复旦数学分析课件05函数项级数

点态收敛设un(x)（n=1,2,3,…）是具有公共定义域E的一列函数，这无穷个函数的“和”++++)()()(21xuxuxun称为函数项级数，记为∑∞=1)(nnxu。第十章函数项级数§1函数项级数的一致收敛性定义10.1.1设un(x)（n=1,2,3,…）在E上定义。对于任意固定的0x∈E，若数项级数∑∞=10)(nnxu收敛，则称函数项级数∑∞=1)(nnxu在点0x收敛，或称0x是∑∞=1)(nnxu的收敛点。函数项级数∑∞=1)(nnxu的收敛点全体所构成的集合称为函数项级数∑∞=1)(nnxu的收敛域。设∑∞=1)(nnxu的收敛域为DE⊂，则∑∞=1)(nnxu就定义了集合D上的一个函数S(x)=∑∞=1)(nnxu，x∈D。S(x)称为∑∞=1)(nnxu的和函数。由于这是通过逐点定义的方式得到的，因此称∑∞=1)(nnxu在D上点态收敛于S(x)。例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：∑∞=1nnx的收敛域是)1,1(−，和函数为S(x)=xx−1；∑∞=1nnnx的收敛域为)1,1[−；∑∞=12nnnx的收敛域]1,1[−；例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：∑∞=1nnx的收敛域是)1,1(−，和函数为S(x)=xx−1；∑∞=1!nnnx的收敛域为),(+∞−∞=R；∑∞=1)!(nnxn的收敛域为单点集{0}；∑∞=−1ennx的收敛域为),0(+∞，和函数为S(x)=1e1−x。∑∞=1nnnx的收敛域为)1,1[−；∑∞=12nnnx的收敛域]1,1[−；例10.1.1利用我们目前所掌握的知识（如级数收敛的Cauchy判别法，D'Alembert判别法等）和定义10.1.1，可知下述结论：∑∞=1nnx的收敛域是)1,1(−，和函数为S(x)=xx−1；给定一个函数项级数∑∞=1)(nnxu，可以作出它的部分和函数Sn(x)=∑=nkkxu1)(，x∈E；显然，使{Sn(x)}收敛的x全体正是级数的收敛域D。因此在D上，∑∞=1)(nnxu的和函数S(x)就是其部分和函数序列{Sn(x)}的极限，即有S(x)=∞→nlimSn(x)=∞→nlim∑=nkkxu1)(，x∈D。反过来，若给定一个函数序列{Sn(x)}(x∈E)，只要令u1(x)=S1(x)，un+1(x)=Sn+1(x)-Sn(x)(n=1,2,…)，就可得到相应的函数项级数∑∞=1)(nnxu，它的部分和函数序列就是{Sn(x)}。所以，函数项级数∑∞=1)(nnxu与函数序列{Sn(x)}的收敛性在本质上完全是一回事。为方便起见，下面将经常通过讨论函数序列来研究函数项级数的性质。反过来，若给定一个函数序列{Sn(x)}(x∈E)，只要令u1(x)=S1(x)，un+1(x)=Sn+1(x)-Sn(x)(n=1,2,…)，就可得到相应的函数项级数∑∞=1)(nnxu，它的部分和函数序列就是{Sn(x)}。函数项级数(或函数序列)的基本问题设有限个函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)在D上定义且具有某种分析性质，如连续性、可导性和Riemann可积性（以下就称可积性）等，则它们的和函数u1(x)+u2(x)+…+un(x)在D上仍保持同样的分析性质，例如，其和函数的极限（或导数、积分）可以通过对每个函数分别求极限（或导数、积分）后再求和来得到，即成立(a)0limxx→)]()()([21xuxuxun+++=0limxx→u1(x)+++→)(lim20xuxx0limxx→un(x)(b)xdd)]()()([21xuxuxun+++=xddu1(x)+xdd++)(2xuxddun(x)(c)∫+++banxxuxuxud)]()()([21=∫baxxud)(1+++∫baxxud)(2∫banxxud)(这些性质给我们带来了很大的方便。函数项级数(或函数序列)的基本问题设有限个函数u1(x)，u2(x)，…，un(x)在D上定义且具有某种分析性质，如连续性、可导性和Riemann可积性（以下就称可积性）等，则它们的和函数u1(x)+u2(x)+…+un(x)在D上仍保持同样的分析性质，对于函数项级数，我们面对的是无限个un(x)（n=1,2,3,…），它们的和函数S(x)大多是不知道的，因此只能借助un(x)的分析性质来间接地获得S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下．．．．．．，上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况。这个问题是函数项级数(或函数序列)研究中的基本问题，其实质是极限（或求导、求积分）运算与无限求和运算在什么条件下可以交换次序（由于求导、求积分与无限求和均可看作特殊的极限运算，因此更一般地，可将其统一视为两种极限运算的交换次序）。下面我们将会看到，仅要求∑∞=1)(nnxu在D上点态收敛是不够的。对于函数项级数，我们面对的是无限个un(x)（n=1,2,3,…），它们的和函数S(x)大多是不知道的，因此只能借助un(x)的分析性质来间接地获得S(x)的分析性质。那么很自然地，我们希望在一定条件下．．．．．．，上述运算法则可以推广到无限个函数求和的情况。(1)将性质(a)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上连续时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在D上连续，并且成立0limxx→∑∞=1)(nnxu=∑∞=→1)(lim0nnxxxu，即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求极限）。对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数S(x)=∞→nlimSn(x)也在D上连续，并且成立0limxx→∞→nlimSn(x)=∞→nlim0limxx→Sn(x)，即两种极限运算可以交换次序。(1)将性质(a)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上连续时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在D上连续，并且成立0limxx→∑∞=1)(nnxu=∑∞=→1)(lim0nnxxxu，即极限运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求极限）。下面的例子说明，在点态收敛的情况下，上述性质不一定成立。例10.1.2设Sn(x)=xn，则{Sn(x)}在区间]1,1(−上收敛，极限函数为S(x)=∞→nlimSn(x)=⎩⎨⎧=−.1,1,11,0xx虽然对一切n，Sn(x)在]1,1(−上连续（也是可导的），但极限函数S(x)在x=1不连续(当然更谈不上在x=1可导)。(2)将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上可导时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在D上可导，并且成立xdd∑∞=1)(nnxu=∑∞=1)(ddnnxux，即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求导）。对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数S(x)=∞→nlimSn(x)也在D上可导，并且成立xdd∞→nlimSn(x)=∞→nlimxddSn(x)，即求导运算与极限运算可以交换次序。(2)将性质(b)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在D上可导时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在D上可导，并且成立xdd∑∞=1)(nnxu=∑∞=1)(ddnnxux，即求导运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求导）。例10.1.2已说明在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可导；下例说明，即使和函数(或极限函数)可导，上述两等式也不一定成立。例10.1.3设Sn(x)=nnxsin，则{Sn(x)}在),(+∞−∞上收敛，极限函数为S(x)=0，从而导函数S′(x)=0。由于nS′(x)=ncosnx，因此Sn(x)的导函数所构成的序列{nS′(x)}并不收敛于S′(x)（例如当x=0，nS′(0)=n+∞→）。(3)将性质(c)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在闭区间[a,b]⊂D上可积时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在[a,b]上可积，并且成立∫∑∞=bannxxud)(1=∑∫∞=1d)(nbanxxu，即求积分运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求积分）。对于函数序列{Sn(x)}而言，相应的结论是极限函数S(x)=∞→nlimSn(x)也在区间[a,b]上可积，并且成立∫∞→banlimSn(x)dx=∞→nlim∫banxS)(dx，即求积分运算与极限运算可以交换次序。(3)将性质(c)推广到无限个函数的情况，是指当un(x)在闭区间[a,b]⊂D上可积时，和函数S(x)=∑∞=1)(nnxu也在[a,b]上可积，并且成立∫∑∞=bannxxud)(1=∑∫∞=1d)(nbanxxu，即求积分运算与无限求和运算可以交换次序（也称函数项级数∑∞=1)(nnxu可以逐项求积分）。下面例10.1.4和例10.1.5将说明，在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可积；即使可积，上述两等式也不一定成立。例10.1.4设Sn(x)=⎩⎨⎧⋅,,0,!,1为其他值当为整数当xnx].1,0[∈x显然，对每一个n∈+N，Sn(x)在]1,0[上有界，至多只有有限个不连续点，因而是可积的。但是，当x是无理数时，对一切n，Sn(x)=0，因此S(x)=∞→nlimSn(x)=0；当x是有理数pq（p∈+N，q∈N，pq≤）时，对于n≥p，Sn(x)=1，因此S(x)=∞→nlimSn(x)=1。所以，{Sn(x)}的极限函数S(x)就是熟知的Dirichlet函数，它在]1,0[上是不可积的。下面例10.1.4和例10.1.5将说明，在点态收敛情况下，和函数(或极限函数)可能不可积；即使可积，上述两等式也不一定成立。例10.1.5设Sn(x)=nx(1-x2)n，则{Sn(x)}在区间]1,0[上收敛于极限函数S(x)=0。显然对任意n，Sn(x)与S(x)都在]1,0[上可积，但是∫10d)(xxSn=∫−102d)1(xxnxn=2n−∫−−1022)1d()1(xxn=)1(2+nn∫10d)(xxS（∞→n）。上述例子说明，为了解决这类交换运算次序问题，需要引进比“点态收敛”要求更强的新的收敛概念。例10.1.5设Sn(x)=nx(1-x2)n，则{Sn(x)}在区间]1,0[上收敛于极限函数S(x)=0。显然对任意n，Sn(x)与S(x)都在]1,0[上可积，但是∫10d)(xxSn=∫−102d)1(xxnxn=2n−∫−−1022)1d()1(xxn=)1(2+nn∫10d)(xxS（∞→n）。函数项级数(或函数序列)的一致收敛性“函数序列{Sn(x)}在集合D上(点态)收敛于S(x)”是指对于任意0x∈D，数列{Sn(0x)}收敛于S(0x)。也就是：对任意给定的ε0，可以找到正整数N，当nN时，成立：│Sn(0x)-S(0x)│ε。这里的N应理解为N(0x,ε)，即N不仅与ε有关，而且随着0x的变化而变化。我们希望{Sn(x)}不仅在D上点点收敛于S(x)，而且在D上的收敛速度具有某种整体一致性。也就是希望在上面的定义中，存在一个仅与ε有关，而与0x无关的N=N(ε)。函数项级数(或函数序列)的一致收敛性“函数序列{Sn(x)}在集合D上(点态)收敛于S(x)”是指对于任意0x∈D，数列{Sn(0x)}收敛于S(0x)。也就是：对任意给定的ε0，可以找到正整数N，当nN时，成立：│Sn(0x)-S(0x)│ε。这里的N应理解为N(0x,ε)，即N不仅与ε有关，而且随着0x的变化而变化。定义10.1.2设{Sn(x)}（x∈D）是一函数序列，若对任意给定的ε0，存在仅与ε有关的正整数N(ε)，当nN