复旦大学高等数学教案15一阶常微分方程

教案一阶常微分方程教学内容在数学理论和实际应用中的许多问题，常常会归结为含有未知量的导数的微分方程问题，因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具，也是经常使用的数学方法之一。对于一阶常微分方程的知识的掌握，是进一步了解和学习更深入的微分方程理论知识的基础，是不可或缺的步骤之一。在本节中主要讲解以下几方面的内容：（1）介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理；（2）重点讲解变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和Bernoulli方程的解法；（3）介绍一些可化为这几类方程的方法；（4）根据一些简单数学模型，介绍数学建模的思想。教学思路和要求（1）变量可分离方程、齐次方程、全微分方程、一阶线性方程和Bernoulli方程，是本节的内容的基础和重点。（2）因为有固定的方法，如何解这些类方程对于学生来说比较容易。但对于一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧，对于学生们来说就不容易了。这就需要多举例和适当引导，特别是典型技巧的介绍。（3）通过一些具体实例，介绍一些简单数学模型的建立方法，这对于学生们了解数学的应用很有帮助，也会提高他们的学习兴趣。这是常微分方程这一章教学内容的重要环节。教学安排一．解的存在与唯一性定理导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式.)(),,(00yxyyxfdxdy（10.2.1）对于这类定解问题，有以下解的存在与唯一性定理定理10.2.1（解的存在与唯一性定理)如果),(yxf和),(yxyf在矩形区域}||,|||),{(00byyaxxyx上连续，那么存在一个正数h（ah0），使得定解问题（10.2.1）在hxx||0上有唯一的解)(xy，即在hxx||0上成立))(,()(xxfx及00)(yx。这个定理的证明超出本课程的要求，此处从略。在这个定理中，只说明了在局部的解的存在性和唯一性，而且也没有说明解的表达式如何。事实上，并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它们的有限次积分来表达（这种方法称为初等积分法）。例如，Liouville在1841牛就证明了方程xyy2不能用初等积分法来求解，虽然它看起来形式很简单。因此，下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍。二．变量可分离方程若一阶方程),(yxfdxdy中的),(yxf可以分解成x的函数)(xg与y的函数)(yh的乘积，即)()(yhxgdxdy（10.2.2）则称其为变量可分离方程。若)(xg与)(yh连续，把原方程改写成dxxgyhdy)()(，对两边取不定积分，得dxxgyhdy)()(，若)(xG是)(xg的一个原函数，)(yH是)(1yh的一个原函数，就得到方程的通解CxGyH)()(，这里C是任意常数①。这种形式的解也称为隐式解。若0y是方程0)(yh的根，函数0yy也是方程（10.2.2）的解，而且这个解并不一定包含在通解的表达式中。例10.2.1求解微分方程122ydxdy。解将此方程化为变量可分离方程21ydxdy，①今后我们总用C表示任意常数。虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同，也不再特别说明。即dxydy21。两边积分得Cxyarcsin；即)sin(Cxy。注意1y也是方程的两个解，但它们并不在通解之中。例10.2.2解定解问题.2,lnsineyyydxdyx解将此方程化为xdxyydysinln，两边积分得Cxxyln)cotln(csclnln。即)cot(csclnxxCy。由ey2得1C。因此定解问题得解为xxeycotcsc。例10.2.3设函数f在),0(上可导，且满足2)()()(231xfxxdttfx，求)(xf。解显然1)1(f。对2)()()(231xfxxdttfx两边求导得)()23()()()(223xfxxxfxxxf，因此函数f满足方程yxxyxx)]23(1[)(223。对方程分离变量得dxxxxxxxydy23223231，两边积分得ylndxxxxxxx23223231.ln)ln(1ln)1ln(23111123123232223223Cxxxxxdxxxxxdxxxxdxxxxxdxxx所以xexCy131。因此f就具有上述形式。又由1)1(f得eC，所以xexxf1131)(，),0(x。例10.2.4（跟踪问题一）设A在初始时刻从坐标原点沿y轴正向前进，与此同时B于)0,(a处始终保持距离a对A进行跟踪（B的前进方向始终对着A当时所在的位置），求B的运动轨迹。解设B的运动轨迹为yyx()利用跟踪的要求和导数的几何意义（图10.1.1），容易得到数学模型.0)(,22ayxxay两边取定积分xaydxxxady220，即得到B的运动轨迹方程为ABxa图10.2.1yaaaxxaxln2222。上述积分曲线可以看成一个重物B被某人A用一根长度为a的绳子拖着走时留下的轨迹，所以该曲线又被称为曳线。三．齐次方程若对于任何0),(yxf=),(yxf，则称函数),(yxf为（0次）齐次函数，相应的微分方程),(yxfdxdy相应地称为齐次方程。令uxy，代入方程得),()(uxxfdxduxudxuxd),1(uf，化简后就是变量可分离方程dxdux),1(uf-u，解出方程后，用xyu代入便得到方程的解。例10.2.5求方程0)2()(22dyxyxdxyxy的通解。解将方程写成xyxyxydxdy222，容易判断，这是一个齐次方程。令uxy，得到dxduxuuuu212uu212。于是duuu221dxx1，解此方程得Cxuulnln21。用xyu代入，便得到方程的隐式通解0lnln2Cxyyx。对于形如222111cybxacybxadxdy的方程，显然，当021cc时，这是齐次方程。当1c，2c不全为零时，若行列式02211baba，作变换yyxx~,~将方程变为)(~~)(~~~~2222211111cbaybxacbaybxaxdyd，从线性代数方程组222111,cbacba中解出,，就得到了关于yx~,~的齐次方程ybxaybxaxdyd~~~~~~2211。若行列式02211baba，则两行对应成比例。若21,bb全为零，那么原方程为2211cxacxadxdy，它是可解的。若21,bb不全为零，不妨设01b，设是常数使得),(22ba),(11ba。令ybxau11，则dxdybadxdu11211122211111cucubacybxacybxaba，因此原方程变为变量可分离方程。综上所述，形式为222111cybxacybxadxdy的微分方程总是可解的，并且可以推广到222111cybxacybxafdxdy的情况。例10.2.6求方程0)642()352(dyyxdxyx的通解。解由于行列式2211baba04252，由线性代数方程组642,352解出1。作变换,1~~,1~~yyyxxx得到齐次方程yxyxxdyd~4~2~5~2~~。令xuy~~，得到uuxdduxu4252~~，整理后得xxdduuu~~322414,从此解得Cxuu32~)2)(41(。还原变量，便得方程的通解Cxyyx2)32)(34(。四．全微分方程若存在函数),(yxu使得),(yxdudyyxgdxyxf),(),(，则称方程0),(),(dyyxgdxyxf为全微分方程。显然，它的解可以表示为Cyxu),(。我们已经知道，dyyxgdxyxf),(),(在单连通区域上是某个函数的全微分的充分必要条件是xyxgyyxf),(),(，此时，若),(00yx是所考虑区域中的任一定点，则可以通过曲线积分),(yxu=dyyxgdxyxfyxyx),(),(),(),(00，计算出),(yxu。例10.2.7求微分方程myyeymxyexxcos)sin(的通解（m是常数）。解将其改写为0)sin()cos(dymxyedxmyyexx，由xyxgmyeyyxfx),(sin),(，知道它是全微分方程。取),(00yx为)0,0(，则),(yxu=xxdxmyye0)cos(+ydyy0)sin(mxyyexcos-1，所以它的通解为Cmxyyexcos。若条件xyxgyyxf),(),(不满足，则方程0),(),(dyyxgdxyxf不是全微分方程。但是，如果此时能够找到一个函数),(yx，使得0),(),(),(),(dyyxgyxdxyxfyx是全微分方程，那么，还是可以按上述方法求解的。这里的),(yx称为积分因子。一般说来，求积分因子并不是很容易的事，但对于一些简单的情况，可以通过观察凑出积分因子。例10.2.8求方程02xdxyxdyydx的通解。解容易验证，这不是全微分方程。但观察其前2项，可以发现，只要乘上因子21y，它就是一个全微分yxdyxdyydx2。因此，取积分因子为21y，将原方程改写为02xdxyxdyydx，这就是022xdyxd，所以方程的通解为Cxyx22。例10.2.9求方程0)()2(2222dyyyxdxxyxx的通解。解容易验证，这不是全微分方程。将方程改写为0)2(22dyxdxyxydyxdx，乘上积分因子221yx后，方程变为0222dyxdxyxydyxdx，即0)(222222yxyxdyxdyxd。所以方程的通解为Cyxyx222。从以上两个例子可以看出，我们利用了一些已知的二元函数的全微分来观察出积分因子。下面列出一些常用的二元函数的全微分，以备查阅：xdyydxxyd)(；2yxdyydxyxd；2222)(yxydyxdxyxd；22222)ln(yxydyxdxyxd；22arctanyxxdyydxyxd。五．线性方程一阶线性常微分方程的一般形式为)()(xgyxfdxdy。利用分离变量法，易知齐次线性方程0)(yxfdxdy的通解为dxxfCy)(e。为了找非齐次线性方程的一个特解，我们利用常数变易法（实际上就是待定系数法，只是待定的“系数”是函数）。令)(xuC，将dxxfxuy)(e)(代入方程)()(xgyxfdxdy，则有[dxxfxu)(e)(dxxfxfxu)(e)()(]dxxfxfxu)(e)()()(xg，即)(xu)(xgdxxf)(e。因此可得)(xuCdxxgdxxf)(e)(。于是，非齐次线性方程的通解为Cdxxgydxxf)(e)(dxxf)(e。显然，齐次线性方程的解的线性组合仍是齐次线性方程的解。而且上式说明了，非齐次线性方程的通解等于该方程的一个特解加上齐次线性方程的通解，这与线性代数方程组的结论类似例10.2.10解定解问题.,01