复旦大学高等数学课件29极值

2012/2/221§7极值一、问题的提出实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价2元，外地牌子每瓶进价2.4元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出70-5x+4y瓶本地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁,问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为),(yxf)4570)(2(yxx)7680)(4.2(yxy2012/2/222二、多元函数的无条件极值二元函数极值的定义:设函数f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有极大值点(或极小值点).极大值(或极小值).称(x0,y0)为函数f的一个称f(x0,y0)为相应的2012/2/223例如:在点(0,0)有极小值；在点(0,0)有极大值；在点(0,0)无极值。2012/2/224定理1(极值的必要条件)则必有0000(,)0,(,)0,xyfxyfxy驻点。说明:1)使偏导数都为0的点称为驻点；2)偏导数存在的前提下，极值点必是驻点，但驻点不一定是极值点；设函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极值，且f在在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在，这样的点(x0,y0)称为如：z=xy在点(0,0)是驻点，但不是极值点。2012/2/2253)偏导数不存在的点也可能是极值点。如：xyxfz),(在Oxy平面整个y轴上的每一点(0,y)都是f的极小值点，但在这些点上f关于x的偏导数均不存在。2012/2/226定理2(极值的充分条件)一阶和二阶连续偏导数，且0000(,)0,(,)0,xyfxyfxy令00(,),xxAfxy00(,),xyBfxy00(,).yyCfxy则:1)当时，02BAC0A时,不能确定，需另行讨论。设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内具有设函数f(x,y)在点P0(x0,y0)具有极值：f(x0,y0)为极小值，0A时,f(x0,y0)为极大值；2)当时，20ACBf(x,y)没有极值；3)当时，20ACB2012/2/227求函数f(x,y)极值的步骤:1)在其定义域范围内求出驻点、偏导数及不存在的点；2)对于驻点，求出相应点的A、B、C用极值的充分条件来判定；3)对于偏导数不存在的点，或AC-B2=0的点，用极值定义判别。2012/2/22822231()zxy例2、求函数的极值。(,)(),fxyxyaxy0a例1、求函数的极值。在点(0,0)是否取得极值。例3、讨论函数及2012/2/229三、多元函数的最值函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可能点驻点边界上的所有点比较其大小，最大为最大值、最小为最小值。特别当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时，f(P)为极小值(大)f(P)为最小值(大)2012/2/221022(,)1fxyxyxy22(,)1,0,0Dxyxyxy内的最大值。例4、求函数在区域221xyzxy例5、求最值。例6、求的极值和最值。2222()(,)()xyfxyxye2012/2/2211实例、小李有200元钱,他决定用来购买两种物品DVD光盘和CD光盘。设他购买x张DVD光盘、y张CD光盘达到最佳效果，效果函数为：(,)lnlnUxyxy设每张DVD光盘8元，每张CD光盘4元。问他如何分配这200元以达到最佳效果？问题的实质：求在条件(,)lnlnUxyxy20048yx下的极值点。四、条件极值2012/2/2212极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外还有其它条件限制1、定义对自变量有一定限制的条件下，求某个多元函数的极值约束条件目标函数1(,,)0nGxx1(,,)nFxx条件极值问题1min(,,)nFxx1(,,)0nGxxmaxorF条件极值称为2012/2/22132、条件极值及其求法方法1代入法转化求目标函数的无条件极值问题(,())zfxx从条件g(x,y)=0中解出()yxxydzdyffdxdx()xyffx0求函数z=f(x,y)的极值在条件g(x,y)=0下，0),(yxg2012/2/2214转化求目标函数的无条件极值问题(,,(,))uFxygxy(,,)0Gxyz在条件下,xxzxuFFz0(,,)uFxyz求函数的极值:从条件中解出隐函数(,)zgxy(,,)0Gxyz()xxzzGFFG0()yyzzGFFGyyzyuFFz2012/2/2215方法2Lagrange乘数法极值，求函数(,,),uFxyz在条件下的(,,)0Gxyz作Lagrange函数：(,,,)(,,)(,,)LxyzFxyzGxyz(,,,)Lxyz化为的无条件极值，0000xyzLLLL即解方程组求极值。(,)zfxy(,)0gxy(,,)(,)(,)Lxyfxygxy(,,)Lxy000xyLLL2012/2/22163、函数的最值问题第二步：判别，•比较驻点及边界点上函数值的大小•根据问题的实际意义确定最值第一步：找目标函数，确定定义域及约束条件；2012/2/2217例7、求原点到曲面上点的最短距离。22()1xyz例8、已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆)0,0(14922yxyx的圆周上求一点C,使△ABC面积S△最大。CBAoyxED2012/2/2218综合练习1、已知22(,)()(2),fxyyxyx证明：当f(x,y)限制在每条过原点的直线上取值时，f(0,0)是极小值。2、求椭圆x2+y2=1上一点，使其到直线2x+3y=6的距离最短。3、求函数f(x,y)=2x2+6xy+y2=1在椭圆域2223xy上最大和最小值。