复旦大学高等数学教案11平面与直线

教案平面和直线教学内容平面和直线是几何学中最基本的研究对象，是一些向量空间和几何空间中某些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似，曲面在局部可以用它的切平面来近似，所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要，而且是必须要掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容：（1）平面和直线的代数表示，即它们的方程的形式如何？以及如何用向量的运算方法来建立这些方程；（2）平面与平面，平面与直线、直线与直线，以及点与这些对象的位置关系，如距离、夹角等，以及如何利用代数方法来处理。教学思路和要求（1）首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法。（2）讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。（3）讲解平面与平面，平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法；（4）进一步，利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具体计算方法。教学安排一．平面方程的几种形式在3R中，给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点，就可以唯一决定这个平面。与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面的法向量为),,(CBAn，而且平面过点0P(000,,zyx)。对平面上的任何一点),,(zyxP，P与0P的连线依然在平面上，因而),,(0000zzyyxxPP与n垂直，即nPP0=0。用分量表示，就是0)()()(000zzCyyBxxA，这个关系式称为平面的点法式方程。记常数)(000CzByAxD，则上述方程可以写成0DCzByAx，这个关系式称为平面的一般方程。例6.2.1求过原点)0,0,0(O和点)2,3,6(P，且与平面824zyx垂直的平面方程。解记所求平面为。因为过原点)0,0,0(O和点)2,3,6(P，所以其法向量n应与)2,3,6(OP垂直。又垂直于平面824zyx，所以n应与向量znP0POyx图6.2.1)2,1,4(1n垂直。故可取kjikjinn6442142361OP。利用平面的点法式方程，所求平面方程为0644zyx，即0322zyx。确定平面的另一类条件是，不在一条直线上的3个点唯一决定一张平面。设平面所过的3个点为0P(000,,zyx)，),,(1111zyxP，),,(2222zyxP，因此10PP和20PP与平面的法向量n垂直，即可以取法向量2010PPPPn，设P(x，y，z)是平面上的任何一点，则有0)(020100PPPPPPPPn。这称为平面的三点式方程。容易看出，它正好就是四点共面的条件0020202010101000zzyyxxzzyyxxzzyyxx。由行列式的性质，上式展开后一定是0DCzByAx形式，因此实际计算时不必死记公式，可以将0P，1P，2P的坐标直接代入平面的一般式方程，用待定系数法解出A，B，C，D。特别地，将平面所过的3个点取为过坐标轴的点0P(a，0，0)，1P(0，b，0)，2P(0，0，c)，代入三点式方程，就有cabazyax00=0，展开整理后，得（1）当a、b、c均不为0时，平面方程为1czbyax，它称为平面的截距式方程（见图6.2.2），其中a，b，c依次称为该平面在x，y，z轴上的截距。此时平面的法向为cba1,1,1n。（2）当a，b，c中只有一个为0时，所决定的平面是坐标平面，.0;0;0000zyxOxycOzxbOyzaz(0,0,c)nOy(0,b,0)(a,0,0)x图6.2.2例6.2.2求过点)1,2,3(，)0,1,0(，)2,0,1(的平面方程。解将三点的坐标代入平面的一般方程0DCzByAx，得到关于A、B、C、D的方程组.02,0,023DCADBDCBA它的一组解为A=3，B=-7，C=-2，D=7（此方程组有无穷多个解，只取一个解就可以了），于是所求的平面方程为3x-7y-2z+7=0。二．直线方程的几种形式与平面类似，要确定空间中的一条直线，主要条件也有两类。一类是确定直线的方向和直线上的一个点，另一类是确定直线上的两个点。设直线L的方向向量为),,(nmlv，它过点0P(000,,zyx)。于是，直线L上任何一点),,(zyxP与0P的连线与v平行，即v//0PP（见图6.2.3），按分量写开，就是nzzmyylxx000，它称为直线的对称式方程或点向式方程。注意，若l，m，n中有等于0的，例如，当0l，0,nm时，则应将上述方程理解为.,000nzzmyyxx当0ml，0n时，则应将上述方程理解为.,00yyxx例6.2.3求过点)4,1,2(，方向向量为)1,1,3(的直线方程。解直接代入直线的对称式方程，便得所求的直线方程为141132zyx。若给定了直线上的两个点0P(000,,zyx)和),,(1111zyxP，则10PP的方向就是v的方向向量（见图6.2.4），代入直线的对称式方程，即得到直线的两点式方程zvP0OPyx图6.2.3zvP1P0OyPx图6.2.4010010010zzzzyyyyxxxx。若在直线的对称式方程中记tnzzmyylxx000，将等式写开，便得到,,,000ntzzmtyyltxx它称为直线的参数方程，其中t是参数。参数方程对于求解某些具体问题很有效。例6.2.4求直线241312zyx与平面062zyx的交点。解这就是求方程241312zyx与062zyx的公共解。将直线方程写成参数方程,24,3,2tztytx其中t是参数。代入平面的方程，便得到2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0，解得t=-1。代入直线的参数方程，得到2,2,1zyx。即，交点为(1,2,2)。另外，如果给定了空间中两张互不平行的平面1：01111DzCyBxA和2：02222DzCyBxA，那么这两张平面交于一条直线。也就是说，这两个平面的联立方程0,022221111DzCyBxADzCyBxA同样表示一条直线，它称为直线的一般方程。直线的一般方程看起来不太直观，用起来有时也不太方便。由于1的法向量为1n(111,,CBA)，2的法向量为2n(222,,CBA)，由立体几何知识，直线的方向向量v与1n和2n都垂直（见图6.2.5），因此，可以取1nv2n，再从联立方程中求出一组解(000,,zyx)，也就是直线上的一个定点的坐标，这样就可以将它化成对称式方程了。例6.2.5将直线的一般方程042,012zxzyx化成对称式方程。解取直线的方向向量为vn1n221图6.2.521nnv201112kji=kji52，再在平面上任意取一个公共点，如令00x，代入方程，042,01zzy则可以解出30y，20z。于是，直线的对称式方程为12532zyx。例6.2.6求过点)2,0,0(0M，与直线1L：12341zyx相交，而且平行于平面1：0123zyx的直线方程。解设所求直线为L。其方向向量为),,(ZYXv。显然)0,3,1(1M是直线1L上的点，)1,2,4(1v是1L的方向向量。由于L过点)2,0,0(0M，且与直线1L相交，因此向量10MM，1v和v共面，因此0)(110vvMM，这就是说0124)2(00301ZYX，即02ZYX。又因为L与平面1平行，所以),,(ZYXv与1的法向量)2,1,3(n垂直，因此0nv，即023ZYX。联立上述各方程可解得ZYX2,0，取1Z得2Y。因此直线L的方程为1220zyx，即.0,42xzy本例也可先求过0M且平行于1的平面2的方程，再求2与直线1L的交点1M，最后求出过0M和1M的直线方程。读者不妨自行计算。三．平面束空间直线L的一般方程为.0,022221111DzCyBxADzCyBxA对于任意一组不同时为零的常数,，方程0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA表示一张平面。显然，满足L的一般方程的点),,(zyx一定满足平面的方程，所以平面通过直线L。于是，对于不同的不同时为零的数对,，0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA就确定了一族通过L的平面，它称为通过L的平面的平面束，以上方程也称为通过L的平面束方程。显然确定平面束中一张平面，只要确定与的比值，因此也常将通过L的平面束方程写成0)(22221111DzCyBxAkDzCyBxA（注意这个束中不包含平面02222DzCyBxA），或0)(22221111DzCyBxADzCyBxAk（注意这个束中不包含平面01111DzCyBxA）。另外，方程0CzByAx确定一张平面，而当取不同值时，就得到一族相互平行的平面的方程。因此上式也称为平行平面束方程。例6.2.7过点)1,1,1(和直线L：0532,0223zyxzyx的平面方程。解设所求通过L的平面方程为0)532(223zyxkzyx。它通过)1,1,1(点,所以将该点的坐标代入上式得036k。所以2k。于是，所求的平面方程为0)532(2223zyxzyx，即08855zyx。四．点到平面、直线的距离平面解析几何中讨论了某一平面上的点到直线的距离问题，现在我们将它推广到空间。先考虑点到平面的距离。设平面方程为0DCzByAx。过空间一已知点)z,,(***yxP作平面的垂线，显然，垂线的方向就是平面的法向量),,(CBAn。取平面上一定点0P(000,,zyx)，联结P与0P，则)z,,(***yxP到平面的距离d就是PP0在n方向的投影长度（见图6.2.6）。记平面的单位法向量||||0nnn，由内积的定义，得||00nPPd，nPdP0图6.2.6用分量表示，就是2220*0*0*|)()()(|CBAzzCyyBxxAd，由于)(000CzByAxD，因此d=222***||CBADCzByAx，这就是点)z,,(***yxP到平面0DCzByAx的距离的计算公式。当)z,,(***yxP在该平面上时，显然有d=0。例6.2.8求点)1,1,2(与平面2x-3y-6z+1=0的距离。解这时)1,1,2(P，)6,3,2(),,(CBA，由点到平面距离的计算公式得d=222)6()3(2|1)1()6(1)3(22|=78。再考虑点到直线的距离。设直线L的方程为nzzmyylxx000，连接空间一已知点)z,,(***yxP和直线L上的点),,(0000zyxP。直线的方向向量为),,(nmlv，因此单位方向向量为0v||||vv。由图6.2.7中可以看出，点P到直线的距离d是以PP0和0v为邻边的平行四边形的底边0v上的高，由外积的几何意义，图6.2.7中的平行四边形的面积||||0vdS||||00vPP，于是点)z,,(***yxP到直线的距离公式为||||00vPPd。例6.2.9求点)3,2,5(与直线32111zyx的距离。解这时)3,2,5(P，)0,1,1(0P，则PP0=)3,1,4()0,1,1(