复旦数学物理方法讲义06Laplace变换

Chapter6Laplace变换HistoryofIntegralTransforms计算在任何时候都是数学之核心。人们发明了很多符号来简化运算，例如,,和ddx等。莱布尼兹可算是符号演算的鼻祖。十八、九世纪，求解微积分方程是数学、物理学家面临的重要任务。1862年，俄数学家瓦申科--扎哈尔钦科创造了一种符号算法解线性微分方程。1890年左右，英电气工程师亥维赛采用符号法计算了大量的微分方程，他将微分看做“乘法”：d()()dxpxx，nd()()dnnxpxx，将积分看做“除法”：01()d()xxp，001()(d)()xxnnxp，以及111.!nnxpn例如，求解'1,(0)0.yyy011000001111111(1)111111111d1.!!!1(1)!nnxnnnnxnnnnpyyypppppxxxepnnnnn他用此法解了大量的微积分方程，包括一些当时人们认为几乎不可能解决的问题，这使职业数学家大为吃惊，责难他的方法毫无根据。他对此不睬，并推广此法去解一些偏微分方程。不过他也的确由于没有根据地滥用此法，出过一些错误。二十世纪，布朗威奇、长松、杰弗里斯、德挈等人对符号法进行了深入的研究，找到了他的数学根据。原来符号法与一百年前Laplace引进的积分变换是一脉相通的，符号法是Laplace变换的特殊情形。从此肯定了符号法是解微分方程的一种方法，并称之为运算微积或算符演算。1782年，Laplace研究概率论时得到一种特殊形式的积分，0()d():pxexxp()().xp这种变换以及逆变换很多人研究过。1823年，泊松得到1()()d,2aipxaixeppi这是Riemann-Mellin变换。积分变换简介(Introductiontointegraltransforms)1．积分变换是一种函数之间的用积分表示的变换关系。2．积分变换法是求解某些微分方程的方法。对于常微分方程通过积分变换可以转化为代数方程或降低方程的阶数；对于偏微分方程，可以消去一个自变量的微分。3．积分变换法解微分方程的特点类似对数运算，不直接求未知函数，而是求变换后未知函数的象，然后通过反演即求得未知函数。4．积分变换的定义：()(,)()dbapKpxxx（a,b可为有限或无穷），其中),(xpK称为积分变换的核。例如拉普拉斯变换0()()dpxpexx的核为pxe；傅里叶变换()()dipxpexx的核为ipxe；其它还有汉克尔变换0()()()dnpxJpxxx，梅林变换10()()dppxxx等等。5.积分变换的应用：求解常微分方程的初值问题，求解积分方程；求定积分。LT应用：⑴求解常微分方程的初值问题。⑵求解积分方程。⑶求定积分。LT特点：以定理形式讲授（但不证明），再例题分析。一、Laplace变换的定义和基本性质1.定义：若对于),0(上的函数)(t，下述积分收敛于)(p，即0()()dptpett，则称)(p为)(t的Laplace变换，记为)()(tp。引入阶梯函数(Heavisidestepfunction)0001)(tttH，那么()()()d.ptpetHtt2.Laplace变换存在的条件：(i)在区间),0[中，)(t和)('t除具有第一类间断点外都是连续的，而且在任何有限区间中这种间断点至多只有有限个；第一类间断点是指在此点0tt不连续，但左极限)(lim00ttt和右极限)(lim00ttt均存在且有限，所以可积。(ii))(t随t增长的速度不超过某一指数函数，即tsMet0)(0,0,00tsM.定理：当0Ressp时，(1))(p存在并一致收敛，即0)(limRepp.或者说，当2arg2p时，0)(pp.(2))(p为p的解析函数。证明：设isp，则00000()()d()ddsstptptMptettetMetss因此，当0Ressp时，)(p存在并一致收敛，即0)(limRepp.对于任何实常数01ss，考虑1Resp时的积分0()dpttetp1100002010()d()d()ddstptptssttettetttetppMMtetss因此，0()dpttetp是一致收敛的，根据含参变量广义积分的性质，于是可以交换求导和积分的次序，即00d)(d)(ddddtetptetpppptpt由此可见，)(p的导数在01Ressp上处处存在且有限，即)(p是解析的。3.Laplace变换的基本性质：（1）线性定理：如果)()(),()(2211ptpt，21,cc是两个复常数，则，)()()()(22112211pcpctctc.（2）相似定理：如果)()(pt，a是一正数，则apaat1)(.证明：apaaeteatatappt1d)(d)()(00.（3）原函数求导定理：如果)()(pt，则)0()('ppt.一般地，对自然数n，有（带初值）)0()0(')0()()(121nnnnnppppt.证明：)0(d)()()(dd)(')('0000pptetpettetettptttptptpt其中，t时，0)(ptet，这是因为)()(pt，所以tsMet0)(，而0Ressp，因此0)(0tssptMeet)(t.两个极限：1．)0()(limppp，这是因为)0()(pp作为)(t的象函数，应满足0)0()(limppp，即)0()(limppp.2．0lim()lim()ptppt，这是因为)0(d)(')('0pptettpt，0000lim()lim'()d(0)'()d(0)lim().ptpptpptetttt（4）原函数积分定理：如果)()(pt，则ppdt0)((无初值)。证明：记0()()dtt，显然，0)0(.于是有ppppt)0()('.另一方面，ptt)()('.比较两式可得，ppp)(，所以ppp)(.这就是说ppt)(，即0()dtpp.（5）延迟定理：如果)()(pt，是一正数，则petHtp)()((t).证明:0()()()()d()d.ptpttHttHtettet在积分中作变换tu，即得，)(d)()()(0peueuetHtppup.4.例题分析(已知原函数求象函数)：（1）从定义，性质出发例1求)(tH的象函数。[解]ptetetHpptpt1d1d)()(00,)0(RepptH1)(,)0(Rep.例1'：011d(Re0).ptetpp例2求ate的象函数，a是一复常数。[解]apteteeptapptat1dd)(00,)Re(Reapapeat1,)Re(Reap.例2'()20011dd(ReRe)()ttptptteteetteppp.例3求tsin的象函数。[解]由apeat1，而ititeeit21sin，所以111121sin2pipipit,0Rep.例4求tsin的象函数。[解一]由11sin2pt，当0时，222111sinppt,0Rep.[解二]()()00()()00221()sindd21dd2111,ReIm2ptpitpitpitpitpteteetietetipipipip22sinpt,ImRep.例5求tcos，tcos的象函数。[解]由于11sin2pt，所以，1)0sin(11sincos22pppptt，0Rep.同样，由22sinpt,ImRep，所以，222211cossin'sin(0),pttpppImRep.例6求),2,1,0(ntn的象函数。[解]由ptH1)(0Rep和积分定理得2011d)(pppttHtt,0Rep,或者2000111dd0d,ptptptttttetteetppp0Rep.223011d2!ttpttpp,或32!2pt,0Rep.332402!2!d3ttpttpp,所以，431!3pt，或43!3pt0Rep.一般地有11!nnpnt,或1!nnpnt0Rep.例7011d,!,(0,1,2,).()ttptntneeetpntenp例7'求)1(Ret的象函数。[解]11001(1)()ddptptptetepp,0Rep.所以1)1(pt,0Rep.例8求)(tH的象函数。[解]由ptH1)(0Rep，所以，根据延迟定理，有1()()()ppeHtHtHtepp，0Rep.例9求tHt)(sin，tHt)(sin的象函数。[解]由22sinpt，应用延迟定理，有peptHt22sin.（t）222222sin()sincoscossin()sin()coscos()sincossin1cossin(0).tHtttHttHttHtpppptp注意：*[0,]t或约定()0(0)tt上述所有()t应理解为()(),tHt即()()().tHtp**在容易引起混淆的情况下，要特别标明阶梯函数！***11p，21tp2111(0).ttpp又21().pttp（2）周期函数的象函数设)(t是周期为T的函数，即()().tTt由定义有0)1(0d)(d)()(nTnnTptpttettetp，作代换nTt，上式成为()00000()d()()d()d.1TpTTpnTpnpTpTnnepnTeeee（3）作幂级数展开例10求ttsin)(的象函数。[解]0212!121sin)(mmmtmtt，