复旦大学高等数学课件21线性方程组4-6

2011/9/31§6线性方程组解线性方程组常用的三个方法：1）Crammer法则；2）消元法；3）利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的情况。秩是求解线性方程组的核心概念！2011/9/32一、利用矩阵的秩讨论线性方程组设线性方程组11112211211222221122mmmmnnnmmnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb即：11nmmnAXB我们已介绍过消元法解线性方程组实质是，用行初等变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形同解的线性方程组。矩阵，因为行等价的矩阵对应的线性方程组是2011/9/33阶梯矩阵为：11121112222210000000000000000rmrmrrrmrrccccdcccdccdd1）若10,rd意味着()()rArA则方程组无解；2011/9/342）若10,rd且().rAm即()()rArAm方程组未知个数A若干初等行变换阶梯形矩阵再经有限次的初等行变换1210001000100000000mddd则方程组有唯一解1122mmxdxdxd写成矩阵形式12mxxx12mddd2011/9/35且().rAm即()()rArAmA经有限次的初等行变换111121221100010001000000rmrmrrrmmccdccdccd有r个独立未知量，r个独立方程，则此方程组有无穷多组解。10,rd3）若方程组未知个数m-r个自由未知量。2011/9/36对应的线性方程组11111122112211rrmmrrmmrrrrrmmrxcxcxdxcxcxdxcxcxd移项后得：11111122112211rrmmrrmmrrrrrmmrxcxcxdxcxcxdxcxcxd自由未知量的个数m-r(A)个若令11,rxk22,rxk,mmrxk2011/9/37得：111111221122111122rmmrrmmrrrrrmmrrrrmmrxckckdxckckdxckckdxkxkxk12,,,mrkkk为任意常数。2011/9/38定理：对一般的m元非齐次线性方程组11nmmnAXB1）当时，()()rArA方程组无解；2）当（未知量个数）时，()()rArAm方程组有唯一解；3）当（未知量个数）时，()()rArAm方程组有无穷多组解。2011/9/39相应的齐次线性方程组111122121122221122000mmmmnnnmmaxaxaxaxaxaxaxaxax即：10nmmAX总是有解的，120(0)mxxxX所以，齐次线性方程组只有两种情况1）当（未知量个数）时，()rArm方程组有唯一零解；2）当（未知量个数）时，()rArm方程组有无穷多组非零解。r个独立方程，m-r个自由未知量。此时，齐次线性方程组有r个独立未知量，2011/9/310定理：对一般的m元齐次线性方程组10nmmAX（未知量个数）()rArm方程组有非零解方程组只有零解()rArm（未知量个数）推论1如果齐次线性方程组AX=0的方程个数nm未知量个数则方程组必有非零解。推论2有非零解0,A0.An个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解2011/9/311二、线性方程组解的结构（一）先讨论齐次线性方程组性质10AX的解具有以下性质：如果是AX=0的两个解向量，(1)(2),mxxR则也是AX=0的解。(1)(2)xx性质2则也是AX=0的解。()jx如果是AX=0解向量，是数，()jmxR齐次线性方程组的解的两个性质说明：如果是AX=0的解(1)(2)(),,,pmxxxR向量，则它们的线性组合(1)(2)()12ppxxx1,,pR仍是AX=0的解向量。2011/9/312定义若向量组满足()1pjjx1）每个向量都是AX=0的解，()jx2）向量组中所有向量线性无关，3）AX=0的任意一个解都能够用线性表示()1pjjx则称为该齐次线性方程组AX=0的一个()1pjjx基础解系，称（是任意常数）为()1pjjjxj该齐次线性方程组AX=0的通解。2011/9/313定理1设nmAR()rArm未知量个数那么齐次线性方程组AX=0的每个基础解系中恰有m-r个解，(1)(2)(),,,mrxxx()1pjjjxx(1,,)jjmr为常数。证：0AX()rArm则方程组必有非零解，对系数矩阵A施以有限次初等行变换化成标准形矩阵而且该方程组的任意一个解x都可以表示为2011/9/314其同解的线性方程组为111112211211000rmrmrmrmrrrrmrmxbxbxxbxbxxbxbx1,,rmxx其中是m-r个自由未知量，取得：11,rxk22,rxk,mmrxk1112121100010001000000mrmrrrmrbbbbbb00rIB标准形2011/9/315写成向量的形式：121rrmxxxxx1111100rbbk1222010rbbk1001mrrmrmrbbk1111122112111122mrmrmrmrrrrmrmrrrmmrxbkbkxbkbkxbkbkxkxkxk1(,,)mrkkR2011/9/316即121rrmxxxXxx111(1)100rbbx122(2)010rbbx1()001mrrmrmrbbx所以，齐次线性方程组的通解为：(1)(2)()12mrmrxxxx1(,,)mrR(1)(2)(),,,mrxxx就是AX=0的一个基础解系。()1mrjjjxx其解是AX=0的通解，包含了其全部解。满足定义的三条件mrBI的列向量2011/9/317例1、求齐次线性方程组一个基础解系，并求其通解。12451234512345123453020426502424160xxxxxxxxxxxxxxxxxxx2011/9/318求齐次线性方程组An×mXm×1=0的通解的方法：10先求解基础解系，在求其通解（一般解）①对方程组系数矩阵A作初等行变换化为标准形矩阵00rIB必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换当rm时，方程组有非零解；当r=m时，方程组只有零解。②由标准形矩阵求出齐次线性方程组的一个基础解系mrBI即的列向量；③按齐次线性方程组解的结构写出其通解：()1mrjjjxx2011/9/31920先求一般解，再从中找出基础解系，①对方程组系数矩阵A作初等行变换化为标准形矩阵00rIB必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换当rm时，方程组有非零解；当r=m时，方程组只有零解。②由标准形矩阵直接写出方程组一般解（向量形式）③从中找出其基础解系，写出其通解。2011/9/320（二）非齐次线性方程组AX=B的解具有以下性质：性质3如果是AX=B的两个解，(1)(2),xx则是其对应齐次线性方程组AX=0的解(1)(2)xx性质4则仍是AX=B的解。()*jxx如果是AX=B的解，*x由性质3可知：则当rm任一解x总可表示为**()xxxx*()jxx再由性质4可知：*()jxxx也就取遍了AX=B的全部解（即通解）.()jx对应AX=0的解，()jx当取遍其AX=0的全部解如果是AX=B的解，*x（即通解）时，2011/9/321定理2设是AX=B的一个解（特解）0x当()()rArArm对AX=B有无穷多组解，对AX=0有非零解，(1)(2)(),,,mrxxx是相应AX=0的一个基础解系(1)(2)()120mrmrxxxxx则()01mrjjjxx是AX=B的通解。由定理2及求齐次线性方程组的基础进解系和通解的方法，可得到求AnmXm1=B的通解方法：2011/9/322①对方程组的作初等行变换化为标准形矩阵A00*rIBb②由标准形矩阵求出方程组的特解x0及对应齐次线性具体如下：ⅰ）如果标准形矩阵中＊的元素不全为零，ⅱ）如果标准形矩阵中＊的元素全为零，那么mrBI列向量为对应AX=0的基础解系，AX=B的特解00mrbx必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换注：若有列交换时，相应的分量位置也要相应的交换。③按AX=B解的结构写出其通解：()01mrjjjxxx10方程组的基础解系x(j)；那么AX=B无解2011/9/3232000*rIBb必要时交换列的位置，此时变量也要相应交换②由标准形矩阵可直接写出对应的齐次线性方程组的一般解（向量形式），从中找出其基础解系；③由标准形矩阵求出特解，从而得其通解。①对方程组的作初等行变换化为标准形矩阵Aⅰ）如果标准形矩阵中＊的元素不全为零，那么AX=B无解ⅱ）如果标准形矩阵中＊的元素全为零，2011/9/3241234123412340312312xxxxxxxxxxxx例2、求非齐次线性方程组一个基础解系，并求其通解。（两种方法）2011/9/325例3、讨论非齐次线性方程组解的情况（λ≠0）1234123412341234xxxxxxxxxxxxxxxx对含参数的线性方程组解讨论，可分情形处理：1）方程个数等于未知量个数时，有两种求解方法：解法一解法二2）方程个数不等于未知量个数，或系数矩阵A不含参数，而常数项含参数，一般只能用初等行变换。