复旦大学高等数学课件20逆矩阵4-3

2011/9/31§3逆矩阵线性方程组11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb写成矩阵的形式AXB其中：111212122212mmnnnmnmaaaaaaAaaa系数矩阵121mmxxXx解向量121nnbbBb解线性方程组的问题转化成求列矩阵X的问题，而求X的方法就是矩阵的除法，为此引入逆矩阵的概念。2011/9/32一、逆矩阵的概念1、定义对于n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B，则称B为A的逆矩阵（A也称为B的逆矩阵），记为A-1这是称A是可逆阵（简称可逆）。2、定义若n阶方阵，满足|A|≠0，则称A为非奇异矩3、定理n阶方阵A可逆的A是非奇异阵证：∵A可逆，1AAI又由行列式性质：11AAAA1I0A即A是非奇异阵同时也得到了11AAABBAI满足（简称非奇阵）,否则称A为奇异矩阵。阵，2011/9/33记A的伴随矩阵为：1121112222*12nnnnnnAAAAAAAAAA其中Aij为aij的代数余子式，则有*AA111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA000000AAA即*AAAI∵A是非奇异阵，即0A*AAIA∴由逆矩阵定义得：*1AAA即A可逆。2011/9/34cossinsincosA例1、设求1A解：cossinsincosA22cossin1xx即0A1A*1AAA112112221AAAAAcossinsincos用求逆矩阵的方法较适用于低阶的*1AAA可逆矩阵，但是求n阶矩阵的逆矩阵要求算出n2个n-1阶行列式和一个n阶行列式。2011/9/35（设A、B均是同阶可逆矩阵阵）111)()AA4、逆矩阵的性质：2)可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。若AB=I或BA=I之一成立，则B=A-13)114)()()TTAA1115)()ABBA若A可逆，数k≠0，则kA也可可逆，且6)111()kAkA117)AA2011/9/36二、用初等变换求逆矩阵若有一列n阶方阵B1，B2，…，Bm从一个方向依21(*)mBBBAI2121mmBBBABBBA1I210mBBB因此B1，B2，…，Bm都是可逆的；且1121mBBBAAIA即121(*)mABBBI所以Bm…B2B1为A的逆矩阵。从（*）→（*’）说明：若将一串矩阵同时作用于矩阵A和单位矩阵I，则它们在将A变成单位阵I了单位矩阵，即依次乘A（假如左乘），即Bm…B2B1A，使得A变成的同时，将单位阵I变成了A-1.所以，只要设法找到这样一串矩阵B1，B2，…，Bm即可求出逆阵。2011/9/371、初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。有三种类形：定理：1）将n阶单位阵I的第i行与第j行互换（或第i列与11011011ijE第i行第j行容易验证：1()ijijEE说明：Eij可逆第j列互换）所得的矩阵称为第一类初等矩阵。2011/9/382）将n阶单位阵I的第i行（或第i列）乘非零常数λ1()11iP第i行容易验证：11(())iiPP说明：Pi(λ)可逆所得的矩阵称为第二类初等矩阵。2011/9/393）将n阶单位阵I的第i行乘常数λ加到第j行（或11()11ijT第i行第j行容易验证：1(())()ijijTT说明：Tij(λ)可逆以上三类初等矩阵统称为初等矩阵。第j列乘常数λ加到第i列）所得的矩阵称为第三类初等矩阵。2011/9/310定理：1）用Eij左乘（右乘）矩阵A相当于2）用Pi(λ)左乘（右乘）矩阵A相当于3）用Tij(λ)左乘（右乘）矩阵A相当于以上三种变换分别称为矩阵的第一、第二、()ijijrrcc()ijrkck()jijirkrckc统称为矩阵的初等变换互换A的第i行与第j行（或第i与第j列）。用λ乘A的第i行（或第i列）。A的第i行（第j列）乘常数λ加到第j行（第i列）。第三类初等行（列）变换。与行列式的运算有什么不同?2011/9/311例2、P3(-2)是将单位矩阵的第3行（列）乘（-2）；P3(-2)A是将矩阵A的第3行乘（-2）；AP3(-2)是将矩阵A的第3列乘（-2）；T12(1)是将单位矩阵的第1行乘1加到第2行；或是将单位矩阵的第2列乘1加到第1列；T12(1)A是将矩阵A的第1行乘1加到第2行；AT12(1)是将矩阵A的第2列乘1加到第1列。初等变换将矩阵A化为B时，A与B之间用记号“→”或“~”连接。矩阵的初等变换是线性代数的一个重要工具。2011/9/3122、用初等变换求逆矩阵定理：n阶方阵A可逆存在初等矩阵B1，B2，…，Bp(C1，C2，…，Cq)使得21pBBBAI12()qACCCI121pABBB112()qACCC推论：可逆矩阵可以分解为有限个初等矩阵的乘积。2011/9/313由以上定理得到一种求逆矩阵的实用方法：AI若干初等行变换1IA﹏﹏辅助矩阵或AI若干初等列变换1IA例3、设求1A111241314A2011/9/314三、矩阵的秩1、定义矩阵中一切非零子式的最高()nmijnmAa阶数，称为矩阵A的秩，记为r(A).等价于矩阵A的秩等于r有r阶子式不等于零，所有大于r阶的子式均为零秩是矩阵的一个重要数字特征，是求解线性2、秩的求法定理：若A～B,则r(A)=r(B).即初等变换不改变矩阵的秩所以，用初等变换将A化为阶梯形阵可得其秩。Frobenius首先提出的An×m的r阶子式有个rrmnCC方程组的核心概念！2011/9/315例4、设112302164132711161Aab求A的秩。定义：()nmijnmAa设若()rAn则称A为行满秩矩阵；若()rAm则称A为列满秩矩阵；若A为n阶矩阵，且()rAn则称A为满秩矩阵。2011/9/316四、线性方程组的预备知识线性方程组AXB其中：111212122212mmnnnmnmaaaaaaAaaa121mmxxXx121nnbbBb如果1122,,,mmxkxkxk是上述方程组的解，12TmXkkk那么称为线性方程组的解向量，即是矩阵方程AX=B的解。矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的讨论中有着重要的作用。2011/9/317设有两个n元线性方程组11AXB22AXB如果的解都是的解11AXB22AXB而的解又是的解22AXB11AXB11AXB22AXB同解消元法如何解线性方程组基本思想：通过方程组的消元变形把方程组化成容易求解的同解方程组解：①↔②得举例1231231232262435728xxxxxxxxx①②③(1)1231231232432265728xxxxxxxxx①②③(2)2011/9/318①×(-2)+②①×(-5)+③1232323243690171913xxxxxxx①②③(3)②×(-17/6)+③②×(1/6)12323324330213132xxxxxx①②③(4)③×(2/13)1232332433022xxxxxx①②③(5)③×(3/2)+②③×(-4)+①123132xxx(6)2011/9/319消元法解线性方程组时，始终把方程组变成对方程组反复施行三种运算：ijikikj运算。故只要不打乱系数的排列，即可把变量隐去，记为AAb称为增广矩阵。所以，消元法解线性方程组的三种运算，就是化为阶梯形矩阵，新的矩阵所对应的线性方程组另一个同解方程组（(1)～(6)均为同解方程组），对线性方程组的增广矩阵进行相应的初等行变换，的解就是原来线性方程组的解。且整个过程中，只对方程组的系数和常数项进行