复旦大学高等数学教案02微分学中值定理

导数和微分是研究函数局部变化性态的有效工具，为了应用这一工具来研究函数的整体性质，需要一个联系局部与整体的桥梁，这就是微分中值定理。它在研究函数的性质和函数估计中起着重要作用，是数学理论研究的一个重要工具。本节主要讲解以下几方面的内容：（1）局部极值与Fermat定理；（2）Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理；（3）中值定理的初步应用。（1）首先引入局部极值的概念，再讲解取极值的必要条件：Fermat定理。要讲清楚这个问题的背景，并且使学生不但能从分析上理解证明过程，而且明白它的几何意义。（2）在结合讲解Rolle定理、Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的同时，介绍这些定理证明的几何背景，注意引导学生发挥主动意识，避免死记硬背证明过程。（3）中值定理的应用是多方面的，因此在讲解这方面的例题时，要力求讲出解决问题的着手点和思路，注意引导学生思考，能够举一反三，自行解决问题。Fermat为了研究函数的局部性质与整体性质的联系，先要找出其局部的一些显著特征，其中之一就是极值。设有函数f，如果在0x的某个邻域),(0xO上恒成立)()(0xfxf(或)()(0xfxf)，则称0x为函数f的（或），简称为（或），称)(0xf是函数f的（或），简称为（或）。极大值点与极小值点统称为极大值与极小值统称为必须注意：极值只取决于点0x邻近函数f的性状，即只是在0x的某邻域内才相对地有意义，所以是一种局部性质。（Fermat）若点0x是函数f的一个极值点，且f在0x处可导，则必有0)(0xf。不妨设在邻域),(0xO内)()(0xfxf。于是，当0xx时成立0)()(00xxxfxf，当0xx时成立0)()(00xxxfxf。由导数定义和极限性质，即得00lim0xx00)()(xxxfxf)(0xf00limxx0)()(00xxxfxf，因此，)(0xf=0。证毕Fermat定理的几何意义是：函数f的图象如果在相应于极值的点处有切线的话，那一定是一条水平切线。注意，极值只取决于函数f在点0x邻近的性状，即只是在0x的某个邻域内)(0xf才相对地是最大或最小，所以它是一种局部性质。由于极值的局部性，在同一个区间内，f的一个极小值完全有可能大于f的某些极大值。而且，甚至在有限区间上，函数f的极值点都可能有无数个。例如，在区间)1,0(上，)12(2nx（,2,1,0n）都是函数fxx()sin1的极值点，且当n为偶数时为极大值点，当n为奇数时为极小值点。二．Rolle为了导出微分学中值定理，我们先介绍它的一种特殊形式。（Rolle定理）设函数f在],[ba上连续，在),(ba上可导，且)()(bfaf，则至少有一点),(ba，使得0)(f。因为f在],[ba上连续，所以它在],[ba上必定能取得最大值M和最小值m。如果M=m，显然f在],[ba上恒取常值M，此时可取),(ba内任何一点作为，而有0)(f。如果mM，因为)()(bfaf，所以M和m之一必不等于)(af，不妨设)(afM()(afm的情况可类似讨论)，此时必有点),(ba，使得Mf)(。因为f在处可导，且取到最大值，由Fermat定理即得0)(f.证毕Rolle定理的几何意义是：在定理的条件下，f的图象上必有一点，该点处的切线与x轴平行（见图2.4.1）。容易看出，当函数f可导时，条件“fx()00”只是0x为f的极值点的必要条件，而不是充分条件。例如，函数fxx()3，点x00不是它的极值点，但0)0(f。注意，一个函数的导数不存在的点也可能是该函数的极值点。例如，函数||)(xxf，0x是f的极小值点，但f在0x点的导数不存在。在数学物理问题中有一个常用的特殊函数：Legendre，y0abξ图2.4.1])1[(!21)(2nnnnnxdxdnxP，,2,1n。我们用Rolle定理来证明：n次Legendre多项式有n个相异的实根，它们全在)1,1(内。首先，对任何小于n的自然数k，由高阶导数的Leibniz公式，得kiiknikiniiknkkdxxddxxdCxdxd02)1()1(])1[(，因而nk时，1都是多项式knkdxxd])1[(2的根。由Rolle定理，可知])1[(2nxdxd有一个根)1,1(11。再一次用Rolle定理，可知])1[(222nxdxd有根),1(1121和)1,(1122。依此类推，得])1[(211nnnxdxd有1n个根111,12,11,1nnnn。最后，仍根据Rolle定理，)(xPn有n个根)1,(,1,,3,2),,(),,1(1,1,,11,1,1,11,nnnninininnnni。证毕Rolle定理中f(a)=f(b)是一个相当特殊的条件，它使这个定理的应用受到很大的限制，取消这个条件，就得到了十分重要的微分学中值定理（Lagrange）。（）设函数f在],[ba上连续，在),(ba上可导，则至少有一点),(ba，使得)()(afbf))((abf。注：在证明之前，先说明一下定理的几何意义。在直角坐标系中作出],[ba上函数f的图象，连结图象上两个端点A，B（图2.4.2），易见弦AB的斜率为abafbf)()(。中值定理告诉我们，在相应的条件下，可以在图象上找到一点，该点处图象的切线与弦AB平行。显然，Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况，我们将用构造辅助函数的方法，利用特殊情况下的结论来处理一般的问题。引入辅助函数)()()()()(axabafbfxfx，],[bax。显然，函数在],[ba上连续，在),(ba上可导，且)()()(afba。由Rolle定理可知至少存在一点),(ba，使得0)(，此即abafbff)()()(。y0abξAB图2.4.2这就是所要证明的。证毕微分学中值定理的关系式还可写成)))((()()(ababafafbf，其中10。如果记ax，abx，则上式可表述为xxxfxfxxf)()()(，其中10。这些关系式都被称作Lagrange公式。我们已经知道常值函数的导数为0，由微分学中值定理，可以证明：设f是),(ba上的可微函数，且对任何),(bax，0)(xf，则f在),(ba上恒为常数。对任何bxxa10，由Lagrange公式0))(()()(0101xxfxfxf，其中10xx，因此，)()(01xfxf，从而f恒为常数。证毕设f和g均是),(ba上的可微函数，且gf，则必有常数c，使得cxgxf)()(在),(ba上恒成立。这只要对函数gf用推论2.4.1的结论即可。证毕证明不等式|||tanarctanarc|baba。显然,xxftanarc)(在任意区间[,]ab上满足Lagrange中值定理条件，所以，存在(,)ab，满足|tanarctanarc|ba|()|||fab||112ba，即|||tanarctanarc|baba。证毕证明：当0x时成立xxxxarctan12。对函数arctan应用Lagrange公式，得到0arctanarctanarctanxx=)0(|)(arctanxxx=21x，其中x0，注意到22111x即得结论。证毕证明：在]1,1[上成立2arccosarcsinxx。作函数xxxfarccosarcsin)(，]1,1[x。则在)1,1(上成立01111)(arccos)(arcsin)(22xxxxxf，所以由推论3.1.1知，在)1,1(上成立cxf)(。注意到20arccos0arcsin)0(fc。从而在)1,1(上成立2arccosarcsinxx。由于f在]1,1[上连续，上式在]1,1[上也成立。证毕Cauchy作为Lagrange中值定理的推广，下面给出Cauchy中值定理，它在理论研究中有着重要的应用，下一节就会看到，由此可以导出非常重要的L’Hospital法则。Cauchy设函数f和g均在],[ba上连续，在),(ba上可导，且当),(bax时0)(xg，则至少存在一点),(ba，使得)()()()()()(gfagbgafbf。由于当),(bax时0)(xg，由Lagrange公式知0)()(agbg。作辅助函数)]()([)()()()()()(agxgagbgafbfxfx，],[bax，则在],[ba上连续，在),(ba内可导，且)()()(afba，从而由Rolle定理，必有),(ba，使得0)(。这就是所要证明的。证毕当g(x)=x时，这个定理又回到了Lagrange中值定理，因此Cauchy中值定理是Lagrange中值定理的一个推广。Cauchy中值定理有类似于Lagrange中值定理的几何解释：设在直角坐标系中，有以参数方程),(),(tfytgx],[bat给出的连续曲线，其中f，g都是可微的，那末在曲线上至少能找到一点，该点处曲线的切线与曲线两端的连线平行。证明：当0x时，成立不等式21)1ln()1(212xxxx。设)1ln()(xxxf，2)(xxg，则xxxxf1111)(，xxg2)(。当0x时，应用Cauchy中值定理得)1(2121)()()0()()0()()1ln(2gfgxgfxfxxx，其中x0。注意到x111即得结论。证毕作为本节讨论的继续和应用，我们接下来将研究不定型的极限、函数的单调性、极值和最值、曲线的凸性、函数图形的描绘和关于函数更精确的近似公式等问题。1；2；3；4（2），（3）；5（2）；7；8；9。