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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > 复旦数学分析课件06多元连续函数
多元函数定义11.2.1设D是nR上的点集,D到R的映射→D:fR,z6x称为n元函数,记为)(xfz=。这时,D称为f的定义域,)(Df=}),(|{DR∈=∈xxfzz称为f的值域,Γ=}),(|),{(1DR∈=∈+xxxfzzn称为f的图象。§2多元连续函数例11.2.122221byaxz−−=是二元函数,其定义域为D=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+∈1),(22222byaxyxR,函数的图象是一个上半椭球面(见图11.2.1)。z22221byaxz−−=Oyx图11.2.1多元函数的极限定义11.2.2设D是nR上的开集,()∈=002010,,,nxxxxD为一定点,)(xfz=是定义在D\{0x}上的n元函数,A是一个实数。如果对于任意给定的0ε,存在0δ,使得当),(0δxxO∈\{0x}时,成立ε−Af)(x,则称x趋于0x时f收敛,并称A为f当x趋于0x时的(n重)极限,记为0limxx→)(xf=A,或)(xfA→(0xx→),或Axxxfnxxxxxxnn=→→→),,,(lim210022011。注在上面的定义中,“),(0δ∈xxO\{0x}”也可以用下面的条件,||,||022011δδ−−xxxx,||,0δ−nnxxx≠0x替代。多元函数的极限定义11.2.2设D是nR上的开集,()∈=002010,,,nxxxxD为一定点,)(xfz=是定义在D\{0x}上的n元函数,A是一个实数。如果对于任意给定的0ε,存在0δ,使得当),(0δxxO∈\{0x}时,成立ε−Af)(x,则称x趋于0x时f收敛,并称A为f当x趋于0x时的(n重)极限,记为0limxx→)(xf=A,或)(xfA→(0xx→),或Axxxfnxxxxxxnn=→→→),,,(lim210022011。例11.2.2设22sin)(),(yxyyxyxf++=,证明0),(lim)0,0(),(=→yxfyx。证由于22sin)(|0),(|yxyyxyxf++=−≤||yx+≤||||yx+,所以,对于任意给定的0ε,只要取2εδ=,那么当δδ−−|0|,|0|yx,且)0,0(),(≠yx时,|0),(|−yxf≤εεεδδ=+=++22||||yx。这说明了0),(lim)0,0(),(=→yxfyx。对一元函数而言,只要在0x的左、右极限存在且相等,函数在0x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则要求当x以任何方式趋于0x时,函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么这个函数在该点的极限一定不存在。例11.2.3设)0,0(),(,),(22≠+=yxyxxyyxf。当点x),(yx=沿x轴和y轴趋于)0,0(时,),(yxf的极限都是0。但当点x),(yx=沿直线mxy=趋于)0,0(时,22222001lim),(limmmxmxmxyxfxmxyx+=+=→=→,对于不同的m有不同的极限值。这说明),(yxf在点)0,0(的极限不存在。对一元函数而言,只要在0x的左、右极限存在且相等,函数在0x处的极限就存在。而对多元函数来说,根据极限存在的定义,则要求当x以任何方式趋于0x时,函数值都趋于同一个极限。若自变量沿不同的两条曲线趋于某一定点时,函数的极限不同或不存在,那么这个函数在该点的极限一定不存在。下例说明即使点x沿任意直线趋于0x时,),(yxf的极限都存在且相等,仍无法保证函数f在0x处有极限。例11.2.4设)0,0(),(,)(),(2422≠+−=yxxyxyyxf。当点x),(yx=沿直线mxy=趋于)0,0(时,成立1)(lim),(lim24422200=+−=→=→xxmxxmyxfxmxyx;当点x),(yx=沿y轴趋于)0,0(时,也成立1),(lim00==→yxfxy,因此当点x),(yx=沿任何直线趋于)0,0(时,),(yxf极限存在且相等。但),(yxf在点)0,0(的极限不存在。事实上,f在抛物线xy=2上的值为0,因此当点x),(yx=沿这条抛物线趋于)0,0(时,它的极限为0。一元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不再细述,请读者自行加以证明。累次极限对重极限),(lim),(),(00yxfyxyx→(即),(lim00yxfyyxx→→),人们很自然会想到的是,能否在一定条件下将重极限),(yx),(00yx→分解成为两个独立的极限0xx→和0yy→,再利用一元函数的极限理论和方法逐个处理之?这后一种极限称为累次极限。一元函数的极限性质,如唯一性、局部有界性、局部保序性、局部夹逼性及极限的四则运算法则,对二元函数依然成立,这里不再细述,请读者自行加以证明。定义11.2.3设D是2R上的开集,∈),(00yxD为一定点,z=),(yxf为定义在D)},{(\00yx上的二元函数。如果对于每个固定的0yy≠,极限),(lim0yxfxx→存在,并且极限),(limlim00yxfxxyy→→存在,那么称此极限值为函数),(yxf在点),(00yx的先对x后对y的二次极限。同理可定义先对y后对x的二次极限),(limlim00yxfyyxx→→。累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。例11.2.3和例11.2.4其实已经告诉我们,二次极限存在不能保证二重极限存在(请读者思考理由)。而从下面的例子可以知道,二重极限存在同样不能保证二次极限存在。例11.2.5(二重极限存在,但两个二次极限不存在)设⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠+=.00,0,00,1cos1sin)(),(22yxyxyxyxyxf或且由于|),(|yxf≤22yx+,所以0),(lim)0,0(),(=→yxfyx。但在)0,0(点两个二次极限显然不存在。累次极限存在与重极限存在的关系很复杂。例11.2.3和例11.2.4其实已经告诉我们,二次极限存在不能保证二重极限存在(请读者思考理由)。而从下面的例子可以知道,二重极限存在同样不能保证二次极限存在。例11.2.6(二重极限存在,两个二次极限中有一个不存在)设⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠=.00,0,00,1sin),(yxyxxyyxf或且在)0,0(点显然有0),(lim)0,0(),(=→yxfyx,即二重极限存在。且),(limlim00yxfyx→→=01sinlimlim00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→xyyx,但先对x后对y的二次极限不存在。此外一个二次极限存在不能保证另一个二次极限也存在;即使两个二次极限都存在,也不一定相等。也就是说,两个极限运算不一定可以交换次序(参见本节习题8(2))。例11.2.6(二重极限存在,两个二次极限中有一个不存在)设⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠=.00,0,00,1sin),(yxyxxyyxf或且在)0,0(点显然有0),(lim)0,0(),(=→yxfyx,即二重极限存在。且),(limlim00yxfyx→→=01sinlimlim00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→xyyx,但先对x后对y的二次极限不存在。在二重极限存在时,我们有下面的结果:定理11.2.1若二元函数),(yxf在),(00yx点存在二重极限Ayxfyxyx=→),(lim),(),(00,且当0xx≠时存在极限)(),(lim0xyxfyyϕ=→,那么),(yxf在),(00yx点的先对y后对x的二次极限存在且与二重极限相等,即Ayxfxyxfyxyxxxyyxx===→→→→),(lim)(lim),(limlim),(),(00000ϕ。证只要证明Axxx=→)(lim0ϕ即可。对于任意给定的0ε,由于Ayxfyxyx=→),(lim),(),(00,所以存在0δ,使得当δ−+−2020)()(0yyxx时有2),(ε−Ayxf,于是对于每个满足δ−||00xx的x,令0yy→,就得到AyxfAxyy−=−→),(lim)(0ϕ≤εε2。这就是说,对于任意给定的0ε,存在0δ,使得当δ−||00xx时,εϕ−|)(|Ax。同样可证:在二重极限存在的情况下,如果当0yy≠时存在极限)(),(lim0yyxfxxφ=→,那么),(lim)(lim),(limlim),(),(00000yxfyyxfyxyxyyxxyy→→→→==φ。所以,若函数),(yxf的二重极限及两个二次极限都存在,则三者必相等,即),(lim),(limlim),(limlim),(),(000000yxfyxfyxfyxyxyyxxxxyy→→→→→==。这意味着,此时极限运算可以交换次序。多元函数的连续性定义11.2.4设D是nR上的开集,)(xfz=是定义在D上的函数,0x∈D为一定点。如果0limxx→f(x)=f(0x),则称函数f在点0x连续。用“δε−”语言来说就是:如果对于任意给定的0ε,存在0δ,使得当),(0δxxO∈时,成立|f(x)-f(0x)|<ε,则称函数f在点0x连续。如果函数f在D上每一点连续,就称f在D上连续,或称f是D上的连续函数。例11.2.7函数22sin),(yxyxf+=在2R上连续。证设),(00yx为2R上的任一点,则有|),(),(|00yxfyxf−=|sinsin|202022yxyx+−+=2sin2cos2202022202022yxyxyxyx+−+⋅+++≤2sin2202022yxyx+−+202022yxyx+−+≤≤2020)()(yyxx−+−(利用三角不等式)。于是,对于任意给定的0ε,取εδ=,当δ−+−2020)()(yyxx时就成立ε−),(),(00yxfyxf。这说明),(yxf在),(00yx点连续。由于),(00yx为2R上的任一点,所以),(yxf在2R上连续。例11.2.7函数22sin),(yxyxf+=在2R上连续。证设),(00yx为2R上的任一点,则有|),(),(|00yxfyxf−=|sinsin|202022yxyx+−+=2sin2cos2202022202022yxyxyxyx+−+⋅+++≤2sin2202022yxyx+−+202022yxyx+−+≤≤2020)()(yyxx−+−(利用三角不等式)。一元连续函数和差积商及复合函数性质同样可以平行地推广到多元连续函数。例11.2.8计算极限22)0,1(),()ln(limyxexyyx++→。解注意到函数)ln(yex+和22yx+在其自然定义域上的连续性,由极限的运算法则,得到2lnlim)ln(lim)ln(lim22)0,1(),()0,1(),(22)0,1(),(=++=++→→→yxexyxexyxyyxyyx。例11.2.9计算极限[]2222)0,0(),()1(sinlimyxyxyyx+++→。解利用1sinlim0=→ttt,得到[]2222)0,0(),()1(sinlimyxyxyyx+++→=[])1()1()1(sinlim2222)0,0(),(+⋅++++→yyxyyxyyx=[])1(lim)1()1(sinlim)0,0(),(2222)0,0(),(+⋅++++→→yyxyyxyyxyx=1。向量值函数平面解析几何中熟知的参数方程⎩⎨⎧==),(),(tytxψϕ],[10ttt∈是一元函数的另一种推广:多个因变量(x和y)按某种规律,随自变量t的变化而相应变化。定义11.2.3设D是nR上的点集,D到mR的映射→D:fmR,),,,(21nxxx=x),,,(21mzzz6=z称为n元m维向量值函数(或多元函数组),记为)(xfz=。D称为f的定义域,}),(|{)(DRD∈=∈=xxfzzmf称为f的值域。多元函数是1=m的特殊情形。向量值函数平面解析几何中熟知的参数方程⎩⎨⎧==),(),(tytxψϕ],[10ttt∈是一元函数的另一种推广:多个因变量(x和y)按某种规律,随自变量t的变化而相
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