复旦大学高等数学课件36幂级数

2012/6/41§2幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算2012/6/42常数项级数数列nxnN形式求和级数部分和若limnnsS收敛基本问题收敛级数的和函数数项级数函数列(),nuxnNxI形式求和级数部分和若limnnsSxD则称D为的收敛域和函数的性质和函数的初等表示不存在敛散性不存在的收敛域D发散xID2012/6/431、函数项级数的定义设给定一个定义在区间I上的函数列，为定义在区间I上的12(),(),,(),nuxuxux称函数项级数。一、函数项级数的一般概念2012/6/442、收敛点与收敛域的定义1)若对于固定的常数项级数收敛,则称函数项级数0x在点收敛,或称0x是的否则0x称为2)函数项级数收敛点的全体所构成的集合D,称为级数的收敛点，发散点。收敛域，所有发散点的全体集合称为发散域。2012/6/453、和函数记为1)在收敛域D上,函数项级数的和是x的函数，和函数。1()()nnSxuxxD称为函数项级数的()nSx2)若用表示函数项级数前n项的和，即1()()nnkkSxuxxD若()lim()nnSxSx1lim()nknkux存在则称为函数项级数的()Sx和函数,2012/6/464、函数项级数的余项1()kknux结论在收敛域上有lim()()nnSxSx2012/6/47它的收敛域是(,1][1.，）如等比级数它的发散域是有和函数如何求函数项级数的收敛域呢？当时，2012/6/48级数蕴涵了分解的特性。由一个新鲜的观点和一个简单的类比开辟了一个新的研究方向。这也是高层次的创造性思维。高等数学中的两类基函数：整幂函数三角函数()0,1,nnuxxnsin1,2,()cos0,1,nnxnuxnxn2012/6/49二、幂级数00()nnnaxx2010200()()()nnaaxxaxxaxx形如的函数项级数称为任意给定的实数。00(0)txxx作代换的幂级数。0xx即转换成x的幂级数：0nnnax2012nnaaxaxax任意一个幂级数在x=0处总是收敛的。1、定义幂级数系数2012/6/410下面着重讨论x的幂级数0nnnax对每一个实数,幂级数0x0nnnax即为常数项级数。1)如果00nnnax收敛,则称为的收敛点，0x0nnnax所有收敛点的全体称为的收敛区域。0nnnax2)如果00nnnax发散,则称为的发散点，0x0nnnax幂级数的和0()nnnaxSx在收敛域上是x的函数。2012/6/411关于幂级数的研究，有两大问题：首先要解决x在什么范围内取值、收敛。1、求和问题1）收敛域0()nnnsxax2）收敛域内，S(x)的特性。2、展开问题已知某个函数空间S以及（中心）x0，使得有00()()nnnfxaxx1）S满足什么条件，才有展开式；2）系数an计算；3）展开成立的范围。()fxS2012/6/4122、Abel定理1)若幂级数0nnnax在点收敛,00(0)xx则对满足x0nnnax绝对收敛；证:1)由已知收敛，则必有即有界，2)若幂级数0nnnax在点发散,00(0)xx则对满足x0nnnax也发散。0,Mnnax00nnnxaxx00nnnnxaxx2012/6/413当时,0xx收敛，也收敛，0nnnax绝对收敛；2)反证假设对,x级数收敛，0nnnax由1)绝对收敛；矛盾，∴对满足x0nnnax也发散。2012/6/414Abel定理给出了这样的结论:0nnnax的收敛域是以原点为中心的区间，即如果0nnnax0x在点收敛，00(,),xxx0nnnax收敛；00(,),(,)xxx发散。如果0nnnax0x在点发散，2012/6/415Abel定理推论幂级数0nnnax有以下三种收敛情况：1）仅在x=0收敛；3）存在R0，当时，xR当时,xR0nnnax发散;当x=R与x=-R时,0nnnax可能收敛，可能发散。(,)2）在收敛；0nnnax绝对收敛；2012/6/416称R为收敛半径，(,),RR收敛区间。为可能的若在x=0收敛,0,R关键是求收敛半径R.如何求收敛半径、收敛区域?[,),RR(,],RR[,]RR若在点收敛，即收敛，x,R(,)173、Cauchy-Hadamard定理10若幂级数0nnnax的系数满足limnnna如果1)0R为收敛半径,再令x=±R区间的端点，代入幂级数0,nnnax得常数项级数,用常数项级数的方法来判断其敛散性，求出收敛区间。1R1limnnnaa同样可得到上述的结果。2)0R3)0R20若幂级数0nnnax的系数满足2012/6/418例1、求幂级数的收敛半径及收敛域。例2、求级数的收敛区间。例3、求级数的收敛区间。例4、考察幂级数1(21)1()2nnnxn的收敛情况。2012/6/4190nnnax1、设幂级数的收敛半径为R1，1xR则代数和00nnnnnnaxbx0()nnnnabx1()Sx2()Sx12min(,)xRRR三、幂级数的性质0nnnbx幂级数的收敛半径为R2，2xR202、和函数的连续性设0nnnax的收敛半径为R，则和函数S(x)在(-R,R)连续，即对0(,),xRR0000lim,nnnnxxnnaxax在当0nnnaxxR收敛时，则和函数S(x)在xR左(右)连续，即00limnnnnxRnnaxaR00lim().nnnnxRnnaxaR2012/6/4213、逐项可导性(求导)定理设0()nnnSxax的收敛半径为R,则和函数S(x)在(-R,R)可以逐项求导，即0()()nnnSxax0()nnnax11nnnnax说明1)求导运算与求和运算可交换次序；2)收敛幂级数可逐项求导，得到的仍是幂级数,且其收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上的导数。2012/6/4224、逐项积分定理设0()nnnSxax的收敛半径为R,则和函数S(x)在(-R,R)可以逐项积分，即0()xStdt00[]xnnnatdt00xnnnatdt101nnnaxn说明1)积分运算与求和运算可交换次序；2)收敛幂级数可逐项积分，得到的仍是幂级数,且其收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上的积分。23例5、求幂级数的和函数。解:设1(1)(1)lim1nnnnn1limnnnaa11R(1,1]x11x0()()xSxStdt011xdttln(1)x(1,1]x2012/6/424说明1)逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，但收敛域可能扩大或缩小。2)此题还得到以下结论:01(1)(1)1nnnxx21(1)(1,1)nnxxxx01(2)1nnxx21(1,1)nxxxx252111(1)2nnxxxn(1,1]x2112nxxxn[1,1)x例6、将arctanx展开为x的幂级数。2012/6/426例7、求的和函数。例8、证明对一切成立，(1,1)x并求注意:求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等一定要考虑其收敛域。2012/6/427例9、求幂级数在收敛域(1,1)内的和函数.并求2012/6/4285、利用幂级数性质及其和函数求常数项级数的和，基本步骤如下:1)找一个幂级数0(),nnnax使得0,nnnaxx2)求0nnnax的收敛域，3)求出幂级数0nnnax的和函数4)00()nnxSx其中在收敛域内。0x2012/6/429内容小结1、求幂级数收敛域的方法先求收敛半径,再讨论端点的收敛性；1)对标准型幂级数例10、求数项级数和。2012/6/4302)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求。2、幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减、乘法运算；2)在收敛区间内幂级数的和函数连续；3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分。2012/6/431例11、在幂级数的收敛半径。说明比值判别法成立根值判别法成立。例12、求极限其中2012/6/432幂级数具有良好的性质。如果函数能表示幂级数的形式,对研究函数的性质是很有效的。解决两类问题:在收敛域内，和函数求和展开四、函数展开成幂级数幂级数2012/6/433（一）Taylor级数与余项公式Taylor公式则在该邻域内有:函数f(x)在x0的某邻域内具有n+1阶导数,0()()fxfx00()()fxxx200()()2!fxxx()00()()!nnfxxxn()nrx(在x与x0之间)()nrx(1)10()()(1)!nnfxxn2012/6/434定义为f(x)的在x=x0的Taylor级数,记为()000()()~()!nnnfxfxxxn函数f(x)在x0的某邻域内具有任意阶导数,则称0()fx00()()fxxx200()()2!fxxx()00()()!nnfxxxn2012/6/435其中()0()0,1,2,!kkfxakk特别，当x=0时，()0(0)!nnnfxn注意Taylor级数是Taylor多项式从有限项到无限项的推广,带来了问题：1)该级数在什么条件下收敛?2)该级数是否收敛于函数f(x)?为f(x)的在点x0的Taylor系数,为f(x)的Maclourin级数。2012/6/4361)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?即待解决的问题:定理1则f(x)在该邻域内能展开成Taylor级数,0(,)xOxr有lim()0nnrx称f为上的幂级数(Taylor)展开。00(,)xrxr即()000()()()!nnnfxfxxxn收敛函数f(x)在x0的某邻域内有任意阶导数,2012/6/437证:()000()()()!nnnfxfxxxn0(,)xOxr令()0100()()()!knknkfxSxxxk1()()()nnfxSxrxlim()nnrx1lim()()nnfxSx00(,)xOxr收敛2012/6/438定理2若函数f(x)能展成x的幂级数则它一定是f(x)的Maclourin级数,()0(0)!nnnfxn且其展开是唯一的。证:0()nnnfxax对逐项求导得112()2nnfxaaxnax22()2!(1)nnfxannax()1()!(1)(1)2nnnfxnannnax2012/6/439当x=0时,上各式为0(0),af1(0),af21(0),2!af()1(0),!nnafn2(0)()(0)(0)2!ffxffxx()(0)!nnfxn2012/6/440（二）初等函数的Taylor展开展开方法—利用泰勒公式直接展开法间接展开法式的函数展开。—利用已知级数其展开1、直接展开法主要用来推导出基