复旦数学分析课件03函数微分的应用

本节介绍函数微分的一些应用，包括极值和最值问题、函数作图以及在数学建模中的应用。极值问题fx()的全部极值点必定都在使得′=fx()0和使得′fx()不存在的点集之中。使0)(=′xf的点称为)(xf的驻点。§5应用举例定理5.5.1（极值点判定定理）设函数)(xf在x0点的某一领域中有定义，且)(xf在x0点连续。⑴设存在0δ，使得)(xf在),(00xxδ−与),(00δ+xx上可导，(i)若在),(00xxδ−上有′≥fx()0，在),(00δ+xx上有′≤fx()0，则x0是)(xf的极大值点；(ii)若在),(00xxδ−上有′≤fx()0，在),(00δ+xx上有′≥fx()0，则x0是)(xf的极小值点；(iii)若′fx()在),(00xxδ−与),(00δ+xx上同号，则x0不是)(xf的极值点。⑵设0)(0=′xf，且fx()在x0点二阶可导，(i)若′′fx()00，则x0是)(xf的极大值点；(ii)若′′fx()00，则x0是)(xf的极小值点；(iii)若′′=fx()00，则x0可能是)(xf的极值点，也可能不是)(xf的极值点。定理5.5.1（极值点判定定理）设函数)(xf在x0点的某一领域中有定义，且)(xf在x0点连续。⑴设存在0δ，使得)(xf在),(00xxδ−与),(00δ+xx上可导，(i)若在),(00xxδ−上有′≥fx()0，在),(00δ+xx上有′≤fx()0，则x0是)(xf的极大值点；(ii)若在),(00xxδ−上有′≤fx()0，在),(00δ+xx上有′≥fx()0，则x0是)(xf的极小值点；(iii)若′fx()在),(00xxδ−与),(00δ+xx上同号，则x0不是)(xf的极值点。证(1)的结论显然，我们只证(2)。因为0()0fx′=，由Taylor公式+=)()(0xfxff′(0x)!2)()(00xfxx′′+−+−20)(xx))((20xxo−+=)(0xf!2)(0xf′′+−20)(xx))((20xxo−得到020()()()fxfxxx−=−20200)())(()(!21xxxxoxf−−+′′。因为当0xx→时上式右侧第二项趋于0，所以当0)(0′′xf时，由极限的性质可知在0x点附近成立0)()()(200−−xxxfxf,所以)()(0xfxf，从而)(xf在0x取极大值。同样可讨论0)(0′′xf的情况。证毕关于定理5.5.1中(2)(iii)，可分别考察函数4xy=,4xy−=和3xy=。0=x是4xy=的极小值点，是4xy−=的极大值点，而不是3xy=的极值点。但它们都满足0)0(=′y和0)0(=′′y的条件。例5.5.1求函数322)2()(xxxf−=的极值。解函数)(xf的定义域为),(+∞−∞。由)1()2(34)(31-2xxxxf−−=′，可知)(xf的驻点为1=x，使得)(xf′不存在的点为0=x和2=x。由于（1）当0∞−x时，0)(′xf；（2）当10x时，0)(′xf；（3）当21x时，0)(′xf；（4）当+∞x2时，0)(′xf，由定理5.5.1中(1)的结论知0)0(=f是极小值，1)1(=f是极大值，0)2(=f是极小值。关于定理5.5.1中(2)(iii)，可分别考察函数4xy=,4xy−=和3xy=。0=x是4xy=的极小值点，是4xy−=的极大值点，而不是3xy=的极值点。但它们都满足0)0(=′y和0)0(=′′y的条件。例5.5.2求函数1)1()(32+−=xxf的极值。解函数)(xf的定义域为),(+∞−∞。计算得22)1(6)(−=′xxxf，)15)(1(6)(22−−=′′xxxf。显然)(xf的驻点为0=x，1=x和1−=x。由于06)0(=′′f，所以由定理5.5.1中(2)的结论知0)0(=f是极小值。由于0)1(=±′′f，不能用定理5.5.1中(2)的结论。但由于)(xf′在1=x与1−=x的左、右两侧保持同号，由定理5.5.1中(1)的结论，知)1(f和)1(−f都不是函数)(xf的极值。最值问题闭区间上的连续函数必定能取到最大值与最小值。函数的最大值与最小值统称为函数的最值，使函数取到最大值（或最小值）的点称为函数的最大值点（或最小值点），也称为函数的最值点。对于一个定义于闭区间[]ba,上的函数fx()来说，区间的两个端点a与b有可能成为它的最值点。同时，若最值点属于开区间()ba,的话，那它一定是函数的极值点。因此，只要找出所有)(xf的驻点与使′fx()不存在的点，再加上区间的端点，从中找出使函数取最大值或最小值的点就可以了。例5.5.3求函数322)2()(xxxf−=在区间[]4,1−上的最大值与最小值。解由例5.5.1，已知函数)(xf在区间[]4,1−上的极大值点为1=x，极大值为1)1(=f，极小值点为0=x与2=x，两个极小值都为0。为了求最大值与最小值，还须加上函数在区间端点的值39)1(=−f与4)4(=f。对这些值进行比较，就得到函数)(xf在区间[]4,1−上的最大值点为4=x，最大值为4)4(=f，最小值点为0=x与2=x，最小值为0。例5.5.4用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？解设罐身的厚度为δ，则顶盖的厚度是3δ。记罐头的容积为V，底面半径为r，则高为hVr=π2。于是，罐身的用料为(),22)(221⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=rVrrhrrUπδππδ顶盖的用料为Urr223(),=δπ因此问题化为求函数⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=rVrrUrUrU24)()()(221πδ，),0(+∞∈r的最小值。对Ur()求导，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′242)(rVrrUπδ，因此′Ur()只有唯一的零点rV034=π。由于024)(3⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′′rVrUπδ，r∈+∞(,)0，所以r0是Ur()的最小值点。这时，相应的高为hVrrrr0020302044===πππ。也就是说，当罐头的高为底面直径的2倍时用料最省。用同样的方法可以推出，若圆柱形的有盖容器是用厚薄相同的材料制成的，那么当它的底面直径和高相等的时候用料最省。许多圆柱形的日常用品，如漱口杯、保暖桶等，都是采用这样的比例（或近似这样的比例）设计的。对Ur()求导，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=′242)(rVrrUπδ，因此′Ur()只有唯一的零点rV034=π。由于024)(3⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=′′rVrUπδ，r∈+∞(,)0，所以r0是Ur()的最小值点。这时，相应的高为hVrrrr0020302044===πππ。也就是说，当罐头的高为底面直径的2倍时用料最省。例5.5.5设一辆汽车在平原上的行驶速度为v1，在草原上的行驶速度为v2，现要求它以最短的时间从平原上的A点到达草原上的B点，问应该怎么走？解显然，在同一种地形上，汽车应沿直线行进，所以它从A到B的运动轨迹应是由两条直线段组成的折线。设汽车的行驶路径如图5.5.2所示，那么它的整个行驶时间应为Txhxvhlxv()()=+++−12212222。由22222211)()(xlhvxlxhvxxT−+−−+=′，可知0)0(′T，0)(′lT。xA平原草原θ1θ2h1h2Bl由于0))(()()(2322222223221121−+++=′′xlhvhxhvhxT，可知存在唯一的),0(0lx∈，使得0)(0=′xT。因此x0是Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式xvhxlxvhlx011202022202+=−+−()。由于光线在传播过程中所花的时间总是最短的，即光线总是走“捷径”的，所以光线的传播问题在本质上与本题是相同的。我们可以将本题中汽车的行驶换成光线的传播，将平原和草原换成光线传播过程中的两种不同的介质，这样就得到了光学中著名的折射定律sinsinθθ1122vv=。由于0))(()()(2322222223221121−+++=′′xlhvhxhvhxT，可知存在唯一的),0(0lx∈，使得0)(0=′xT。因此x0是Tx()的唯一的极小值点，也就是它的最小值点。这时我们得到关系式xvhxlxvhlx011202022202+=−+−()。例5.5.6对产品从生产到销售的过程进行经济核算时，至少要涉及到三个方面的问题：成本、收益和利润。设产量为Q，则总成本C()Q一般可以表示成两部分的和C()()QfvQQ=+⋅。这里，f0称为固定成本（如厂房和设备的折旧、工作人员的工资、财产保险费等），一般可以认为与产量的大小无关，而vQQ()⋅称为可变成本（如原材料、能源等），vQ()是一个正值函数，表示在总共生产Q件产品的情况下，每生产一件的可变成本，最简单的情形是vQv()==正常数。C()Q的导数′C()Q称为边际成本，其经济学意义是在总共生产Q件产品的情况下，生产第Q件产品的成本。总收益E()()QpQQ=⋅是指把Q件产品销售出去后得到的收入，这里pQ()称为价格函数，表示在总共生产Q件产品的情况下，每件产品的销售价格。一般说来，生产量越大，每件产品的价格就越便宜，因此pQ()是Q的单调减少函数。E()Q的导数′E()Q相应地称为边际收益，其经济学意义是在总共生产销售了Q件产品的情况下，销售出第Q件产品所得到的收入。总收益减去总成本便是总利润。将利润函数记为P()Q，则P()E()C()QQQ=−，当E()Q和C()Q二阶可导时，利用Lagrange中值定理的推论2，就可以得到经济学中的“最大利润原理”：“当且仅当边际成本与边际收益相等，并且边际成本的变化率大于边际收益的变化率时，可取得最大利润。”这里的第一个条件即为′=′−′=P()E()C()QQQ0，而第二个条件可表示为′′=′′−′′P()E()C()QQQ0，请读者自行思考它们的经济学意义。比如，某产品的价格),0,(,)(baQbabQaQp−=，成本C()QfvQ=+，于是利润，fQvabQQQQ−−+−=−=)()C()E()P(2要使得整个生产经营不亏本，显然在定价时须保证av−0。容易算出，当产量Qavb02=−时有′=P()Q00和′′P()Q00，这时所获取的利润为最大。数学建模例5.5.7（Malthus人口模型）设pt()是某地区的人口数量函数，则在单位时间中的人口增长数，即人口增长速率应为人口数量函数的导数′pt()。显然，某一时刻的人口数量越多，在单位时间中的人口增长数也就越多。Malthus假定这两者成比例关系，设比例系数为λ，他在1798年提出了人类历史上的第一个人口模型′==⎧⎨⎩ptptptp()()()λ00，将“′=ptpt()()λ”写成微分形式dppdt=λ，得到lnptC=+λ，或pCt=1eλ，其中CC1=e。令tt=0并利用初始条件ptp()00=，可以定出Cpt100=−eλ，最终得到人口数量函数ptptt()e()=−00λ。例5.5.8在供水、化工生产等过程中，都有一个对液体进行过滤，除去渣滓的问题。现以过滤式净水器的使用为例，来建立相应的数学模型。要对液体进行过滤，首先要设置一个由过滤物质组成的过滤层（称为滤芯）。在过滤的过程中，水中的杂质沉积在过滤层上，也成为过滤层的一部分。假设杂质在水中的含量和进水的压力都是常数，那么杂质沉积的厚度与累积的总滤出流量Qt()成正比，同时，流速的减少与杂质沉积的厚度也成正比。若设初始时刻的流速为q0，由导数的意义即知t时刻的流速应当是′Qt()，从而流速的减少量为qQt0−′()，由上所述，它应与总滤出流量Qt()成正比。这样，就得到了它的数学模型为⎩⎨⎧=−=′.0)0(),()(0QtQqtQλ作代换QtqQt10()()=−λ，便有⎩⎨⎧=−=′.)0(),()(0111qQtQtQλ采用例5.5.7类似的方法，可以求出Qtqt10()