复旦大学高等数学教案14幂级数

教案幂级数教学内容将初等函数展开成幂级数，是研究函数的表示、性质和进行近似计算的重要方法，也是微积分理论中不可或缺的一个部分。本节介绍幂级数的概念与性质，以及函数如何展开为幂级数问题，进一步还要指出幂级数在近似计算中的应用。具体内容如下：（1）幂级数的收敛半径和收敛域的概念及计算方法；（2）幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质；（3）函数的Taylor级数的概念及初等函数的Taylor展开方法；（4）介绍利用函数的Taylor展开进行近似计算的方法。教学思路和要求（1）介绍函数项级数及其收敛域的概念，进而引出重要的幂级数的概念；（2）幂级数的收敛域有着独特的对称性，如何计算幂级数的收敛半径和收敛域是一个重点；（3）幂级数的和函数的连续性、逐项可导和逐项可积性质有着重要应用，因此也是课程中的一个重点，是学生必须要掌握的知识点；（4）函数的幂级数（Taylor级数）展开是微积分学中的重要工具，是学生务必要掌握的数学方法。关于这部分内容，首先讲解利用Taylor公式，将一些基本的初等函数展开为Taylor级数或Maclaurin级数。在此基础上，讲解一般初等函数的Taylor展开的方法，也就是间接展开法。（5）介绍函数的幂级数展开的应用，重点在于近似计算。教学安排一．函数项级数现在将级数的概念推广到通项为函数的情况。设nu（,2,1n）是一列定义在数集I上的函数（这时也称}{nu为函数序列），称用加号按顺序将这列函数连接起来的表达式nuuu21为函数项级数，记为1nnu。本章中为叙述方便也常记作1)(nnxu。函数项级数的收敛性可以借助数项级数得到。定义9.2.1若对于固定的0xI，数项级数10)(nnxu收敛，则称函数项级数1)(nnxu在点0x收敛，或称0x是1)(nnxu的收敛点。这些收敛点全体所构成的集合D称为1)(nnxu的收敛域。对于收敛域D上的每个x，都对应了一个收敛的数项级数1)(nnxu，记其和为)(xS，这样就定义了一个D上的函数)(xS1)(nnxu，Dx，它称为函数项级数1)(nnxu的和函数。和函数也可以如下得到：作1)(nnxu的部分和函数：nkknxuxS1)()(（Ix），,2,1n。显然，使)}({xSn收敛的x全体正是收敛域D。因此1)(nnxu的和函数)(xS就是在D上部分和函数序列)}({xSn的极限，即)(lim)(xSxSnnnlimnkkxu1)(，Dx。与数项级数一样，在收敛域D上定义1)()()()(nkknnxuxSxSxr，它称为函数项级数1)(nnxu的余项。例9.2.1nxe（,2,1n）是一列定义于),(上的函数。显然对于每个固定的),(x，1nnxe是等比级数。这个函数项级数的收敛域为),0(，和函数为11)(xexS。这个例子也说明了函数项级数的收敛域并不一定是原来函数序列的公共定义域。二．幂级数以下形式的函数项级数nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000称为幂级数，其中na（,2,1,0n）为常数，称为该幂级数的系数。为了方便我们常取00x，也就是讨论nnnnnxaxaxaaxa22100，因为只要做一个平移0xtx，所得的结论便可以平行推广到00x的情况。例如，0nnx、1nnnx和0)1)(1(nnxn都是幂级数。下面我们将讨论两个方面的问题：第一，对给定的幂级数，它何时是收敛的？具有什么性质？并尝试求出一些幂级数的和函数；第二，对给定的函数，是否可以将它表示为幂级数？如何求初等函数的幂级数展开式？三．幂级数的收敛半径一个自然的问题是，幂级数的收敛域是什么样的？下面的定理说明了它的收敛域是一个区间。定理9.2.1（Abel定理）如果幂级数0nnnxa在0x（00x）点收敛，那么对于一切满足||||0xx的x，它绝对收敛；如果幂级数0nnnxa在0x点发散，那么对于一切满足||||0xx的x，它也发散。证设0x（00x）是幂级数0nnnxa的收敛点。根据级数收敛的必要条件，0lim0nnnxa，于是存在正数M，使得Mxann||0，,2,1,0n。因此，对于满足||||0xx的x有nnnnnnnxxMxxxaxa000||。由于级数00nnxxM收敛，因而0||nnnxa也收敛，即级数0nnnxa绝对收敛。若幂级数0nnnxa在0x点发散，那么对于满足||||0xx的x，它也发散。否则的话，由刚才的证明知道，幂级数在x处收敛，就决定了它在0x处收敛，这与假设矛盾。证毕这个定理说明，一定存在一个)0(RR，使得幂级数0nnnxa的收敛域就是从R到R的整个区间（R为正实数时可能包含端点也可能不包含端点；0R时就是一点0x），并且在区间内部，它绝对收敛。这个区间也称为该幂级数的收敛区间，而R称为幂级数0nnnxa的收敛半径。根据数项级数的Cauchy判别法，若极限nlimnnnxa||nlim||||xann存在，那么当此极限值小于1时，0nnnxa绝对收敛；当此极限值大于1时，0nnnxa发散。如果令nAlimnna||，那么显然有.),,0(,0,0,1,AAAAR这就证明了：定理9.2.2(Cauchy-Hadamard定理)若幂级数0nnnxa的系数满足nlimAann||，且R同上定义，那么级数0nnnxa当Rx||时绝对收敛；当Rx||时发散。此时R为幂级数0nnnxa的收敛半径。当R时，说明幂级数对一切实数x都是绝对收敛的；当0R时，说明幂级数仅当0x时收敛。注意在区间的端点Rx处，幂级数收敛与否必须另行判断。由D'Alembert判别法，如果nlimAaann1，则同样也可如上确定幂级数0nnnxa的收敛半径R。事实上可以证明，这时成立nlimnna||nlimAaann1。例9.2.2易计算1nnx的收敛半径是1，收敛域是)1,1(；1nnnx的收敛半径是1，收敛域为)1,1[；12nnnx的收敛半径是1，收敛域为]1,1[；1!nnnx的收敛半径是，因此收敛域为),(R；1)!(nnxn的收敛半径是0，因此收敛域为单点集{0}。例9.2.3求幂级数0!nnnxnn的收敛半径。解记!nnann，则nlimnnaa1nlim!)!1()1(1nnnnnnennn11lim，所以收敛半径eR1。例9.2.4求幂级数1122)3(nnnnxn的收敛半径。解这是缺项幂级数，nx2（,2,1n）项的系数为0，不能直接用上面的公式来计算收敛半径，而采用如下的计算方法。因为212112||31||)3/2(13lim2)3(limxxnxnnnnnnnnnnn，所以，当2||31x1，即3||x时，1122)3(nnnnxn收敛；而当1||312x，即3||x时，1122)3(nnnnxn发散。因此由收敛半径的定义，收敛半径3R。例9.2.5求幂级数121)12(nnnxn的收敛域。解令21xt，那么上述级数变为1)12(nnntn。因为nlimnnn)12(12，所以收敛半径为12R。当12t时，级数1)12(nnntn为11nn，它是发散的。当)12(t时，级数1)12(nnntn为1)1(nnn，它是收敛的。因此1)12(nnntn的收敛域为)12,21[。从而幂级数121)12(nnnxn的收敛域是212,223。四．幂级数的性质设幂级数0nnnxa的收敛半径为R，0nnnxb的收敛半径为R，且0,RR。那么0nnnxa和0nnnxb都在||x),min(RR上绝对收敛，因此在||x),min(RR上成立0nnnxa0nnnxb0)(nnnnxba，以及0nnnxa0nnnxb00nnnkknkxba，上式右边就是这两个级数的Cauchy乘积。现在介绍幂级数0nnnxa的连续性、可微性和可积性。我们这里仅叙述结论，并给出一些应用这些性质的例子。定理9.2.3（和函数的连续性）设0nnnxa的收敛半径为R（0R），则其和函数在),(RR连续，即对于每个),(0RRx，0000limnnnnnnxxxaxa。若它在Rx（或Rx）收敛，则和函数在Rx（或Rx）左（右）连续，即000limnnnnnnRxRaxa（000)(limnnnnnnRxRaxa）。以上两式意味着求极限运算可以和无限求和运算交换次序。定理9.2.4（逐项可积性）设0nnnxa的收敛半径为R（0R），则它在),(RR上可以逐项积分，即对于任意),(RRx成立xnnntta00d011nnnxna。上式意味着积分运算可以和无限求和运算交换次序。定理9.2.5（逐项可导性）设0nnnxa的收敛半径为R（0R），则它在),(RR上可以逐项求导，即xdd0nnnxa0ddnnnxax11nnnxna。上式意味着求导运算可以和无限求和运算交换次序。定理9.2.6设幂级数0nnnxa的收敛半径为R，则011nnnxna和11nnnxna的收敛半径也为R。这就是说，对幂级数逐项积分或逐项求导后所得的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。虽然逐项积分后所得幂级数011nnnxna和逐项求导后所得的幂级数11nnnxna与原幂级数0nnnxa收敛半径相同，但收敛域却可能扩大或缩小。例9.2.6求幂级数11)1(nnnxn的和函数。证易知111)1(nnnx的收敛半径为1，且xxnnn11)1(111，)1,1(x。因此对任意)1,1(x，应用逐项积分定理得dttnxnn1011)1(xtdt01，即)1ln()1(11xxnnnn，)1,1(x。由于11)1(nnnxn在1x收敛，由定理9.2.3就得到一个常用结果11)1(nnn1101)1(limnnnxxn2ln)1ln(lim01xx。因此)1ln()1(11xxnnnn，]1,1(x。在此例中，显然111)1(nnnx的收敛域是)1,1(，但11)1(nnnxn的收敛域是]1,1(。例9.2.7将xarctan表示为x的幂级数。解由于111)1(11nnnxx，)1,1(x，所以用2x代替x，可得12212)1(11nnnxx，)1,1(x，两边积分，并利用逐项积分定理，得到531121513112)1(arctanxxxxnxnnn，)1,1(x。显然112112)1(nnnxn在1x收敛，由幂级数和函数的连续性可得531121513112)1(arctanxxxxnxnnn，]1,1[x。特别地令1x，有