复旦大学高等数学课件24曲面、曲线和二次曲面

1一、曲面在空间解析几何中，任何曲面都可看作点P(x,y,z)的几何轨迹。在这样的意义下，如果曲面与方程F(x,y,z)=0有下述关系：(,,)0;Fxyz1）曲面上任一点的坐标(x,y,z)都满足方程，2）不在曲面上点的坐标都不满足方程，则称F(x,y,z)=0为曲面的曲面方程。§3曲面、曲线和二次曲面2空间曲面的研究有两个基本问题1）已知曲面上点的轨迹变化规律，求相应的轨迹方程（曲面方程）；2）已知方程，求相应曲面的几何图形。(,,)0Fxyz10几个常见曲面方程的建立1、球面方程到球心距离等于定值的动点的轨迹。0PPr即2222000()()()xxyyzzr特别当球心在原点时，2222xyzr球面的方程为0000(,,)Pxyz(,,)Pxyz32,AP4,BP16)4()5()2(4)6()7()3(222222zyxzyx例1、求与点A(3,7,6)的距离为2个单位，而与点B(2,5,4)的距离为4个单位的点的轨迹方程。解：设P(x,y,z)为所求轨迹的任一点，222222(3)(7)(6)2(2)(5)(4)4xyzxyz即∴所求点的轨迹方程为：两球面的交线。4xozy0),(zyf000(0,,)Pyz(,,)Pxyzdo0),(00zyf22(,)0fxyz220yxy2、在Oyz平面上有一条曲线f(y,z)=0,求它绕z轴旋转一周生成曲面的方程。点P0(0,y,z)在Oyz平面的这条曲线上,当曲线绕z轴旋转一周得左图0OPOP显然22200()yxyzz即代入曲线方程得为曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周生成的曲面方程50),(22zxyf0),(22zyxg0),(22yzxg0),(22zyxh0),(22zyxh同理可导出f(y,z)=0绕y轴旋转一周生成的曲面方程旋转曲面的定义：平面的一条定曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面，称为旋转曲面。同理：在Oxy平面上的曲线g(x,y)=0分别绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程：绕y轴旋转一周生成的旋转曲面方程：在Oxz平面上的曲线h(x,z)=0分别绕x轴旋转一周生成的旋转曲面方程：绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程：6122222czyax122222czayx旋转双曲面22221xzac例2、在Oxz坐标面上的双曲线分别绕x轴和z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面方程。解：绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为7),(22zyxfzyx2210xyz021zy例3、试写出在Oyz平面上的曲线以z轴为旋转的旋转曲面方程，并作图。解：2(,)1fyzyz平面曲线绕z轴旋转的曲面方程为221zxy即21zy图形：为Oyz平面上的抛物线，顶点在z轴上为(0,0,1),对称轴为z轴。820已知方程F(x,y,z)=0求相应曲面的几何图形222240xyzxy1、的曲面。5)2()1(222zyx配方0(1,2,0),P表示：球心为5半径为的球面。92、柱面方程平行于定直线，并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹（曲面）称为柱面。0MMxyzoCL222xyR22221xyab22221xyab2xAy2yBx1）圆柱面3）椭圆柱面2）抛物柱面4）双曲柱面xozy抛物柱面00(,,)Pxyz000(,,0)Pxy2yxCL10说明:xozyxy平面1）平面是一种特殊的柱面，它的准线是一条直线；2）对于方程f(x,y)=0(不含z的方程)表示以f(x,y)=0为准线，母线平行于z轴的柱面。类似地有3）对于方程f(x,z)=0(不含y的方程)表示以f(x,z)=0为准线，母线平行于y轴的柱面。如22221xzac是以Oxz平面上的双曲线为准线，22221xzac母线平行于y轴的双曲柱面。114）对于方程f(y,z)=0(不含x的方程)表示以f(y,z)=0为准线，母线平行于x轴的柱面。如y–z=0是以Oyz平面上的直线y=z为准线，母线平行于x轴的柱面即平面。12222zxy22zx例4、求椭圆抛物面与抛物柱面的交线关于Oxy面的投影柱面方程。133、曲线方程两个曲面相交的集合，一般是一条曲线，称其为交线。曲面∑1:(,,)0Fxyz曲面∑2:(,,)0Gxyz1）则交线C的方程：(,,)0(,,)0FxyzGxyz如：平面与平面的交线是一条直线；球面与平面的交线是一个圆。142）曲线的另一种表示是参数方程曲线可看成是质点作某种运动的轨迹。如：已知两点的定比分点公式：121212111xxxyyyzzz1这是参数方程。λ的变动表示动点沿（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）的连线移动。当时，直线的参数方程也可用t表示：1t121121121()()()xxtxxyytyyzztzz(,)t15注意：参数方程表示曲线，对于计算机作图和显示非常简便，现有许多应用软件都采用多项式表示。230123230123230123xaatatatybbtbtbtzcctctct如：圆的一个参数方程3cos3sin2xyz02此圆始终在z=2的平面上。当z=2θ时，曲线是一条螺旋线：3cos3sin2xyz16例5、设曲线C的参数为()()()xtytzt试求曲线绕z轴旋转一周所得的旋转曲面方程。思考题:1xytzt求直线l:绕z轴旋转所得的旋转曲面方程。17将空间直角坐标系中三元二次方程222112233121323222axayazaxyaxzayz1230bxbybzc所表示的曲面称为二次曲面。特点：1）常用2）许多复杂曲面在一定条件下可以用其近似代替。二、二次曲面18二次曲面标准方程的定义:截痕法:二次曲面的方程中不含交叉项，不同时含有某个变量的一次项和二次项，这类方程称为二次曲面的标准方程。相应的平面称为二次曲面。用坐标面或平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，即可大致了解曲面的形状和性质。下面用截痕法讨论几个典型标准方程的二次曲面。19常用二次曲面1）椭球面2222221xyzabc2222xyzab(0)abc2）椭圆抛物面(0)abxyzo3）单叶双曲面xyzo2222221xyzabc(0)abc204）双叶双曲面2222221xyzabc(0)abcxyzo5）锥面2222220xyzabc(0)abcxyoz216）双曲抛物面2222()xyzab(0)abxyzo