轴旋转的体积。例7、求曲线y=lnx及曲线上过点(e,1)的切线和x轴所围成图形绕x轴旋转所得旋转体体积。xyolnyxABe)1,(e)0,1(