复旦大学高等数学课件26全微分与偏导数

1§2全微分与偏导数一、偏导数0Pzx00(,)xyfx00(,)xfxy二元函数偏导数的定义000(,)(,)zfxyPxy设二元函数在的某邻域内有定义，如果极限00000(,)(,)limxfxxyfxyx存在，则称此极限为函数f在P0处对于x的偏导数。记作同理可定义f在P0处对于y的偏导数：0000000(,)(,)(,)limyxyfxyyfxyzyy2inniixxxxfxxxxfi),,(),,,,(lim00100010多元函数偏导数的定义0001(,,)Tnxxx设n元函数u=f(x)在的某邻域内有定义，如果极限(i=1,…,n)存在，则称此极限为函数f在x0处对于xi的偏导数。0ixzx0ixfy0()ixfx记作0()ixux如果多元函数u=f(x)在某区域D上每一点iux则也是区域D上的一个函数，(1,,),in处均存在偏导数iux称为u的一个偏导函数，简称偏导数。3(,)cos()(1)arctan2xyxfxyexyy例1、求函数在(1,1)处的偏导数。例2、求的偏导数。22sin(1)yxztdtarctanxyyzxy例3、求的偏导数。4说明22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy1）多元函数求偏导数的运算也遵循类似于一元函数求导的四则运算法则。2）求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求。例4、设求f(x,y)的偏导数。5偏导数存在与连续的关系?22(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyxyfxyxy一元函数可导连续二元函数在某点偏导数存在连续例5、设讨论f(x,y)在点(0,0)的偏导数及连续性。6偏导数的几何意义00000(,,(,))Mxyfxy00(,)xfxy00(,)yfxy设为曲面z=f(x,y)上的一点，偏导数就是曲面z=f(x,y)被平面y=y0所截得在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率；偏导数就是曲面z=f(x,y)被平面在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率。00(,)xxyyzfxy的曲线x=x0所截得的曲线00(,)xxyyzfxy7二、全微分二元函数全微分的定义),(),(yxfyyxxfz)(oyBxAz,xy22)()(yxAxByyBxAdz如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量可表示为其中A,B不依赖于而仅与x,y有关则称函数f在点(x,y)处可微，并称为f在点(x,y)处的全微分。记作由多元线性函数及一元函数微分的概念dzAxBy81(,,)Tnxxx)()(00xfxxfu))()(xoxk)(xkdu11nnduadxadx多元函数全微分的定义0001(,,)Tnxxx设n元函数u=f(x)在的某邻域内有定义，如果有一个关于的线性函数k,使得则称f在点x0处可微，()kx并称为f在x0处的全微分。记作由多元线性函数及一元函数微分的概念9定理定理如果函数在某区域D内处处可微，则称函数在D内可微分。0001(,,)Tnxxx设n元函数u=f(x)在处可微则f在x0处连续。10定理（充分条件）,zzxyzzdzdxdyxy11nnuududxdxxx若二元函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则它在该点处偏导数均存在，而且全微分：若n元函数u=f(x)在x处可微分，则它在该点处关于诸xi的偏导数均存在，而且全微分：11定理（必要条件）,zzxyzzdzdxdyxy(1,,)iuinx11nnuududxdxxx若二元函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域中有连续的偏导数，则称函数f在点x处可微，而且全微分：若n元函数u=f(x)在点x的某邻域中有连续的偏导数，则称函数f在点x处可微，而且全微分：12说明0lim0udu1）由全微分的定义及充分条件得而且函数在某点可微。2）多元函数的各偏导数存在全微分存在一元函数在某点的导数存在微分存在132222220(,)00xyxyxyfxyxy例6、讨论点(0,0)的偏导数及可微性。14多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数偏导数存在函数可微偏导数连续15zxuy例7、求在点(1,1,1)处的全微分。例8、设求dz.ln,zxzy例9、设f(x),g(y)皆可导，且f(x)0,()(),gyzfx求dz.16三、全微分在近似计算中的应用),(00yyxxfyyxfxyxfyxfyx),(),(),(000000全微分近似公式yyxfxyxfdzzyx),(),(0000也可写成22207xy例10、求函数在点(1.95,1.08)的近似值。17五、高阶偏导数1(,,)nufxx定义iuxjiuxx2,jiuxx1(,,),ijxxnfxx22,iux21(,,).inxfxx若多元函数关于xi的一阶偏导数仍是一个多元函数，则它对于xj的偏导数，称为u对于xi,xj的二阶偏导数。记作为混合偏导数。当j=i时，称为u对于xi的二阶偏导数。记作例11、已知,22(,)ln()fxyxxy求：,xf,yf2,xf,xyf.yxf18问题1322(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xyxyfxyxyxy混合偏导数都相等吗？例12、求：f(x,y)在点(0,0)的二阶混合偏导数。19定理问题2xyyxff、(,)(,).xyyxfxyfxy说明在什么条件下混合偏导数相等？如果二元函数f(x,y)混合偏导数在(x0,y0)连续，则1)类似地，可定义三阶偏导数，…，n阶偏导数。.knknnkkxyufyx或2)z=f(x,y)先对x求k阶偏导数，再对y求n-k阶偏导数，所得的n阶偏导数可记作20综合练习1、求：sincos,xyzyx(2,),zx(2,).zx2、求：,zyux,,.uuuxyz3、求：(,),fxyxy(0,0),(0,0).xyff5、已知在全平面上322(sin5)(cos)yxkydxxymyxdy是某个二元函数u的全微分，求常数k,m.4、设f、g具有二阶连续导数，221,xxzxfgyyy求其二阶导数。