复旦数学分析课件02闭区间上的连续函数

§4闭区间上的连续函数有界性定理定理3.4.1若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则它在],[ba上有界。证用反证法。若fx()在],[ba上无界，将],[ba等分为两个小区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,baa与⎥⎦⎤⎢⎣⎡+bba,2，则fx()至少在其中之一上无界，把它记为[]11,ab；再将闭区间[]11,ab与等分为两个小区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,111baa与⎥⎦⎤⎢⎣⎡+111,2bba，同样fx()至少在其中之一上无界，把它记为[a2,b2]；……这样的步骤一直做下去，便得到一个闭区间套{[,]nnab}，fx()在其中任何一个闭区间[,]nnab上都是无界的。根据闭区间套定理，存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间[,]nnab，并且ξ=limn→∞an=limn→∞bn。因为ξ∈],[ba，而fx()在点ξ连续，所以存在δ0，0M，对于一切x),(δξO∈∩],[ba，成立()fxM≤。由于limn→∞an=limn→∞bn=ξ，又可知道对于充分大的n，[,]nnab),(δξO⊂∩],[ba，于是得到fx()在这些闭区间[,]nnab(n充分大)上有界的结论，从而产生矛盾。证毕开区间上的连续函数不一定是有界的。例如1()fxx=在开区间(0,1)上连续，但显然是无界的。最值定理定理3.4.2若函数fx()在闭区间],[ba上连续，则它在],[ba上必能取到最大值与最小值，即存在ξ和[,]abη∈，对于一切[,]xab∈成立()()ffxξ≤≤()fη。证集合Rf={()|[,]fxxab∈}是有界数集，所以必有上确界与下确界，记αinffR=，βsupfR=。由于对任意给定的ε0，存在[,]xab∈，使得()fxαε+。于是取εn=1n（n=123,,,）相应地得到数列{xn}，xn∈],[ba，满足α()nfx≤1nα+。因为{xn}是有界数列，应用Bolzano-Weierstrass定理，存在收敛子列{xnk}：limk→∞xnk=ξ，且ξ∈],[ba。考虑不等式α()knfx≤α+1nk，k=1,2,3，…，令k→∞，由极限的夹逼性与fx()在点ξ的连续性，得到()fξα=。这说明fx()在],[ba上取到最小值α，即αminfR=。同样可以证明存在[,]abη∈，使得==βη)(fmaxfR。证毕同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大（小）值。例如，()fxx=在(0,1)连续而且有界，因而有上、下确界infα={()fx|(0,1)x∈}0=，supβ={()fx|(0,1)x∈}1=，但是fx()在区间(0,1)上取不到0α=与1β=。零点存在定理定理3.4.3若函数fx()在闭区间],[ba连续，且()()0fafb⋅，则一定存在ξ∈),(ba，使()0fξ=。证不失一般性，设()0fa，()0fb，定义集合V：V={()0,[,]xfxxab∈}。集合V有界，非空，所以必有上确界。令supVξ=，现证ξ∈),(ba，且()0fξ=。由于fx()连续，()0fa，∃δ10，1[,]xaaδ∀∈+：()0fx；再由()0fb，∃δ20，∀x∈2(,)bbδ−：()0fx。于是可知1aδ+ξ≤≤2bδ−，即ξ∈),(ba。取(1,2,)nxVn∈=，nxξ→（n→∞），因()0nfx，得到()lim()0nnffxξ→∞=≤。若()0fξ，由fx()在点ξ的连续性，0δ∃，(,)xOξδ∀∈：()0fx，这就与supVξ=产生矛盾。于是必然有()0fξ=。证毕例3.4.1讨论多项式32()2332pxxxx=−−+零点的位置。解x-2013()px-202-220()px的三个零点（或根）分别落在区间(2,0)−,(0,1)与(1,3)内。事实上，1()2(1)()(2)2pxxxx=+−−，它的三个零点为11−=x，=2x12，23=x。例3.4.2设函数fx()在闭区间],[ba上连续，且]),([baf⊂],[ba，则存在ξ∈],[ba，=)(ξfξ（这样的ξ称为fx()的一个不动点。）证设()()gxfxx=−，则()gx在],[ba上连续，由([,])fab⊂],[ba，可知()0ga≥，()0gb≤。若()0ga=，则有aξ=；若()0gb=，则有bξ=；若()0ga，()0gb，则由定理3.4.3，必存在ξ∈),(ba，使得()0gξ=，即()fξ=ξ。本例中闭区间],[ba不能改为开区间。例如()2xfx=在开区间(0,1)上连续，且((0,1))(0,1)f⊂，但()fx在开区间(0,1)中没有不动点。中间值定理定理3.4.4若函数fx()在闭区间],[ba上连续，则它一定能取到最大值maxM={()|[,]}fxxab∈和最小值minm={()|[,]}fxxab∈之间的任何一个值。证由最值定理，存在,ξη∈],[ba，使得()fmξ=，()fMη=。不妨设ξη，对任何一个中间值,CmCM，考察辅助函数()()xfxCϕ=−。因为()xϕ在闭区间[,]ξη上连续，()()0fCϕξξ=−，()()0fCϕηη=−，由零点存在定理，必有(,)ςξη∈，使得()0ϕς=，即()fCς=。证毕推论若函数fx()在闭区间],[ba连续，m是最小值，M是最大值，则fx()的值域是闭区间[.]fRmM=。中间值定理定理3.4.4若函数fx()在闭区间],[ba上连续，则它一定能取到最大值maxM={()|[,]}fxxab∈和最小值minm={()|[,]}fxxab∈之间的任何一个值。证由最值定理，存在,ξη∈],[ba，使得()fmξ=，()fMη=。不妨设ξη，对任何一个中间值,CmCM，考察辅助函数()()xfxCϕ=−。因为()xϕ在闭区间[,]ξη上连续，()()0fCϕξξ=−，()()0fCϕηη=−，由零点存在定理，必有(,)ςξη∈，使得()0ϕς=，即()fCς=。证毕一致连续概念设区间X表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间],[ba，开区间),(ba、(,)a+∞、(,)b−∞、(,)−∞+∞,半开半闭区间[)ba,、(]ba,、(]b,∞−、[)+∞,a等等。定义3.4.1设函数fx()在区间X上定义，若对于任意给定的ε0，存在δ0，只要′x,xX′′∈满足|x′−′′x|δ，就成立|()fx′()fx′′−|ε，则称函数fx()在区间X上一致连续。一致连续概念设区间X表示任意一种有限或无限的区间，如闭区间],[ba，开区间),(ba、(,)a+∞、(,)b−∞、(,)−∞+∞,半开半闭区间[)ba,、(]ba,、(]b,∞−、[)+∞,a等等。定义3.4.1设函数fx()在区间X上定义，若对于任意给定的ε0，存在δ0，只要′x,xX′′∈满足|x′−′′x|δ，就成立|()fx′()fx′′−|ε，则称函数fx()在区间X上一致连续。在上面定义中，若固定0xxX′′=∈，就得到fx()在点x0的连续性。由于x0可以是X中的任意一点，于是得到fx()在区间X上一致连续⇒fx()在区间X上连续。至于反向的命题，就不一定成立。例3.4.3()sinfxx=在),(+∞−∞上一致连续。证由不等式|sinx′sinx′′−|2cossin22xxxx′′′′′′+−=||xx′′′≤−，对于任意给定的0ε，取δε=，则对于任意两点′x，x′′∈),(+∞−∞，只要′′−′||xxδ，就一定成立|sinx′sinx′′−|||xx′′′≤−δε=。由定义，sinx在),(+∞−∞上是一致连续的。例3.4.4()fx=1x在(0,1)连续，但非一致连续。证对于任意给定的,01εε，我们通过精确地解出*δ(x0,ε)0infxδ=(x0,ε)，来说明不存在适用于整个区间(0,1)的δ()0ε。对任意0,(0,1)xx∈，关系式011xx−ε即为10xε−1x10xε+，它等价于001xxxε+xx001−ε，即2001xxxεε−−+x02001xxεε−，由此得到δ0(,)minxε=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+εεεε0200201,1xxxx=xx0201εε+。显然，这就是δ*0(,)xε。但是当00x→时，有δ*0(,)0xε→，所以不存在对区间(0,1)中一切点都适用的δ()0ε，因此()fx=1x在(0,1)上非一致连续。对于大部分函数，要精确解出δ*(x0,ε)往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。定理3.4.5函数fx()在区间X上定义，则fx()在X上一致连续的充分必要条件是：对任意{′xn}(′∈xXn)和{′′xn}(′′∈xXn)，只要满足limn→∞(′xn-′′xn)0=，就成立limn→∞(()nfx′−()nfx′′)0=。对于大部分函数，要精确解出δ*(x0,ε)往往非常困难，因而这种方法对于判断某一函数在某一区间上是否一致连续是不实用的。下面给出的定理则为判断非一致连续性提供了便利。定理3.4.5函数fx()在区间X上定义，则fx()在X上一致连续的充分必要条件是：对任意{′xn}(′∈xXn)和{′′xn}(′′∈xXn)，只要满足limn→∞(′xn-′′xn)0=，就成立limn→∞(()nfx′−()nfx′′)0=。证必要性：函数fx()在X上的一致连续性可表述为：∀ε0，∃δ0，∀′x,(xX′′∈|′x-′′x|)δ：|()fx′−()fx′′|ε。对上述的δ0，由limn→∞(′xn-′′xn)0=，可知N∃，nN∀：|′xn-′′xn|δ，从而得到|()nfx′−()nfx′′|ε，这就证明了limn→∞(()nfx′−()nfx′′)0=。充分性：采用反证法。函数fx()在X上的非一致连续性可表述为：∃00ε，∀δ0，∃′x,xX′′∈(|′x-′′x|δ)：|()nfx′−()nfx′′|0ε≥。取δn=1n（n=123,,,），于是存在′xn,nxX′′∈，满足|′xn-′′xn|1n，|()nfx′−()nfx′′|0ε≥。显然，limn→∞(′xn-′′xn)0=，但{()()}nnfxfx′′′−不可能收敛于0，这就产生矛盾。证毕对例3.4.4，只要取′xn=12n，′′xn=1n，就有limn→∞(′xn-′′xn)0=，但limn→∞(()nfx′−()nfx′′)=lim(22)nn→∞−=∞，由定理3.4.5可知1()fxx=在(0,1)非一致连续。但是若将区间(0,1)换成[,1)η，0η，则1()fxx=就在[,1)η上一致连续。这是因为xx′′−′11||xxxx′′′−=≤′′′||′−′′xxη2，对于任意给定的0ε，只要取δ=20ηε即可。例3.4.52()fxx=在[)0,+∞上非一致连续，但是在[0,]A上一致连续(A为任意有限正数)证取nx′=n+1，nx′′=n（n=123,,,），于是limn→∞(′xn-′′xn)limn→∞=(n+1-n)0=，但是limn→∞(()nfx′−()nfx′′)1=，由定理3.4.5可知()fx在[)0,+∞上非一致连续。当区间限制在[0,]A时，有|′x2-′′x2|=|(′x+′′x)(′x-′′x)|2A≤|′x-′′x|，对于任意给定的0ε，取δ02Aε=，对任意′x，[0,]xA′′∈，只要|′x-′′x|δ，就成立|′x2-′′x2|ε，即2()fxx=在[0,]A上一致连续。通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如),[+∞a上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间),(ba上的连续函数也不一定一致连续。但是对于长度有限的闭区间],[ba上的连续函数，我们有下面的著名定理：通过上面几个例子可以知道，长度无限的区间，如),[+∞a上的连续函数不一定一致连续；长度有限的开区间),(ba上的