复旦大学高等数学课件23平面和直线

1立体几何知识告诉我们，给定了与平面垂直的方向和平面上的任意一点，就可以唯一确定这个平面。一、平面的点法式方程定义(法向量):(,,)nABC与平面垂直方向的非零向量称为这个平面的法向量，记为.§2平面和直线2xyzo0PPn0000(,,)Pxyz设为平面上的一个点，(,,)nABC为平面的法向量。(,,)Pxyz平面上任一点，0PPn则00nPP即＊式变形为0AxByCzD)(000CzByAx000()()()0AxxByyCzz＊即为平面的点法式方程。为平面的一般式（普通）方程。3说明：n若A,B,C有一个或两个为零，即此法向量在相应的一个坐标轴上的投影为零，则法向量(,,)nABC垂直于相对应的一个或两个坐标轴。例1、求过点M0(2,-1,4)和y轴的平面方程。解：10建立所求平面的点法式方程20建立平面的一般方程4二、确定平面的另一类条件不在一条直线上的三个点唯一确定一张平面。000011112222(,,),(,,),(,,),PxyzPxyzPxyz01,nPP02,nPP设平面所过的三个点为：∴该平面的法向量，n0102nPPPP0nPP00201()0PPPPPP(,,)Pxyz假设为平面上任一点，则由点法式得称为平面的三点式方程。50002010020100201zzzzzzyyyyyyxxxxxx说明：由混合积的定义、性质得四点共面的条件：0DCzByAx展开后为在实际计算时，可将已知点的012,,PPP坐标代入平面的一般方程，用待定系数法解出方程，比用三点式方程计算简便。6例2、求过点A(2,-1,4),B(-1,3,-2),C(0,2,3)的平面方程。解：10用平面的普通方程20用平面的点法式方程7特殊情况:000DcCDbBDaAxyzo0P1P2P1czbyax当平面所过的三个点分别来自于三个坐标轴上的0(,0,0),Pa12(0,,0),(0,0,),PbPc点，设为代入平面的一般式方程为1）当a,b,c均不为零时，平面方程为：平面截距式方程8xyzo)0,0,(0aP)0,,0(1bP),0,0(2cP2）当a,b,c中只有一个为零时，所确定的平面为坐标平面当a=0零时，Oyz平面x=0，当b=0零时，Oxz平面y=0，当c=0零时，Oxy平面z=0.9三、直线方程的几种形式确定空间中的一条直线主要条件有两类1、确定直线的方向和直线上的一个点2、确定直线上的两个点10xyzoPl0P(,,),llmn1、设直线的方向向量为0000(,,),Pxyz直线所过的点为(,,),Pxyz∴直线上任何一点∥0PPl显然00PPl即nzzmyylxx000即称为直线的对称式方程，或点向式方程。说明：若l,m,n中有等于零的，如0000xxyyzzmn则将上述方程改写为nzzmyyxx0000如00000xxyyzzn则改写为0000yyxx11),,(),,,(11110000zyxPzyxP010010010zzzzyyyyxxxx2、若给定了直线上的两个点01PPl则的方向就是直线的方向向量，∴由直线的对称式方程得为直线的两点式方程。3、直线的参数方程直线的对称式方程中，记tnzzmyylxx000直线的一组方向数tnzztmyytlxx000(,)t为直线的参数方程。12234:112xyzL例3、求直线与:260xyz平面的交点。134、空间直线L可以看做是两张互不平行的平面11111:AxByCzD与22222:DzCyBxA相交成的直线，∴空间直线L上的任何点的坐标应同时满足这两个平面的方程，0022221111DzCyBxADzCyBxA即应满足方程组＊反过来，如果点M不在直线L上，那么它不可能12同时在平面和平面上，即它不满足＊式。∴直线L可用方程组＊即联立方程组表示，0022221111DzCyBxADzCyBxA称为空间直线的一般（普通）方程。14xyzo12L1111(,,)nABC平面的法向量122222(,,)nABC平面的法向量12,lnln直线L的方向向量即12()lnn∥21nnl∴可取043201zyxzyxL)(11n)(22n例4、用对称式方程及参数方程来表示直线15例5、一直线l通过点A(1,2,1),且垂直于直线2:2xlyz又与直线相交，111:321xyzl求该直线l方程。解：10用直线的点向式方程20用参数方程16)(n0PPn),,(CBAn0)()()(000zzCyyBxxA(,,),Pxyznnn000dPPn222AxByCzDABC四、点到平面、直线的距离1、点到平面的距离设点法式的平面方程为空间上任一点求P到的距离d:设平面的单位向量为由内积定义1700dPPl2、点到直线的距离由外积的几何意义得P0Pdl0l