复旦数学物理方法讲义03复变函数级数

Chapter3复变函数级数Abstract：简介解析函数的性质，尤其是解析函数最重要的表达形式之一的幂级数(powerseries)的重要性质。重点讲述解析函数在常点附近展开为Taylor级数和在孤立奇点附近展开为Laurent级数。最后讨论单值函数孤立奇点的分类。Motivation：引论中讲过，一方面，物理学家力求()kkkazb（将此sum表达为一个简单的函数）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相当复杂，人们不得不反过来做级数展开。有趣的是，大部分情况下级数的前一、二项就解决问题了（物理误差范围以内）。这不但对收敛快的级数是如此，况且对发散级数尤要cutoff！--多项式展开。更有趣的是，这样便构成了本征函数系—早已存在的数学理论，物理理论和实验的核心目标，seepartII）。级数复习:常数项级数：11.nSn函数项级数：01z1,1nnzz几何级数；0z,!nznzen指数级数；21020sin1z,21!cos1z,2!nnnnnnzznzzn三角函数级数。一般级数：……解析项级数：1.一般级数，2.幂级数。问题：设有序列1111,,,,234，问11?nSn，Key：divergence发散.lim1,1nnn且11dln1,nnxSnxlimlimln1,nnnSSn这是log发散。而111npnn收敛，1pconvergence，且11pnpn绝对收敛。p称为Riemannzetafunction.1p：11pnn，而11nn发散（调和级数，和谐级数？）。11pnn发散(1)p.但是1p为何收敛呢？123111101111111123478151111111224488111112222pppppppnppppppnppppnn此几何级数收敛1p，11pnn收敛1p。再问一致收敛呢？要有,N学说，而非N[See(Sub.1.3)below].在C平面ReIm,ppipRe1p有无穷多个奇点。2(1,2,)pnn是p的零点，其它零点落在0Re1.pRiemann假设：上述零点全部在Re1/2.p一、级数的基本概念与性质(Basicconceptsandpropertiesofseries)1.复数序列（1）定义：按照一定顺序排列的复数nnnibaz，,2,1n，称为复数序列，记为nz。一个复数序列完全等价于两个实数序列。（2）聚点：给定复数序列nz，若存在复数z，对于0，恒有无穷多个nz满足zzn，则称z为nz的一个聚点（或极限点）。一个序列可以有不止一个聚点，例如序列,76,65,54,43,32,21就有两个聚点，1。（3）有界序列和无界序列：给定复数序列nz，若存在一个正数M，对所有的n都有Mzn，称为序列有界；否则称为序列无界。（4）极限：给定复数序列nz，如果对0，自然数N，使得只要Nn，就有Azn，则称nz收敛于A，记为Aznnlim。一个序列的极限必然是这个序列的聚点，而且是唯一的聚点。显然，如果写成nnnibaz，ibaA，则bbaaAznnnnnnlimlimlim例如，对于点列n，有1111110lim且不存在nn（5）序列极限存在（序列收敛）的Cauchy充要条件：任给0，存在正整数N，使对于任意正整数p，有NpNzz.一个无界序列不可能是收敛的。2．复数项级数复数项级数的收敛：一个复数级数，121kkkzzzz，如果它的部分和nkknzS1所构成的序列nS收敛，即有极限SSnnlim，则称级数1kkz收敛，而序列nS的极限S称为级数1kkz的和；如果级数nnSlim不存在（无穷或不定），则称1kkz发散。注：111ImRekkkkkkzizz，因此，一个复数级数完全等价于两个实数级数。若1Rekkz，1Imkkz都收敛，则1kkz收敛；若1Rekkz，1Imkkz至少有一个发散，则1kkz发散。1kkz收敛的充要条件（Cauchy收敛判据）：任给0，存在正整数N，使对于任意正整数1,p有pNNkkz1.特别是，令1p，则得到级数收敛的必要条件：0limkkz.绝对收敛：如果1kkz收敛，则称1kkz绝对收敛。绝对收敛的性质：绝对收敛的级数一定收敛（因为：pnnkkpnnkkzz11），反之不定。绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数仍绝对收敛。两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。例如，01nnaS，02llbS是绝对收敛的，则[注意最后一步的lkn及n的取值范围]12000000.knlnlnknnlnlknSSababab||(0)lb因为||na和||lb构成的实数级数收敛，所以||nknab构成的实数级数也收敛。由于1kkz是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之）比较判别法：若kkvu，而1kkv收敛，则1kku收敛；若kkvu，而1kkv发散，则1kku发散；比值判别法（D’Alembert判别法）：若1lim1luukkk，则1kku收敛；若1lim1luukkk，则1kku发散；若1lim1luukkk，1kku可能收敛，也可能发散；根值判别法（Cauchy判别法）：若1lim1kkku，则1kku收敛；若1lim1kkku，则1kku发散；若1lim1kkku，1kku可能收敛，也可能发散；Gauss判别法：如果（至少n充分大）2111nnuOunn，则当1时，1nnu收敛（相当于11nnuu）；而当1时，1nnu发散。3．复变函数级数（设)(zuk为域D中的连续函数，1,2,k）函数级数的收敛：如果对于D中的一点0z，级数10kkzu收敛，则称级数1kkzu在0z点收敛；反之10kkzu发散，则称1kkzu在0z点发散。如果级数1kkzu在D中的每一点都收敛，则称级数在D内收敛。其和函数)(zS是D内的单值函数。一致收敛：如果对于任意给定的0，存在一个与z无关的)(N，使当)(Nn时，对于任意正整数1,ppnnkkzu1)(对D中每一点z均成立，则称级数1kkzu在D内一致收敛。（X）一致收敛级数的性质：一致收敛的概念总是和一定区域联系在一起的，级数的一致收敛性质是它在一定区域内的性质。（*）若在区域D内满足kkazu)(，ka与z无关(1,2,),k且1kka收敛，则1kkzu绝对且一致收敛。（Weierstrass的M判别法）连续性：如果()1,2,kuzk（）在D内连续，级数1kkzu在D内一致收敛，则其和函数1)(kkzuzS也在D内连续。这个性质告诉我们，如果级数的每一项都是连续函数，则一致连续级数可以逐项求极限，或者说“求极限”与“求级数和”可以交换次序。即，11)(lim)(lim00kkzzkkzzzuzu.逐项求积分：设C是区域D内一条分段光滑曲线，如果()1,2,kuzk（）在C上连续，则对于C上一致收敛级数1kkzu可以逐项积分，11()d()d.kkCCkkuzzuzz逐项求导数（Weierstrass定理）：设()1,2,kuzk（）在D中单值解析，1kkzu在D中一致收敛，则此级数之和1)(kkzuzf是D内的解析函数，)(zf可逐项求导，求导后的级数在D中的任意闭区域中一致收敛。()()1()().mmkkfzuz[上面这些性质的证明见《数学物理方法》，北大吴崇试，高等教育出版社。]函数()fx在0x处连续即00lim()()xxfxfx可表述为：对任意给定的0，总存在0，当21xx时，使得21()()fxfx成立。一致连续：不依赖于x.例如：1()fxx，(0,1)x，21xxx，f.对任意小的正数，211211xfxxxx，12(,)xx，所以连续，但并非一致连续。因为当12,xx时，()f.若，则连续;若，则11f.康托尔(Couter)定理：在有界闭区域上有意义的连续函数在此闭区间上一致连续。二、幂级数(Powerseries)1．定义：以幂函数kbz为一般项的级数0)(kkkbzazf称为以b为中心的幂级数。反之，函数()fz在zb附近的Taylor级数展开，其系数为0,1,2,kak（）.2．幂级数的收敛性：Abel定理：如果级数0kkkbza在某点0z收敛，则该级数在圆域bzbz0内绝对收敛，而且在)(0bzrrbz内一致收敛。证明：因为0kkkbza在0z点收敛，故一定满足必要条件，0lim0kkkbza.因此存在正数M，使得，Mbzakk0),2,1,0(k，于是，kkkkkkbzbzMbzbzbzabza000.当0||1zbZzb，即bzbz0时，几何级数00kkbzbz收敛，故0kkkbza在圆bzbz0内绝对收敛。而当bzrbz0时，kkkkbzrMbza0，而常数项级数00kkkbzr收敛，故根据Weierstrass的M判别法，0kkkbza在圆)(0bzrrbz内一致收敛。推论一：如果级数0kkkbza在某点0z发散，则该级数在圆域bzbz0外处处发散。当1z时，011nnzz(1z外处处发散）;当1z时，100111111111nnnnzzzzzz(1z内处处发散）。推论二：对于幂级数0kkkbza，必存在一个实数0R，使得在圆Rbz内级数处处收敛，同时在圆Rbz外级数处处发散。*这个圆Rbz称为0kkkbza的收敛圆，而半径R称为收敛半径。**收敛半径的求法，虽然有紧接着下面的常规方法，但是见p.11的第二个菱形的非常规方法更有效。3．幂级数的收敛圆和收敛半径：在讨论幂级数的性质时，首先应当求出收敛圆及其收敛半径：（1）1limnnnaaR，这是因为，根据D’Alembert判别法，有1limlim111nnnnnnnnaabzbzabza时级数收敛。因此得1limnnnaaRbz.（2）nnnaR1lim，这是因为，根据Cauchy判别法