复旦大学高等数学教案12二重积分的计算

教案二重积分的计算教学内容二重积分的计算是多元积分学的基本技术，也是多重积分以及曲面积分的计算的基础，是微积分的重要工具之一。在这节中主要讲解以下几方面的内容：（1）直角坐标系下二重积分的计算；（2）二重积分的变量代换法；（3）极坐标系下二重积分的计算。教学思路和要求（1）计算重积分的基本思路是将重积分化为累次积分，通过逐次计算定积分，求得重积分的值。讨论二重积分的计算，其途径即是化二重积分为二次积分。通过“已知平行截面面积，求空间区域体积”的背景，引入二重积分化为二次积分来计算的方法，可以给学生一个直观上的认识。（2）回忆定积分换元法的思想，可以对二重积分换元法则加深理解。注意指出作变量代换后面积元素的比例系数是Jacobi行列式的绝对值。（3）从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。因此这部分的内容还是要重点强调。（4）有必要向学生介绍实例计算时的思考方法，引导他们提高计算能力。教学安排一．直角坐标系下二重积分的计算首先，假设区域可表示为}),()(|),{(21bxaxyxyx。我们将根据二重积分的几何意义把fd化为二次积分。为此，暂且假设0f。由上一节可知，fd的值等于以为底，以曲面),(yxfz为顶的曲顶柱体的体积V（图8.2.1），这个体积实际上还可以用一元函数积分学中“已知平行截面面积，求空间区域体积”的方法来求得。为此，我们固定],[bax，过)0,0,(x且平行于Oyz的平面截曲顶柱体得到的截面是该平面上一个以区间)(),([21xx]为下底，),(yxfz为曲边的一个曲边梯形，所以这个截面面积为)()(21),()(xxdyyxfxA。axbxyzz=f(x,y)图8.2.1利用平行截面面积)(xA计算原曲顶柱体体积，即得dxdyyxfdxxAVbaxxba)()(21),()(。这个体积正是所求的二重积分的值，即fddxdyyxfbaxx)()(21),(。上式右端的积分称为先对y后对x的二次积分。即是先固定x，以y为积分变量，在积分区间)](),([21xx上计算),(yxf的定积分，其积分值作为x的函数，再对x在区间],[ba上计算定积分。这个二次积分通常记作)()(21),(xxbadyyxfdx。以上讨论中假设0f只是为了便于作几何解释，实际上对区域上任意的可积函数f，均有fd)()(21),(xxbadyyxfdx。同样地，如果区域表示为}),()(|),{(21dycyxyyx，则f在上的二重积分可以用先对x后对y的二次积分作计算：fd)()(21),(yydcdxyxfdy。根据以上讨论，二重积分的计算可以归结为逐次计算两个一元函数的定积分，因而就计算本身而言，并无新的困难。然而关于区域的恰当表示，还须作两点补充说明：其一，当区域不能表示为形如}),()(|),{(21bxaxyxyx或}),()(|),{(21dycyxyyx的“标准区域”时，可用平行于坐标轴的线段把剖分为几个上述形式的“标准区域”的并，利用积分关于区域的可加性，分别计算出相应的积分再求和即可。其二，二重积分表示为二次积分往往可取两种顺序，但是，按不同的顺序，计算难易未必一致。为此，须根据具体情况决定应采用的顺序。此外，在直角坐标系下，通常用dxdy表示面积元素，它相当于中小矩形区域],[],[dyyydxxx的面积。例设是由直线xy和抛物线2xy所围成的区域，计算积分dxdyyx)2(。解区域可表为}10,|),{(2xxyxyx。xyy=xy=x2Oy=xxyx=yO图8.2.2把原积分化为先对y再对x的积分，得xxdyyxdxdxdyyx2)2()2(106011)274(2110432dxxxxx。为把原积分化为先对x再对y的积分，可把区域表示为}10,|),{(yyxyyx，这样，10)2()2(yydxyxdydxdyyx。例设是以)0,0(，)1,0(，)0,1(为顶点的三角形区域（图8.2.3），求dxdyey2。解把原积分化为先对x再对y的积分，则有dxdyey2yydxedy0102edyyey1121102。注意，如果把原积分化为先对y后对x的积分，则得到dxdyey21102xydyedx，那就难以求积了。例求由马鞍面xyz和平面0,0,1,yxyxyxz所围成的空间区域的体积（图8.2.4）。解如图8.2.4，由二重积分的几何意义，所求体积为dxdyxyyxV)(，其中}10,10|),{(xxyyx。所以xdyxyyxdxV1010)(247)1(21)1()1(102dxxxxx。例求椭圆柱面1422yx与平面yz1及0z所围成的空间区域的体积V（图8.2.5）。解记是Oxy平面上椭圆224yx1所围成的区域，于是dyV)1(。因为关于x轴对称，所以0yd。(1,1)xOy图8.2.3xyOz图8.2.4zxy图8.2.5这样，dV。上式右端即区域的面积，注意到的边界是两半轴分别为21和1的椭圆，其面积为2121，故2V。二．二重积分的变量代换法在定积分计算中，换元法是一种常用的手段。熟知定积分的换元公式为dtttfdxxfba)())(()(，其中)(a，)(b。通过变换函数)(tx，化被积函数成为易于积分的形式。二重积分的换元则是从原变量),(yx到新变量),(vu的一个变换映射，其换元法则的形式叙述为以下定理。定理8.2.1设f是Oxy平面中闭区域上的连续函数，变换),,(),,(:vuyyvuxx把Ouv平面上的闭区域一对一地映射为区域，而且（1）),(),,(vuyvux在上具有连续一阶偏导数；（2）在上的Jacobi行列式0),(),(vuDyxD，则有dxdyyxf),(dudvvuDyxDvuyvuxf|),(),(|)),(),,((。为节约篇幅，以下只给出证明大意。在Ouv平面上用平行于坐标轴的直线网格分割为若干小区域。除包含边界点的小区域外，其余均为小矩形。任取一个这样的小矩形，设其四个项点分别为),(1vuP，),(2vuuP，),(3vvuP，),(4vvuuP。经过映射，它变换为Oxy平面上区域内的一个曲边四边形，所对应的四个顶点分别记为4321,,,PPPP。当u和v充分小时，的面积近似等于以PP1和31PP为邻边构成的平行四边形的面积，即||||3121PPPP。由计算可得ji)],(),([)],(),([21vuyvuuyvuxvuuxPPjiuvuuyuvuux),(),(。同理可得jivvuvyvvuvxPP),(),(31。所以OuvyOxvv+vuuu图8.2.6003121vyvxuyuxPPPPvvuukjikvuvuDyxD),(),(，从而vuvuDyxD),(),(。因此，二重积分作变量代换后面积元素的关系为dudvvuDyxDd),(),(，从而dudvvuDyxDvuyvuxfdyxf),(),()),(),,((),(。例设0pq，0ab，求由抛物线pxy2，qxy2与双曲线axy，bxy所围成的平面区域的面积(图8.2.7)。解作变量代换.,,,2bvaxyvqupxyu因为032),(),(222xyxyxyxyyxDvuD（0,0yx），所以上述映射),(),(vuyx是可逆的，其逆映射),(),,(vuyyvuxx的Jacobi行列式uyxyxDvuDvuDyxD313),(),(),(),(21。这样，Oxy平面上区域对应于Ouv平面上矩形区域yOxxy=axy=by2=pxy2=qxuvbaOpq图8.2.7},|),{(bvaqupvu。从而区域的面积为dudvududvvuDyxDdA31),(),(=pqabududvqpbaln33。三．极坐标系下二重积分的计算从直角坐标到极坐标的变量代换是二重积分计算中十分常见的代换。当区域边界或被积函数易于用极坐标表示时，采用极坐标往往能带来很大的便利。由直角坐标和极坐标的关系sin,cosryrx得rrrrDyxDcossinsincos),(),(。设函数f定义于Oxy平面上的闭区域，是由在极坐标下满足)()(21rrr（）的点组成。记}),()(|),{(21rrrr，于是dyxf),(rdrdrrf)sin,cos()()(21)sin,cos(rrrdrrrfd。例计算二重积分dxdyeayxyx22222)(。解显然，在极坐标下，积分区域可表示为}20,0|),{(arr。于是，作极坐标代换后即得dxdyeayxyx22222)(drredar0202)1(2122200aarede。例设)0,)(|),{(22222xyxyxyx，计算二重积分222)1(yxdxdy。解用极坐标cosrx，sinry代入22222)(yxyx，即得r2cos2。这样，原积分区域在极坐标下对应于44,2cos0|),(rr。利用被积函数和积分区域的对称性，即得222)1(yxdxdy=2cos02240)1(2rrdrd2cos0240)1(tdtd40240cos2112cos111dd214。例求椭球体1222222czbyax的体积。解上半椭球面的方程为22221byaxcz。由椭球体关于三个坐标平面的对称性，即得dxdybyacV2222x18，其中0,0,1y|),(2222yxbaxyx。作广义极坐标变换：.sin,cosbryarx则Oxy平面上区域相应于20,10|),(rr。又变换的Jacobi行列式为abrbrbararDyxDcossinsincos),(),(，于是，经变量代换后可得1022018drrabcrdV10232)1(3128rabcabc34。四．进一步的问题作为本节讨论的继续，下一节将讨论三重积分的计算和重积分的应用。五．习题1．（1），（3），（5）；2．（1），（3），（4）；3；4；5；7．（1），（3），（4）；8；10；11；13。