复旦大学高等数学课件18行列式4-1

2011/9/31第二篇线性代数与空间解析几何线性代数的主要课题:线性代数源于对线性方程组求解方法和解的结论的讨论。它以矩阵为工具研究线性空间之间各类线性变换性质的数学理论。2011/9/32线性代数基本内容行列式、标准形与二次型。矩阵、n维向量、线性方程组、基本理论基础线性代数特点以离散变量为研究对象，抽象性、逻辑性和应用性强。2011/9/33第四章矩阵和线性方程组＊介绍行列式、矩阵的基本概念、性质和运算。＊讨论线性方程组的解。§1行列式行列式产生于解线性方程组。从消元法解二元、三元线性方程组来引入二阶和三阶行列式，将其推广到n阶行列式。进而介绍其的定义、性质和计算方法，最后给出解线性方程组的Cramer法则。2011/9/34一、n阶行列式的定义22221211212111bxaxabxaxa2112221122211211aaaaaaaa次对角线主对角线二阶行列式1、二阶行列式2011/9/35333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa322113aaa312312aaa312213aaa322311aaa332112aaa三阶行列式1）每项为三个元的乘积，所属不同的行、列，且仅出现一次。每一项都可写成321321iiiaaa321,,iii是1，2，3的一个排列；2、三阶行列式3、三阶行列式的结构2011/9/362）每项都带有符号3）三阶行列式可写成333231232221131211aaaaaaaaa321321iiiaaat)1(？？对角线法对四元一次方程组不成立!!!当n3时，行列式的代数形式呢？逆序数：一个排列中，逆序的总和，称为此排列的逆序数。4、逆序数的概念一个数i逆序：即数字i的前面比i大的数字的个数。2011/9/37)1(21n2/)1(nn135(21)24(2)nn例1、求排列逆序数。解：135(21)n不构成逆序；2前面有n-1个数比它大，故有n-1个逆序；4前面有n-2个数比它大，故有n-2个逆序；依次下去，直到前面没有数比它大，故没有逆序；将所有元素的逆序相加得逆序数：2011/9/38:::322113312312332211aaaaaaaaa2312223101230:::312213332112322311aaaaaaaaa332112131132三阶行列式中正项的情况：均为偶数，行数已成自然排列123，只需考虑列数的情况；三阶行列式中负项的情况：均为奇数。直观地得到排列的逆序数为偶数时，该项符号为正；12niii排列的逆序数为奇数时，该项符号为负。12niii2011/9/395、n阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211)det(AA称此为n阶行列式，ijan阶行列式是下列所有这些项的代数和。(,1,,)ijaijn把n2个数排列成一个有n行、n列的记号：记为：第i行第j列上的数或元nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nniiiaaa21211）（2011/9/310nniiiaaa21211）每项为n个元的乘积，n个元素是从每一行中选出，且在不同列上，一般形式为第一下标：按行1,2,…,n的顺序排列，12niii第一下标：是1,2,…,n的一个排列，2）符号确定：(1)若的逆序数为偶数，为正，12niii(1)若的逆序数为奇数，为负；12niii3）n阶行列式有n2个元，共有n!项。说明：2011/9/311用定义计算一般的行列式十分繁杂不现实!543204320032000()2000000000000006xxxfxxx例2、求x5的系数。2011/9/312性质1行列式与其置换行列式相等nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnnnnaaaaaaaaa212221212111说明：6、行列式的性质AA即2011/9/313性质2行列式仅改变符号。nnnjnjininaaaaaaaa111111nnninijnjnaaaaaaaa111111说明：互换行列式的两行(或两)列，2011/9/314性质3行列式中某行(或某列)元素的公因子可提到行列式的外面。nnnininnnnininaaaaaakaakakaaa1111111111推论性质4行列式中任意两行(或两列)元素对应成比例，行列式中任意两行(或两列)元素相等，则该行列式的值为零。则该行列式的值为零。2011/9/315性质5nnnininaaaaaa11111nnnnnaabbaa11111nnnnininaababaaa1111112011/9/316性质6行列式某行(或列)的各元素乘上常数倍后加到另一行(或列)的对应元素上，此行列式的值不变。nnnjnjjninjinaaaaakaakaaa1111111nnnjnjininaaaaaaaa1111112011/9/317性质7三角行列式等于其对角元素的乘积。nnnnaaaaaa21222111nnnnaaaaaa22211211nnaaa2211nkkka1naa1naaa21三角行列式对角行列式naa1nnnaaa212)1()1(2011/9/318余子式ijnnjnjnnnijijiinijijiinjjijaaaaaaaaaaaaaaaa)1()1(1)1()1)(1()1)(1(1)1()1()1)(1()1)(1(1)1(1)1(1)1(111ijAa划去中元素所在的行及列，得到n-1阶子式（行列式）.记为ijija称为的余子式。2011/9/319代数余子式ijjiijA)1(nnjnjnnnijijiinijijiinjjjiijaaaaaaaaaaaaaaaaA)1()1(1)1()1)(1()1)(1(1)1()1()1)(1()1)(1(1)1(1)1(1)1(111)1(ija称为的代数余子式。2011/9/320148529361A6341236341)1(3223A6nnAaAaAaA1112121111n阶行列式可定义为ija为的代数余子式。ijjiijA)1(其中如2011/9/321性质8ininiiiiAaAaAaA2211),2,1(ni))1()1()1((222111inniiniiiiiiaaanjnjjjjjAaAaAaA2211),2,1(nj))1()1()1((222111njjnnjjjjjjjaaa推论nkjkikAa1nkkjkiAa1AijjijiA0（Laplace展开定理）n阶行列式可按第i行展开或按第j列展开2011/9/322二、行列式的计算记号()ijijrc1、表示互换i,j两行（列），()ijijrrcc或(0)kk2、表示第i行（列）提取公因子()ijkrkc()jijikrrkcc3、表示以数k乘以第j行（列）各元素加到第i行（列）相应元素上去。2011/9/3233351110243152113A例3、计算2164729541732152A例4、计算211121112A例5、计算（两种方法）naxxxaxxxa21例6、计算2011/9/324练习n33323331计算)(1jnijiaa113121122322213211111nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaV例7、证明n阶范德蒙（Vandermonde）行列式2011/9/32511114321)4()3()2()1()4()3()2()1(22223333xxxxxxxxxxxxA例8、计算dddcccbbbaaaDn2n20000例9、计算2011/9/326三、克莱姆法则（Cramer法则）nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)(设含有n个线性方程和n个未知数的方程，如果线性方程组的系数行列式0212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA2011/9/327ABx11ABx22ABxnn)(则方程组有唯一解：(1,,)jBjn其中是把系数行列式中j列的元素A用方程组右端的常数项替换后所得到的n阶行列式。nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaB)1()1(11)1(11)1(111),,2,1(nj第j列2011/9/328证：()1）方程组有解（存在性），(1,,)jjBxjnA即是解；()2）是唯一解（唯一性）.说明：Cramer法则适用的条件1）方程组的方程个数与未知数个数必须相等2）方程组的系数行列式不等于零定理Cramer定理的逆否定理()如果线性方程组无解，或有两个不同的解，0.A则它的系数行列式2011/9/329定义：1）当b1,…,bn全为零时，000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa即称为齐次线性方程组。2）当b1,…,bn不全为零时，即称为非齐次线性方程组。2011/9/330结论021nxxx显然是齐次线性方程组的解，称为零解。非齐次线性方程组的一组不全为零的解，称为非零解。齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解。Cramer法则的推论0A如果齐次线性方程组的，则只有零解；0;A如果齐次线性方程组有非零解，则如果齐次线性方程组的，则有非零解；0A0.A如果齐次线性方程组只有零解，则2011/9/331032203202321321321xxxxxxxxx例10、设齐次线性方程组有非零解，求的值。说明：Cramer法则的意义给出了解与系数的明确关系，但如果按这一法则解方程，计算量太大，所以一般不用其法则来求其解。为此，引出矩阵的概念及方法。