复旦大学高等数学课件30重积分的概念及其性质

1第八章多元函数积分学2§1重积分的概念及其性质一、问题的提出曲顶柱体的体积先看平顶柱体的体积柱体的体积=底面积×高那么曲顶柱体呢？3xzoy(,)zfxy曲面曲顶柱体：f是定义在平面区域σ上的一个非负二元函数（曲面），以此曲面z=f(x,y)为顶，以Oxy平面上区域σ为底的空间区域，其侧面是以σ的边界为准线，母线平行于z轴的柱面。求此曲顶柱体体积的过程：分四步：41,,,nxzoy(,)zfxy曲面i:i11(,),,(,),nnxyxyix(,);iiiiVfxyiy1)分割:分割区域σ为n个小区域即得到n个小曲顶柱体，第i个小区域的面积；2)代替:在每个小区域上任取一点则第i个小曲顶柱体的体积就用小平顶柱体体积近似代替5max0idmax01lim(,)iniiidiVfxy4)取极限:使分割越来越细，且这些小区域都趋于一点（即小区域的最大直径），上式和式的极限就是曲顶柱体的体积1niiVV1(,)niiiifxy3)求和:n个平顶柱体的体积之和为曲顶柱体体积的近似值；6一、二重积分的定义:fR设Ω是一个有界区域，是一个有界函数，任意分Ω为n个内部互不相交（重叠）的子区(1,,)iini域，记的直径为di（即中i,i任意两点的距离的‘最大值’），并记其面积为,iiP任取一点1()niiifP作和式1max(,,)0ndd如果时，max01lim()iniidiIfP存在，701lim()niiifdfP积分区域被积函数面积元素积分号说明01(,)lim(,)niiiiIfxydfxy积分变量则称f在Ω上Riemann可积，简称可积。称和式的极限I为f在Ω上Riemann积分，记为2R当（平面区域）时，称I为二重积分。记为8对二重积分定义的说明：xyoD,ddxdy(,)(,)DDfxydfxydxdy1)定义中，对闭区域的划分是任意的；2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分比存在；3)二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积；4)在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元为二重积分改写为：9三、重积分的性质fdgd()DDDfgdfdgd1、线性性,,R若f和g是Ω上的可积函数，()fgd则二重积分即Ω为平面区域D,102、可加性12fdfd(,)Dfxyd12(,)(,)DDfxydfxydAdfd若Ω可分解为内部互不相交的区域Ω1和Ω2的并，f是Ω上的可积函数，则二重积分即Ω为平面区域D，3、若在Ω上，f=1,为积分区域Ω的面积A.11(,)(,)DDfxydgxyd4、保号性若Ω上的两可积函数f和g，满足f≤g，.fdgd则.fdfd特别地二重积分即Ω为平面区域D，(,)(,).DDfxydfxyd特别地1212,MfM12(,).DMfxydM5、估值定理若f是Ω上的可积函数，常数M1,M2满足12.MfdM则二重积分Ω为平面区域D，σ为区域D的面积，13().fdfP(,)(,).Dfxydf6、中值定理若f是有界闭区域Ω上的连续函数，,P则必存在使得二重积分Ω为平面区域D，σ为区域D的面积，14oxy121D2xy2ln()[ln()]DDxydxyd例2、比较积分与的大小，其中D是由三个顶点(1,0),(1,1),(2,0)组成的三角形区域。221ln()xyxydxdy例1、判断的符号。1522xyDIed例3、不计算，估计的值，22221(0).xybaab其中区域D：例4、求为连续函数。222201lim(,),(,)xyfxydfxy