复旦数学分析课件08Green公式、Gauss公式和Stokes公式

Green公式设L为平面上的一条曲线，它的方程是jir)()()(tytxt+=，βα≤≤t。如果)()(βαrr=，而且当),(,21βα∈tt，21tt≠时总成立)()(21ttrr≠，则称L为简单闭曲线（或Jordan曲线）。这就是说，简单闭曲线除两个端点相重合外，曲线自身不相交。设D为平面上的一个区域。如果D内的任意一条封闭曲线都可以不经过D外的点而连续地收缩成D中一点，那么D称为单连通区域。否则它称为复连通区域。例如，圆盘}1|),{(22+yxyx是单连通区域，而圆环⎭⎬⎫⎩⎨⎧+121),(22yxyx是复连通区域。§3Green公式、Gauss公式和Stokes公式单连通区域D也可以这样叙述：D内的任何一条封闭曲线所围的点集仍属于D。因此，通俗地说，单连通区域之中不含有“洞”，而复连通区域之中会有“洞”。对于平面区域D，给它的边界D∂规定一个正向：如果一个人沿D∂的这个方向行走时，D总是在他左边。这个定向也称为D的诱导定向，带有这样定向的D∂称为D的正向边界。例如，如图14.3.1所示的区域D由L与l所围成，那么在我们规定的正向下，L为逆时针方向，而l为顺时针方向。DLl图14.3.1定理14.3.1（Green公式）设D为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通闭区域。如果函数PxyQxy(,),(,)在D上具有连续偏导数，那么∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+∂DDdxdyyPxQQdyPdx，其中D∂取正向，即诱导定向。证先假设D可同时表示为以下两种形式}),()(|),{(21bxaxyyxyyx≤≤≤≤=D}),()(|),{(21dycyxxyxyx≤≤≤≤=的情形（这时平行于x轴或y轴的直线与区域D的边界至多交两点）。这样的区域称为标准区域。下面在这种假设下证明定理（参见图14.3.2）。()2xxy=)(1yxx=yyx=2()yyx=1()abOxycd图14.3.2[]21()()2112(,())(,())(,())(,())(,),byxayxbbaaabPPdxdydxdyyyPxyxPxyxdxPxyxdxPxyxdxPxydx∂∂∂=∂∂=−=−−=−∫∫∫∫∫∫∫∫DD式中最后一步是利用了曲线积分的计算公式。同理又有[]21()()2121((),)((),)((),)((),)(,)dxycxyddcccdQQdxdydydxxxQxyyQxyydyQxyydyQxyydyQxydy∂∂∂=∂∂=−=+=∫∫∫∫∫∫∫∫DD。两式合并就得到所需的结果。再证区域D可分成有限块标准区域的情形。我们只考虑如图14.3.3的区域，在这种区域上，平行于y轴的直线与D的边界的交点可能会多于两个。如图所示用光滑曲线AB将D分割成两个标准区域1D与2D（1D的边界为曲线ABMA，2D的边界为曲线ANBA）。因此可以应用Green公式得到∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+∂11DDdxdyyPxQQdyPdx,∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+∂22DDdxdyyPxQQdyPdx。2D1DOxNABMy图14.3.3注意1D与2D的公共边界AB，其方向相对于1D∂而言是从A到B，相对于2D∂而言是从B到A，两者方向正好相反，所以将上面的两式相加便得DQPPdxQdydxdyxy∂⎛⎞∂∂+=−⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫∫D。对于Green公式一般情形的证明比较复杂，这里从略。Green公式还可以推广到具有有限个“洞”的复连通区域上去。以只有一个洞为例（见图14.3.4），用光滑曲线连结其外边界L上一点M与内边界l上一点N，将D割为单连通区域。由定理14.3.1得到图14.3.4,MNNMQPdxdyPdxQdyxyPdxQdyPdxQdy∂⎛⎞⎛⎞∂∂−=++++⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠⎛⎞=++=+⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫∫∫∫∫∫DLlLlD其中L为逆时针方向，l为顺时针方向，这与D∂的诱导定向相同。DLlMNGreen公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。下面再作进一步讨论：1.记取诱导定向的D∂上的单位切向量为τ，单位外法向量为n（见图14.3.5），那么显然有cos(),cos(−=ynτ),x，),cos(xn=sin(τ),x。因此得到Green公式的另一种常用表示形式∫∫∫∫∂∂=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂DDDGdxFdydxdyyGxFdsxGxF)],cos(),sin([ττ−∫∂=DdsyGxF)],cos(),cos([nn+，这个形式便于记忆和推广。∂DτnD图14.3.52.Green公式是Newton-Leibniz公式的推广。设)(xf在],[ba上具有连续导数，取]1,0[],[×=baD（见图14.3.6）。在Green公式中取0=P，)(xfQ=，就得到∫∫∫∂=′DDdyxfdxdyxf)()(。利用化累次积分的方法，等式左边就是∫∫∫′=′babadxxfdxxfdy)()(10。而等式右边等于)()()()()()(0110afbfdyafdybfdyxfdyxfDABCDACDBCAB−=+=+=+++∫∫∫∫∫∫∫∫。这就得到Newton-Leibniz公式∫′badxxf)(=)()(afbf−。abx1DyO图14.3.63.从Green公式还可以得到一个求区域面积的方法：设D为平面上的有界闭区域，其边界为分段光滑的简单闭曲线。则它的面积为∫∫∫∂∂∂−=−==DDDydxxdyydxxdyS21，其中D∂取正向。例14.3.1计算椭圆xaybab222210+=(,)所围图形的面积。解椭圆的参数方程为xayb==≤≤cos,sin,θθθπ02。设椭圆的正向边界为L，那么所求面积为()abdabdababydxxdySπθθθθππ∫∫∫==+=−=2020222sincos2121L。图14.3.7xayb22221+=Oxy例14.3.2计算[]∫+++++=LdyyxxxyydxyxI)ln(2222，其中L为曲线yxx=≤≤sin,0π与直线段yx=≤≤00,π所围区域D的正向边界。解令[])ln(,2222yxxxyyQyxP+++=+=，则22222,yxyyxQyxyyP++=∂∂+=∂∂。由Green公式得到94sin3103sin0202====⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=∫∫∫∫∫∫∫ππxdxdyydxdxdyydxdyyPxQIxDD。xysin=Oxyπ图14.3.8例14.3.3计算()()∫−+−=LdymydxmyyIxxcosesine，其中L为圆)0()(222=+−aayax的上半圆周，方向为从点)0,2(aA到原点O(,)00。解现在积分曲线不是闭的，不能直接用Green公式，但添加一条直线段OA（方向从O到A）后，L与OA合起来就是闭曲线。设这样得到的闭曲线所围的区域为D。这时。yxQmyyPmyQmyyPxxxxcose,cose,cose,sine=∂∂−=∂∂−=−=利用Green公式，得到()()()()2esinecosesinecos2xxxxOAymydxymdyymydxymdymamdxdyπ−+−+−+−==∫∫∫∫LD。(2,0)Aa222()xaya−+=Oxy图14.3.9再计算沿OA的曲线积分。因为OA的方程为axy20:,0→=，那么()()000cosesine20=+=−+−∫∫aOAxxdxdymydxmyy。代入前面的式子，就得到()()。2cosesine2amdymydxmyyxxπ=−+−∫L曲线积分与路径无关的条件容易想象，若一个函数沿着连接A，B两个端点的一条路径L积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义：定义14.3.1设D为平面区域，PxyQxy(,),(,)为D上的连续函数。如果对于D内任意两点A，B，积分值∫+LQdyPdx只与A，B两点有关，而与从A到B的路径L（这里只考虑光滑或分段光滑曲线）无关，就称曲线积分∫+LQdyPdx与路径无关。否则称为与路径有关。曲线积分与路径无关的条件容易想象，若一个函数沿着连接A，B两个端点的一条路径L积分，一般说来，积分值不仅会随端点变化而变化，还会随路径的不同而不同。但上一节中曾指出，也有一些曲线积分的值，如重力所做的功，可以仅与路径的端点有关而与路径无关。下面就来探讨曲线积分与路径无关的条件。先给出积分与路径无关的定义：定理14.3.2（Green定理）设D为平面上的单连通区域，PxyQxy(,),(,)在D上具有连续偏导数。则下面的四个命题等价：(1)对于D内的任意一条光滑（或分段光滑）闭曲线L，0=+∫LQdyPdx；(2)曲线积分∫+LQdyPdx与路径无关；(3)存在D上的可微函数Uxy(,)，使得dUPdxQdy=+，即PdxQdy+为Uxy(,)的全微分，这时称Uxy(,)为1-形式PdxQdy+的原函数；(4)在D内成立等式∂∂∂∂PyQx=。证（1）⇒（2）：设A，B为D内任意两点，1L和2L是D中从A到B的任意两条路径，则)(21LLC−+=就是D中的一条闭曲线。因此0=∫∫∫∫∫+−+=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+−2121LLLLCQdyPdxQdyPdxQdyPdxQdyPdx，于是∫∫+=+21LLQdyPdxQdyPdx，因此曲线积分与路径无关。（2）⇒（3）：取一定点∈),(00yxD，作函数UxyPdxQdyxyxy(,)(,)(,)=+∫00，这里积分沿从),(00yx到),(yx的任意路径。由于曲线积分与路径无关，因此Uxy(,)是有确定意义的。取如图14.3.10所示的积分路径时，就成立ΔΔΔΔΔΔUxUxxyUxyxxPdxQdyPdxQdyxyxxyxyxy=+−=+−+⎛⎝⎜⎞⎠⎟+∫∫(,)(,)(,)(,)(,)(,)10000),(),(11),(),(yPdtytPxQdyPdxxxxxyxxyxξ=Δ=+Δ=∫∫Δ+Δ+，其中ξ在x与xx+Δ之间，这是利用了积分中值定理。因此),(),(limlim00yxPyPxUxUxx==ΔΔ=∂∂→Δ→Δξ。同理可证),(yxQyU=∂∂。所以在D内成立dUPdxQdy=+。(,)xxy+Δ(,)xy00(),xyxyO图14.3.10（3）⇒（4）：由于存在D上的可微函数U，使得dUPdxQdy=+，因此),(),,(yxQyUyxPxU=∂∂=∂∂。又由于函数Pxy(,)和Qxy(,)在D内具有连续偏导数，于是xQyxUxyUyP∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂22。（4）⇒（1）：对于包含在D内的光滑（或分段光滑）闭曲线L，设它包围的图形是D~，那么由Green公式就得到0~=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+∫∫∫dxdyyPxQQdyPdxDL。（3）⇒（4）：由于存在D上的可微函数U，使得dUPdxQdy=+，因此),(),,(yxQyUyxPxU=∂∂=∂∂。又由于函数Pxy(,)和Qxy(,)在D内具有连续偏导数，于是xQyxUxyUyP∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂22。上面的证明还给出了当曲线积分与路径无关时，PdxQdy+在D上的原函数的构造方法，即UxyPdxQdyxyxy(,)(,)(,)=+∫00。设∈),(),,(BBAAyxByxAD，对于从A到B的任意路径L，任取一条D内从(,)xy00到A的路径l，则∫∫++=+=LllQdyPdxyxUQdyPdxyxUBBAA),(,),(。因此),(),(AABByxUyxUQdyPdxQdyPdxQdyPdx−=+−+=+∫∫∫+lLlL。于是得到：定理14.3.3设D为平面单连通区域，Pxy(,)和Qxy(,)为D上的连续函数。那么曲线积分∫+LQdyPdx与路径无关的充分必要条件是在D上存在PdxQdy+的一