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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > 复旦大学高等数学课件27链式求导法则
2012/2/191§3链式求导法则一、多元函数求导的链式法则定理设二元函数12(,)ufyy可微,二个二元函数11122212(,)(,)ygxxygxx可微,则u作为12(,)xx的函数是可微的,且1ux2ux121121yyuuyxyx121222yyuuyxyx1y2y1xu链式法则如图示2x2012/2/1923121231,2iiiiyyyuuuuixyxyxyxu1y2y3y123(,,)ufyyy对三元函数可微,三个二元函数1x2x111222123312(,)(,)(,)ygxxygxxygxx2012/2/193对m元函数1(,,)mufyy可微,n个m元函数1111(,,)(,,)nmmnygxxygxx可微,则u作为1(,,)nxx的函数是可微的,且11,,mjjijiyuuinxyx实质:因变量u关于自变量xi的偏导数,等于u关于各中间变量的偏导数与该中间变量关于xi的偏导数乘积之和。2012/2/194zxzyxtytsinxeys1(sincos)stttessss.tys例1、设(,)sin,xzfxyey,xst,zs.zt求解:zxzyxsyssinxey21(sincos)sttttessstcosxey2()ts1cosxeyszszt2012/2/195在复合函数中若只有一个自变量,()()xtyt即(,)zfxydzdtzdxzdyxdtydt称为全导数。tzxy2012/2/196解:1,xt例2、设2tan(32),ztxy,ytzdtzdxzdytdtxdtydtdzdt22sec(32)3txy2221sec(32)4()txyxt12221sec(32)(1)2txyt232412(3)sec(3)2ttttt求.dzdt2012/2/197例3、设222,xyzue2sin,zxy求,ux(1,)2.uy解:222(,,)xyzufxyze记fdxxdxfyyxfzzxffzxzx2222xyzxe2222xyzze2sinxy224222sin2(12sin)xyxyxxye2222xyzye2222xyzze2cosxy22424sin2(sincos)xyxyyxyyeuxuyffzyzy224(1,)2uey2012/2/198特殊地),,(yxufz其中),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz区别类似把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别2012/2/199例4、设(),zxyxFu,yux解:(,,)()zfxyuxyxFufdxxdxfyyxfuuxffuxuxy()Fu2()yxFuxyyyyFFxxxx1()xFuxyxFx求,zx.zyzxzyffuyuy2012/2/1910例5、设其中f为任意可微函数,2,nyzxfx求证2.zzxynzxy证:12nzynxfxx232nyyxfxx13222nnyynxfxyfxx221nzyxfyxx22nyxfx2zzxyxy13222nnyyxnxfxyfxx222nyyxfx.nz2012/2/1911例6、设f具有二阶连续偏导数,1(,),fuvfu212(,),fuvfuv同理有2,f11,f22,fwxfufvuxvx12fyzf(,),wfxyzxyz求:,wx2.wxz解:令,uxyz,vxyz记12()fyzfz2wxz122ffyfyzzz2012/2/19121fz11fufvuzvz1112fxyf2fz22fufvuzvz2122fxyf2wxz1112fxyf2yf2122()yzfxyf21112222()fyxzfxyzfyf2wxz122ffyfyzzz2012/2/1913二、全微分形式不变性1212uududydyyy12(,)ufyy可微,则其全微分设以为自变量的二元函数,12(,)yyy如果变量(1,2)iyi12(,)xx又是变量则其全微分1111212yydydxdxxx2221212yydydxdxxx的可微函数,2012/2/19141212uududxdxxx1211121()yyuudxyxyx1112112()yyudxdxyxx1221222()yyuudxyxyx2212212()yyudxdxyxx1212uudydyyy结论无论函数f看作自变量(x1,x2)的函数,还是看作中间变量(y1,y2)的函数,其全微分的形式不变。2012/2/1915思考题则试问与是否相同?为什么?设(,,),zfuvx(),ux(),vxdzfdufdvfdxudxvdxxdzdxfdx
本文标题:复旦大学高等数学课件27链式求导法则
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