复旦大学高等数学课件35数项级数

1第九章级数2§1数项级数一、问题的提出级数是研究函数的表示、性质及进行数值计算的一种工具。是以极限理论为基础的。1、计算圆的面积R正六边形的面积1s正十二边形的面积12ss正形的面积n23123sss12nAsss133332310100100010n、3悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的推理，得出矛盾或荒谬的结论。如：“万物皆数”学说认为“一切都可以归结为整数及整数比”，这是“正确”的前提。根据勾股定理及逻辑推理，边长为1的正方形的对角线之长却不能表示为整数的比。这是“正确”的推理，但结论却是与前提互相矛盾。芝诺悖论：（之一）阿基里斯（Achilles）追不上乌龟阿基里斯是古希腊传说中跑得很快的神，而乌龟是爬得很慢的动物。芝诺却说，他可以证明，如果让乌龟先爬出一短距离，那阿基里斯永远也追不上乌龟。4芝诺的证明如图1001A102A13A4AnA110问题出在哪里？分析：阿基里斯追上乌龟所走过的路程为111001011010ns111001011010nns记11101101110n1000lim9nns当n→∞越来越大时，sn越来越接近s，1000()9sm当n→∞时，5一、级数的概念1、级数的定义12nxxx12,,,,nxxx1nnx定义一般地,设给定一个数列则式子称为无穷级数记为1x为级数的首项。其中nx称为此级数的通项或一般项，一般项如果nx均为常数(一列实数)，则称1nnx为常数项级数为函数，则称为函数项级数记为1()nnux6首先讨论常数项级数定义级数的部分和（即前n项和）12nnSxxx1nkkx1,,kn收敛于有限项s即limnnSs定义1）如果级数的部分和数列nS1nnx则称级数收敛且称它的和为s.1nnx记为1nnsx2）如果级数的部分和数列nS1nnx发散，即Sn没有极限则称级数发散。1nnx7注意1）级数的余项nnrsS12nnxx1kknx2）给定1nnx，总可以按1nnkkSx求得其部分和数列.nS3）反之给定的数列,nS可令11,xS221,xSS1,nnnxSS从而求得1.nnx8例1、讨论几何级数的敛散性。解：limnnS(1)lim1nnaqq1aq1q1q1q1q极限不存在∴由级数收敛定义得当1q时，级数0nnaq收敛；其和为,1aq即0.1nnaaqq1q当时，级数0nnaq发散。20(0)nnnaqaaqaqaqa9如023nn123nn几何级数,且收敛，但首项不同1a023nn1213323a123nn23213210无穷级数收敛性举例：Koch雪花。做法:先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形，如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程：1113P设三角形周长为13,4A面积为第一次分叉：2143PP周长为21113,9AAA面积为12依次类推周长为3243PP2143P面积为322139AAA11111133(34)999AAA2211111133499AAA132321324111111133434999AAAAA1415162211111111334()34()999nnnAAAAA2211141414{1[()()()]}3393939nA2,3,nlimnnA113(1)419A185A235雪花的面积存在极限（收敛）.雪花的周长是无限的，而面积有限。结论:17例2、讨论级数的敛散性。1111447(32)(31)nn此方法常用。注意例3、讨论级数1121211(0)nnnaaa的敛散性。18例4、求级数12nnn的和。解：12nnkkkS12222332112nn2nn12nS2341123122222nnnn1122nnnSSS11122112n12nn1()nlim2nnS122nnn231111122222nnn19二、级数的基本性质1limlim()nnnnnxSS性质1(级数收敛的必要条件)1nnx收敛若级数lim0nnx.证:1nnnxSS令1limlimnnnnSS1nnx若级数收敛，s0推论若级数一般项不趋于零级数发散。s20例5、判定2341(1)3452nnn敛散性。例6、判定级数11sinnnn敛散性。21例7、判定调和级数11nn的敛散性。解：1limlim0nnnxn但该级数是发散的。11nn发散。注意重要的是结论。2nnSS111122nnn2nn12假设调和级数收敛,其和为S.2lim()nnnSSss010()2n即矛盾22性质2(线性性)设级数1nna收敛于级数1nnb收敛于常数，k,l为常数，则级数1()nnnkalb也收敛，且1()nnnkalb1nnka1nnlbkl(用级数收敛的定义证)23例8、求级数151(1)2nnnn之和。注意:此性质表示了三个含义：1)收敛级数可以逐项相加减和逐项数乘运算；24具有相同的敛散性，12)nna与1nnka1nnb与1nnlb具有相同的敛散性；3)ⅰ)两个收敛级数的代数和仍为收敛级数，ⅱ)一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散，ⅲ)两个发散级数的代数和可能收敛可能发散。25性质3在级数中去掉有限项、加上有限项或改变有限项的值，都不会改变级数的敛散性。但收敛时，级数的和一般将改变。1nnx收敛，即:若级数1nnkx收敛，则级数(1)k且其逆亦真。26注意:性质4的逆命题不成立。即：收敛级数去括号后所成级数不一定收敛。例9、级数(11)(11)(11)收敛于0.但去掉括号11111(1)n11(1)nn发散。性质41nnx收敛，设级数则在它的求和表达式中任意添加括号后所得的级数仍然收敛，且其和不变。27三、正项级数及审敛法定义:1nnx如果级数的各项都是非负实数，01,2,nxn即则称此级数为正项级数。1nnx＊正项级数nS的部分和数列是单调增加的。1nnkkSx11nkkx1nS1,2,n28定理:正项级数收敛它的部分和数列nS有上界。证:设1nnx正项级数，即部分和数列nS12nSSS单调升，limnnSsnS有上界；:nS12nSSS1nnx收敛，又limnnSs由收敛定义得正项级数收敛。设1nnx正项级数，单调升，又nS有上界，291、比较判别法设1nnx是两个正项级数，1nny与若存在常数0,A使得1,2,nnxAyn则1)当1nny收敛时,1nnx也收敛。2)当1nnx发散时,1nny也发散。注意:1)比较判别法的条件可放宽为:存在正整数N,0,A常数使得.nnxAynN2)比较判别法须有参考级数。30例10、讨论p—级数敛散性。ppppn14131211)0(p解：设01,p11pnn由比较判别法，p—级数发散；设1,poyx)1(1pxyp1234显然21,nnSS3121nS1111123(2)(21)ppppnn111124(2)pppn11135(21)pppn111124(2)pppn11124(2)pppn121111223ppppn112pnS12112pnS2111,12npS211112nnpSS有界，单调有界数列有上界，∴p—级数收敛。32结论:当p1时，p—级数收敛；p—级数发散。p—级数11pnn重要参考级数:几何级数，p-级数，调和级数。当p≤1时，332111nnn例11、讨论级数的敛散性。例12、若级数收敛，na证明收敛。1nnaa34例13、设10(),pqq判断级数的敛散性。111sinnnnpqln21(ln)nnn例14、讨论级数的敛散性。351′、比较判别法的极限形式如果lim,nnnxly那么1)当0l时，1nnx有相同的敛散性；1nny与2)当0l时，若1nny收敛，则1nnx收敛，若1nnx发散，则1nny发散；3)当l时，设1nnx是两个正项级数，1nny与若1nny发散，则1nnx发散，若1nnx收敛，则1nny收敛。36证明:0,2l1)对,NnN当时，nnxly即3,22nnnllyxy由比较判别法,即证；同理可证(2)、(3).例15、判别级数212nnn的敛散性。37例16、判别级数的敛散性。211ln(1)nn例17、判别正项级数111ln(1)nnn的敛散性。38设1nnx是正项级数,如果1lim,nnnxrx则1)当1r时,1nnx收敛，2)当1r时，无法判断。2、D’Alembert判别法(比值判别法)注意:优点:不必找参考级数。级数可能收敛可能发散。典型例子11,nn211.nn0,nx1nnx发散，3)当1r时，当1r时，39例18、判别级数13!nnnnn的敛散性。例19、判别级数21cos32nnnn的敛散性。40例20、判别级数11(0)nnnxx的敛散性。与有相同因子的级数，nx1nx特别是中含有因子或指数函数的。!nnxD’Alembert判别法适用：413、Cauchy判别法如果lim,nnnxr一般项中含有n的有理指数或无理指数。设1nnx是正项级数,则1)当1r时,1nnx收敛，2)当1r时，无法判断。1nnx发散，3)当1r时，Cauchy判别法适用：42例21、判别级数315(1)nnnn的敛散性。例22、判别级数2101nnnxxx的敛散性。434、积分判别法定理:设1nnx是正项级数,若非负函数f(x)在[1,+∞)单调减少，且xn=f(n)，则与广义积分有相同的敛散性。1nnx1()fxdx例23、判别级数的敛散性。21lnnnn例24、讨论210(ln)qnqnn的敛散性。44四、Leibniz级数定义:11(1)(0)nnnnuu称形式为的级数为交错项级数。1)nu单调减少,2)lim0,nnu则此交错项级数收敛，且Leibniz定理1110(1),nnnuu其余项1||.nnru满足若交错项级数11(1)(0)nnnnuu