复旦大学高等数学课件19矩阵4-2

§2矩阵矩阵是线性代数主要的研究对象，在数学的许多分支中有着重要的应用。许多实际问题可用矩阵来表示，并可用线性代数的矩阵理论来解决。本章主要讨论：矩阵的概念及其运算；逆矩阵；初等变换与矩阵的秩；线性方程组的求解。一、矩阵的概念(1,2,,;1,2,,)ijnmainjmnmnnmmaaaaaaaaa212222111211nmija矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，简记为()nmijnmAa)(21maaa行矩阵naaa21列矩阵1、定义个实数排成的n个行m个列的数表。称为的实矩阵，为矩阵的元素，表示第i行第j列交叉位置上的元素。2、两个矩阵A和B相等同型矩阵：矩阵A和B的行数与列数分别相同只有两个同型矩阵才能讨论其相等。两个矩阵A和B相等A和B同型矩阵，且对所有的i、j满足ijijab记为：A=B3、n阶方阵行数与列数相等的矩阵一般形式：111212122212nnnnnnaaaaaaaaa4、单位矩阵100010001nijnnnnI10ijijij6、对角矩阵12120000(,,)00nijinnnnndddiagddddd5、数量矩阵000000nnnI7、三角矩阵1）上三角阵0,ijijnnaaij11121222000nnnnaaaaaa即：2）下三角阵0,ijijnnaaij即：11212212000nnnnaaaaaa8、零矩阵0nm所有元素全为零0(1,,;1,,)ijainjm也即分量全是零的向量称为零向量。9、负矩阵设()ijnmAa()ijnmAa10、转置矩阵设()nmijnmAaR则转置矩阵()TijmnAb其中ijjiba即矩阵的行（或列）换成列（或行）所得的矩阵。列向量表示ab、naaa21行向量表示TTab、12()Tnaaaa显然，对,A()TTAA二、矩阵的运算1、加法设()ijnmAa()nmijnmBbR定义()ijijnmABab(1,,;1,,)injm矩阵的加法满足如下运算规律：1)ABBA2)()()ABCABC3)()TTTABAB4)0AA5)()0AA2、减法设()ijnmAa()nmijnmBbR定义()()ijijnmABABab(1,,;1,,)injm3、数乘设数R()nmijnmAaR定义：数乘为()ijnmAa矩阵的数乘满足如下运算规律：1)()()AA2)()AAA3)()ABAB000000nnnI4、乘法设()nmijnmAaR()mpijmpBbR定义矩阵与的乘积为：AB1mnmmpikkjknpABab1122()ijijimmjnpababab表示：nmmpAB的第行第列交叉位置处ij(,)ij的元素等于的第行元素与的第列元素对应相乘后加起来。AiBj注意：与可相乘，即有意义的条件是ABABBA列数必须等于的行数。结果是AB乘积的行数等于的行数，A列数等于的列数。B例：设142142A121352B则与可相乘为：23A32BAB15141514那么?BA首先根据两矩阵相乘的条件判断是否可相乘，BA即第一矩阵的列数=第二矩阵的行数。142416872814显然，与是两个不同型矩阵。ABBA一般情况下，矩阵的乘法是不满足交换律的。也未必是同型矩阵；①与不一定可相乘；BA②即使与可相乘（如上例），那么与BAABBAAB假设与可相乘③即使与是同型矩阵，一般情况下，ABBA.ABBA所以，矩阵的乘法是有次序的。为了区别：规定称为左乘；ABABBA称为右乘.ABnmA4)nnmnmmIAAIA矩阵的乘法满足如下运算规律：1)()()ABCABC2)()ABCACBC3)()ABCABAC5)()()()kABkABAkBk为任意常数6)()TTTABBA7）任何方阵A与其本身总是可以相乘的，记A的次幂为：kkkAAAA且规定0AI矩阵究竟有何实际意义呢？列昂杰夫投入—产出模型ija()ijnnAa为投入-产出矩阵ija从经济角度来看，每个部门都有双重身份：1）作为生产部门生产出各种产品以满足各种需要-产出2）作为消费者又消费着其他部门生产的产品-投入设国民经济（或某地区的经济）有n个经济部门，假定每个部门只生产一类产品（简单起见），用货币来表示各个部门所生产的产品与消耗的商品。其中为投入系数，且非负的，其含义：：每生产1万元第j类产品所需消耗的第i类商品的价值。设n=3时，111213212223313233aaaAaaaaaa0.250.400.500.350.200.200.300.10正常投入系数是小于1的正数A:第一列表示生产第一类商品所消耗的第一类商品、第二类商品及第三类商品的价值（用货币表示）；同理，第二（三）列表示生产第二（三）类商品所消耗的各类商品的价值。1ija表明：生产第j类产品所消耗的第i类产品的价值反比j类产品本身价值还要大。若A的每一列各元素之和大于1。例1：某厂向三个商店发送四种产品343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA则发送的数量可用矩阵A表示：则四种产品的单价和单件重量可表示为矩阵B：aij表示向第i店发送第j种产品的数量bi1表示第i产品的单价，bi2表示第i产品的单件重量，4241323122211211bbbbbbbbB4241323122211211bbbbbbbb343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa413341134122411241214111jjjjjjjjjjjjjjjjjjbabababababa总值和总重量的矩阵例2、在群体遗传学中，若一种群体带有两种等位基因1a2a将这两种等位基因用矩阵表示，12aAapPq如果这个种群随机交配，就得到四种基因型11122122,,,aaaaaaaa雌亲体，第二个字母表示雄亲体），那么这种基因组合可用矩阵1122TaAAaaa11122122aaaaaaaa来表示，而相应的基因型的可能性可用TpPPpqq22ppqqpq来表示。和，它们的可能性分别为p和q（p+q=1）.相应的可能性用表示。（这里每对中的第一个字母表示线性方程组11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb写成矩阵的形式AXB其中：111212122212mmnnnmnmaaaaaaAaaa系数矩阵121mmxxXx解向量121nnbbBb当B=0时,0AX为齐次方程组称为零解或平凡解当时,0X称为非零解或非平凡解解线性方程组的问题变成了求矩阵X.当X=0时,三、分块矩阵及运算1、定义将一个矩阵用横线和纵线分成若干小块后所得的矩阵称为分块矩阵。例如：111213212223313233aaaAaaaaaa11122122AAAA称为A的子矩阵。stA2、加法设()ijnmAa()nmijnmBbR定义()stABAB同样的分块方式，相应的同型矩阵相加。3、数乘()ijnmAa4、乘法设()ijnmAa()ijmpBb若A的列数分法与B的行数分法相同，即()stAA()rtlBB则()rslABC()stA5、特殊的分块111212122212mmnnnmnmaaaaaaAaaa12maaa其中：为A的第j个列向量。ja(1,,)jm例如：n维向量00100(00100)Tie则n维单位矩阵：12()nIeee12TTTneee四、方阵与行列式的性质：1.ABABBABA2.kkAA3.TAA