复旦大学高等数学课件40概率

2012/10/311第十一章概率2012/10/312概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。其应用极其广泛:在现实世界中存在大量的机遇和风险，概率统计可以为有效处理信息、正确作出决策、捕捉机遇、减少风险提供有力的工具。“数学的伟大使命是在混沌中发现有序”从数学模型进行理论推导，从同类现象中找出规律性。概率论是一门研究客观世界随机现象数量规律的数学分支学科。起源与博弈问题有关。16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题).概率论：2012/10/313学说建立以后。J.伯努利；而概率论的飞速发展则在17世纪微积分第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息论、控制论与数理统计学等学科。概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家对客观世界中随机现象的分析产生了概率论；使2012/10/314数理统计：着重于数据处理，在概率论理论的基础上对实践中采集得的信息与数据进行概率特征的推断。数理统计学是一门研究怎样有效地收集、整理和分析含有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学分支学科。目前，概率论与数理统计进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用2012/10/315《概率论与数理统计》。法国数学家拉普拉斯(Laplace)说：“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾说：“概率论是生活真正的领路人,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难行,无所作为。2012/10/316复习加法原理：完成一件工作有n个独立的途径(只要选择其中一个途径即方法就可完成这件工作),第一个途径有m1种方法，……第n个途径有种方法，则完成这件工作共有nm12nNmmm种方法。乘法原理：完成一件工作须n个步骤(仅当n个步骤都完成，才能完成这件工作)。第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，…第n步有mn种方法，则完成这件工作共有种方法。12nNmmm2012/10/317排列：1.从n个不同元素中任取出m个，按照一定的顺序()mn排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列总数有：!()!mnnAnm1[(1)]nnnm2.从n个不同元素中有放回地取m个按照一定的顺序排成一列，其排列总数有：Nnnnmn组合：1.从n个不同元素中取出m个元素组合，不考虑元素的顺序，其组合总数为:!mmnnACm!!!nmnm2012/10/3182012/10/319§1概率一、基本概念什么是随机现象？用两个简单的试验来阐明，试验是对自然现象进行一次观察或进行一次科学试验。试验1：一袋中装有十个外形完全相同的白球，搅匀后从中试验2：一袋中装有四白三黑三红大小形状完全相同的球，任取一球。搅匀后从中任取一球。对于试验1，根据其条件，就能断定其结果取出的必是白球。这类根据试验开始的条件，就能确定试验的结果所确定性现象。反映的现象称为例如：1．标准大气压下水加热到100，必沸腾；0C2．金属必导电；3．实系数奇次方程必有一实根。对于试验2，据其条件，在球没有取出之前，不能断定其结果是白球、红球或是黑球。这类在相同条件下重复进行观察或试验，每次试验的结随机试验。它所对应的现象称为随机现象。果不只一个，且每次观察或试验的结果事先不可预知的试验或观察，称为2012/10/31101．掷一枚均匀的硬币，考虑出现哪一面；2．抽查生产流水线产品，是正品还是次品；3．观察一天电话总机接到的呼叫次数。例如：上述试验的共同特点是：试验的结果具有“不确定性”，不能断言其结果是什么，但是“大数次”重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律”。正是“概率论与数理统计”研究的对象。2012/10/3111样本点：每一个可能出现的结果，称为试验的一个样本点，记为样本空间：样本点全体构成的集合，记为.样本空间中所含的样本点可以是有限的：例：检验血型1A2B3O4AB则1234,,,无限的：例：测定溶液的浓度则01xx随机事件在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件，简称事件。通常用A，B，…表示。基本事件仅含有一个样本点的随机事件。复合事件含两个或两个以上样本点的随机事件。必然事件必然会发生的事件，不可能事件试验中不可能发生的事件，记为记为2012/10/3112例.掷骰子试验基本事件：k{出现k点}k=1，2，……，6.复合事件：A={出现偶数点}B={出现的点数大于2小于6}…必然事件:Ω={出现小于7的点}不可能事件:φ={出现大于6的点}例.考查地震震源x—震源经度y—震源纬度z—震源深度则Ω={（x,y,z）（x,y,z）VV为三维空间某区域}2012/10/3113二.事件的关系和运算1.包含若事件A发生,则事件B一定发生，称事件B包含事件A.记为BAAB或2.相等称事件A与B相等，BA若且ABAB记为3.事件的并(和)“事件A与B至少有一个发生”称其为事件A与B的并(和)事件，={A与B至少一个发生}ABAB记为或可推广：{至少一个发生}12,,nAAA12nAAA1niiAU11limniiniiAAUU有限个:无限个:2012/10/31144.事件的交(积)“事件A与B同时发生”称其为事件A与B的交(积)事件，={A与B同时发生}ABAB记为或可推广：12nAAA1niiA11limniiniiAA有限个:无限个:{同时发生}12,,nAAA5.互逆(对立)事件“事件A与B不能同时发生，但必须有一个发生”即称其为事件A与B是互逆(对立)事件，且ABABABA记为BAB或2012/10/31156.互斥(互不相容)事件“事件A与B不能同时发生”即AB称其为事件A与B是互斥(互不相容)事件。注意：1)A与互为对立事件AAAAA2)当事件A与B互逆(对立)时,A与B既不能同时发生，也不能同时不发生。即A发生时，B一定不发生,而A不发生时,B一定发生。3)互不相容事件不一定是互逆事件。7.差事件“事件A发生而B不发生”，称其为事件A与B之差事件，记为ABAB8.完备事件组且12nAAA若为两两互不相容的事件,12,,nAAA称构成一个完备事件组。12,,nAAA2012/10/3116例1.在检验某种圆柱形产品时，要求它的高度和直径都符合规格才算合格。则“高度合格”设为A1，“高度不合格”设为A2，“直径合格”设为A3，“直径不合格”设为A4，均为基本事件；1）“产品合格”、“产品不合格”均为复合事件；2）事件“高度不合格”必然导致“产品不合格”，所以，“产品不合格”这一事件包含“高度不合格”这一事件；3）“产品不合格”就是“高度不合格”与“直径不合格”之和（并），即A2+A4或24;AA4）“产品合格”就是“高度合格”与“直径合格”之积（交），即A1A3或13;AA5）“高度合格但直径不合格”就是“高度合格”与“直径合格”之差，即A1-A3或A1A4.2012/10/3117例2.从一批产品中每次取出(不放回)一件进行检验，事件Ai(i=1,2,3)表示第i次取到次品，试用Ai表示1)三次中至少有一次取到次品；2)三次中最多有一次取到次品；3)三次中恰好有一次取到次品。解:1)“至少”123AAA2)“最多”123AAA123AAA123AAA123AAA3)“恰好”123AAA123AAA123AAA例3.在一次乒乓球比赛中设立奖金1000元。比赛规定谁先胜三盘，谁获得全部奖金。设甲、乙二人的球技相当，现已打了3盘，甲两胜一负，由于某种特殊的原因必须中止比赛。问这1000元应如何分配才算公平？2012/10/3118三.古典概率概率的直观描述：度量事件A发生的可能性大小的数称为事件A的概率，记为.()PA概率的统计定义：对于一随机现象，如果在n次重复试验中，事件A发生了m次，当n逐渐增大时，比值稳定地在某一mn常数p附近摆动，则称此数p为事件A的概率，记为()PA注意：称m为事件A在这n次试验中发生的频数；称为事件A在这n次试验中发生的频率；mn而事件A的概率是事件A在一次试验中发生的可能性大小。()PA2012/10/3119古典概型的定义：样本空间有由有限个样本点构成，这些样1,n本点所代表的基本事件两两互斥，且每次试验中各基本事件1,n的发生是等可能的。称这类随机现象的数学模型为古典概型。古典概率的定义：在古典概型中，若试验结果共有n个基本事件，1,n即试验的所有可能结果的事件全体为，而1{,}n事件A由其中m个事件1,()iimmn组成，则事件A的概率()AmPAn所包含样本点数样本空间样本点总数称为古典概率。其中是由n个数字1,2,…,n中指定的m个不同的数。1,mii2012/10/31202012/10/3121几何概率的定义：设平面区域D的面积为S,质点可等可能地落在D内的任意一点，区域σ是D的一部分，面积为s,设事件A={点落入σ}，定义事件A的概率为：()sPADS的面积的面积类似地可以对线段或空间区域定义几何概率。问题：1）概率为0的事件为什么不一定是不可能事件？2）概率为1的事件为什么不一定发生？2012/10/3122xy011设E（如图）：随机地向长为1的正方形内投点；事件A：点投在阴影与非阴影的两个三角形内；事件B：点投在阴影与非阴影的交线上；则：()SSPAS阴非阴正111+12211由于点可能投在正方形的对角线上，事件A未必一定发生；0()0PBS正而由于点投在正方形的对角线上，事件B发生了，即不是不可能事件。四、概率的公理化定义定义：设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记作P(A)，称为事件A的概率。()PAP(A)也称为集合函数。集合函数满足以下几条公理：()P1）非负性：对的任一子集，即事件A有0()1PA2）规范性：()1P()0P3）可列可加性：设可列个事件，是一系列两两12,,AA互不相容的事件，即时，ijijAA,1,2,ij则有1212()()()PAAPAPA即11iiiiPAPA则称这个集合函数为概率。()P2012/10/3123概率的性质：性质1（有限可加性）若n个（有限个）两两互斥事件12,,nAAA即满足12,,nAAAijAA,1,2,ij则11nniiiiPAPA或11nniiiiPAPA性质2（互逆事件的概率公式）()1()PAPA若n个事件构成一个完备事件组，12,,nAAA则12()()()1nPAPAPA2012/10/3124性质3（单调性）设事件A和B满足，则AB1)()()PAPB2)()()()PBAPBPA性质4（加法定理）任何两个事件A与B的并事件的概率公式：()()()()PABPAPBPAB可推广到有限个事件：设是n个事件，则12,,nAAA111()()nniiijiijniPAPAPAA1121()(1)()nijknijknPAAAPAAA2012/10/3125五、古典概型的例子例1、一次投二颗骰子，求1）事件A出现的点数之和等于3的概率。2）事件B为出现的点数之和为奇数的概率。注意：找出基本事件组成的样本空间，必须是等概率的；同一问题可以取不同的样本空间解答。取到的