复旦大学高等数学教案

教案函数的极限教学内容极限理论是微积分学的基础，极限的概念与思想方法始终贯穿于微积分之中，是研究函数变化特征的一个重要工具。对于自变量的变化过程中相应函数值变化趋势的讨论，引出了函数极限的概念。由于自变量变化过程不同，函数的极限表现为不同的形式，而数列极限就是定义在正整数集上的函数当自变量趋于无穷大时的极限。在这节中主要讲解以下几方面的内容：（1）自变量分别趋于有限值和趋于无限时，函数的极限的概念。单侧极限的概念；（2）函数极限的性质，函数极限的计算；（3）函数极限与数列极限的关系；（4）两个重要极限：0limx1sinxx和exxx11lim。教学思路和要求（1）极限的概念的理解是一元微分学学习中的一个难点，学生们往往对极限的严格定义以及如何利用该定义来说明问题感到无所适从，更谈不上如何去灵活运用。继数列极限之后，这部分内容还是要进一步引导学生理解极限概念的深刻含义，看清它的本质，掌握运用他们处理问题的能力；（2）极限的概念、极限的性质、函数极限与数列极限的关系以及两个重要极限是本节内容的重点；（3）要使学生理解函数极限与数列极限的关系，并能运用它说明某些函数极限不存在；（4）运用极限的性质，计算一些函数的极限，加深对这些性质的理解；（5）利用两个重要极限0limx1sinxx和exxx11lim来处理其他相关极限的技巧也是一个必须要掌握的内容。教学安排一．自变量趋于有限值时函数的极限首先考虑自变量x趋向0x的过程中函数值的变化趋势。设函数f在0x附近有定义，如果在x趋于0x的过程中，函数值)(xf无限地接近于常数A，即Axf)(趋于0，就称A是)(xf当0xx时的极限，它的精确数学描述如以下定义。定义1.3.1如果对任意给定的0，总存在0，使得||00xx时成立|)(|Axf，则称)(xf在0xx时以A为极限，记作0limxxAxf)(。注意，这个定义中对x的要求是||00xx，其中0||0xx表示研究0xx时)(xf的极限与函数f在0xx处的状况无关。因为我们关心的是x无限地趋于0x时)(xf的变化趋势，这个趋势与函数f在0x点有无定义毫无关系。例如，11)(2xxxf在x=1处无定义，而g(x)=x+1与)(xf仅在x=1处不相等。显然，当1x时函数f与g的变化趋势是相同的，它们都以2为极限。0limxxAxf)(有十分直观的几何解释：对任意给定的正数，作一个介于直线Ay与Ay之间的条形区域。相应于这个区域，存在以0x为中心的区间00,(xx），函数f的图象上，横坐标位于该区间但又非0x的点，将落在上述条形区域中（见图1.3.1）。讨论与极限有关的问题时，还经常使用“邻域”的术语。设0，称以a为中心的开区间（),aa为a的邻域，记作),(aO。这样，0limxxAxf)(可叙述为：对A的任何邻域，存在0x的某邻域，当x属于该邻域且非0x时，)(xf落在A的邻域中，亦即对任意给定的0，存在0，当),(0xOx且x0x时，),()(AOxf。例1.3.1验证0limx01sinxx（图1.3.2）。证对于任意给定的0，为使01sinxx，只要取，则当|0|0x时，便成立xxxx1sin||01sin||x。因此，0limx01sinxx。图1.3.2图1.3.3函数极限的概念也可以用数列极限的形式表述。定理1.3.10limxxAxf)(的充分必要条件是对任何收敛于0x的数列}{nx，其中0xxn（n=1,2,„)，均有nlim)(nxf=A。这个定理的证明从略。例1.3.2证明0x时x1sin无极限（图1.3.2）。证取数列122nxn，1)(nyn，n=1,2„。显然，0nx，0ny，且0limlimnnnnyx。但是nlim11sinnx，nlim01sinny。由上一定理可知，如果0x时x1sin存在极限，则上述两个极限应该相等，所以0x时x1sin并无极限。证毕二．极限的性质关于函数极限，也有类似于数列极限的四则运算法则。定理1.3.2若0limxx)(xf与0limxx)(xg均存在，则0limxx)]()([xgxf0limxx)(xf0limxx)(xg；0limxx)]()([xgxf0limxx)(xf0limxx)(xg；0limxx)(lim)(lim)()(00xgxfxgxfxxxx，最后一个关系式要求0limxx0)(xg。证设A=0limxx)(xf，B=0limxx)(xg。由定理1.3.1，对任何收敛于0x的数列}{nx，0xxn（n=1,2,„），均有Axfnn)(lim，Bxgnn)(lim。利用数列极限的性质，得到nlim)]()([nnxgxf=)(limnnxf)(limnnxg=AB。再次利用定理1.3.1，可知0limxx)]()([xgxf存在，且等于BA，即0limxx)(xf0limxx)(xg。类似地可以证得另外两式。证毕特别地，在定理1.3.2的条件下，对任意的实数,，均有0limxx)]()([xgxf)(lim)(lim00xgxfxxxx。例1.3.3设有n次多项式)(xPnniiixa0=nnxaxaxaa2210，求)(lim0xPnxx。注“”是求和符号。解由定理1.3.2可知0limxx)(xPn0limxxniiixa0=)(lim00iinixxxa=niia0(0limxxiniiixax00))(0xPn。例1.3.4设)(xpn，)(xqm分别为n次和m次多项式，0)(0xqm。求0limxx)()(xqxpmn。解由定理1.3.2和上例可知0limxx)()(xqxpmn=)(lim)(lim00xqxpmxxnxx)()(00xqxpmn。函数极限也具有重要的夹逼性质。定理1.3.3设对某个0r，当rxx||00时成立)()()(xhxgxf，且0limxx)(xf=0limxxAxh)(，则0limxxAxg)(。证任取}{nx，使得rxxn||00，,2,1n，且0limxxnn，由条件及定理1.3.1可知，Axhxfnnnn)(lim)(lim。又)()()(nnnxhxgxf，由定理1.2.7可知Axgnn)(lim，根据}{nx的任意性，再次应用定理1.3.1即得0limxxg(x)=A。证毕例1.3.5证明1coslim0xx和1sinlim0xxx。证作单位圆周在第一象限的一部分，如图1.3.4所示。设圆心角COA的弧度数为x（20x）。显然，△OAC的面积扇形OAC的面积△OAB的面积，此即xxxtansin。由此得到图1.3.41sincosxxx。因为xxcos)cos(，xxxxsin)sin(，所以上式对于02x也成立。如能证得1coslim0xx，由上式及夹逼定理即得1sinlim0xxx。为此，估计xcos1，有22221222sin2cos10xxxx，由例1.3.3可知0limx0212x，利用夹逼定理即得0)cos1(lim0xx，此即1coslim0xx。证毕0xx时f(x)的极限，反映了当x趋于0x时函数值变化过程最终的趋势，它自然与f在0x附近的局部形态有关。极限概念的重要性，还在于由极限可以反过来推断函数的某些局部性质。定理1.3.4如果0limxx)(xf存在，则存在0，使得||00xx时，函数f有界。证设Axfxx)(lim0，则对于1，存在0，使得当||00xx时成立1|)(|Axf，这就是说，当||00xx时，成立1)(1AxfA，因此，f在||00xx中有界。证毕定理1.3.5设0limxx)(xf=A，0limxxg(x)=B，且BA，则存在0，使得||00xx时成立)()(xgxf。证取02BA，由于0limxxf(x)=A，故存在01，使得10||0xx时，|)(|Axf；又由于0limxxg(x)=B，故存在02，使得20||0xx时，|)(|Bxg。取),min(21，则当||00xx时，)(2)(xgBBAAxf。证毕推论1.3.1设0limxx)(xf=AB，则存在0，使得当||00xx时，Bxf)(。只要令g(x)=B，由上一定理即得。推论1.3.2如果0limxx)(xf和0limxx)(xg均存在，且当rxx||00时，)(xfg(x)，则0limxxf(x)0limxxg(x)。这只要利用定理1.3.5并使用反证法即得。例1.3.6求极限93lim9xxx。解由极限的四则运算法则得.6133131lim)3)(9(9lim)3)(9()3)(3(lim93lim9999xxxxxxxxxxxxxx例1.3.7求极限311311limxxx。解由极限的四则运算法则得.11112112lim)1)(1()2)(1(lim12lim1311lim2212132131xxxxxxxxxxxxxxxxx例1.3.8求极限xxxtanlim0。解由极限的四则运算法则和0limx1sinxx得到1111coslim1limsinlimcos1sinlimtanlim00000xxxxxxxxxxxxx。例1.3.9求极限xxxtan5sinlim0。解由例1.3.4与极限的四则运算法则得.5coslimsinlim155sinlim5cossin155sin5limtan5sinlim00000xxxxxxxxxxxxxxxxx例1.3.10求极限20cos1limxxx。解由例1.3.4与极限的四则运算法则得2112122sin21lim2sin2limcos1lim22022020xxxxxxxxx。三．单侧极限函数f在某0x两侧变化趋势不一致的情况是经常发生的。有时，f原来就只定义于0x的一侧。这就需要用单侧极限来刻划自变量从0x的一侧趋于0x时函数值的变化趋势。定义1.3.2如果存在实数A，对于任意给定的0，存在0，使得当00xxx时成立|)(|Axf，则称A为)(xf在0x处的左极限，记作00limxxAxf)(或Axf)0(0。类似地可以定义)(xf在0x处的右极限00limxx)(xf，即)0(0xf。关于函数的极限与左、右极限，显然存在以下关系。定理1.3.60limxx)(xf=A的充要条件是00limxx)(xf=00limxx)(xf=A。这就是说，极限存在等价于左、右极限同时存在且相等。例1.3.9符号函数sgn在0x=0处，显然有00limx1)sgn(x，00limx1)sgn(x。即左、右极限均存在，但不相等，因此0limx)sgn(x并不存在。关于函数的极限，还有一类重要的情况，即自变量趋于无限的情况。四．自变量趋于无限时的极限定义1.3.3如果对于任意给定的0，存在0X，使得当Xx||时成立