复旦数学物理方法讲义11积分变换法

Chapter11积分变换法一、无界空间的有源导热问题—Fourier变换法定解问题:20(,)(,)(,),().txxtuxtauxtfxtxux22000,(,),().0.txxtxxttwawxvavfxtxwxv(,)(,)(,).uxtwxtvxt1．一维无源导热问题20(,)(,)0,().txxtwxtawxtxwx解：把t看作参数，应用Fourier变换:1(,)(,)d;21(,)(,)d.2ikxikxwktwxtexwxtwktek(,)(,),wxtwkt22(,)(,)(,).xxwxtikwktkwkt220(,)(,)0,().ttwktakwktwk解得22(,)().aktwktke因为)()(~xk，taxtkaetae2222421(利用abaxeaxbxe422dcos），利用卷积定理，得222244111(,)()d()d222()(,;,0)d,xxatatwxteeatatGxt其中2241(,;,0).2xatGxteat容易验证，)0,;,(txG是问题)(0),(),(02xuxtxuatxutxxt的解。)0,;,(txG称为一维无源导热问题的基本解（或GreenFunction）。显然，只要找到了GreenFunction，则任意初始分布的解均可通过一个积分表示出来。物理意义：在方程为齐次的情况下，在0t时刻，在x处放置一个热量为Q的点热源，相当于给定初始温度分布().Qxc因此，)0,;,(txG就是在时刻0t，在x处放置了一个热量为c的点热源的情况下，在时刻t杆上的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。随着时间的增长，)0,;,(txG曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温度较低的两侧流动。但是，在任一时刻t，杆上的总热量保持不变。即2224(,)(,;,0).2xatccuxtGxtcdededcat另外，GreenFunction具有性质：(,;,0)(,;,0).GxtGtx在0t时，)0,;,(txG无意义，这反映了热传导的不可逆性。推广：taxetatxG22421),;,(是)(,0),(),(2xutxtxuatxutxxt的解。性质：(,;,)(,;,),GxtGtx)0,;,(),;,(xtxGtxG.2．一维有源零初始条件的导热问题20(,),0.txxtvavfxtxv解：把t看作参数，应用Fourier变换，220(,)(,)(,),0.ttvktakvktfktv此非齐次方程可用Laplace变换，或常数变异法求解。得220(,)(,).taktvktfked因为(,)(,),fkfxtaxtkaetae2222421(利用abaxeaxbxe422dcos）.利用卷积定理，有222241(,)(,)d2(,)(,;,0)d(,)(,;,)d.xaktatfkefeatfGxtfGxt0(,)(,)(,;,)dd,tvxtfGxt其中2241(,;,).2xatGxteat它也是问题0,)()(),(),(02txxtutxtxtxuatxu的解。因此，一维无界空间的有源导热问题)(),(),(),(02xuxtxftxuatxutxxt的解为0(,)(,)(,)()(,;,0)d(,)(,;,)dd.tuxtwxtvxtGxtfGxt),;,(txG称为一维无界空间导热问题的基本解（或GreenFunction）。二、三维无界空间的静电场问题静电势)(ru满足Poisson方程，即20()().xxyyzzruruuuzyx,,现在用三重Fourier变换:rerukukekururkirkid)(21)(~d)(~21)(33求解。其中321ˆˆˆiziyixr和112233ˆˆˆ.kkikiki()(),uruk221122222233()()()(),()()()(),()()()(),xxyyzzurikukkukurikukkukurikukkuk或22()().urkuk设0()()(),rfrfk21()().ukfkk332cos2222000cos00011111dsinddd2212sinsinddd2ikrikrikrekekkkkkrkekkrk021sin1d.2xxrxr由卷积定理得，3111()()()dd.242frurfrrrrrrr引入函数11(;),4Grrrr并利用0)()(rrf，有001()1()d()(;)d.4rurrrGrrrrr显然，rrrrG141);(是非齐次方程)()(2rfruzyx,,的最简单的特殊问题)()(2rrruzyx,,的解。我们称rrrrG141);(为方程)()(2rfruzyx,,的基本解（或GreenFunction）.rrrrG141);(的物理意义：在空间r点放置一个电量为0的点电荷，此电荷在r点产生的电势为(;).Grr显然，它具有源点r与场点r的交换对称性：);();(rrGrrG.三、三维无界空间的受迫振动问题Poisson公式和推迟势公式现在的定解问题是2200(,)(,)(,),,,(),().ttttturtaurtfrtxyzurur22220000(,)(,)0,(,)(,)(,),(),().0,0.ttttttttttwrtawrtvrtavrtfrtwrwrvv(,)(,)(,).urtwrtvrt1.自由振动问题2200(,)(,)0,(),().tttttwrtawrtwrwrzyx,,解：现在用三重Fourier变换：rerwkwkekwrwrkirkid)(21)(~d)(~21)(33求解。其中321ˆˆˆiziyixr和112233ˆˆˆ.kkikikiFourier变换后，方程变为2200(,)(,)0,(),().tttttwktakwktwkwk解之得，aktakkaktktkwsin)(~cos)(~),(~.下面求解它的原函数，利用332cos2000cos000()sin1sin1sindsinddd22112sinsinddsinsind221111sinsind22ikrikrikrirakakakakekekkkkkkakekakrkkreakrkkrr()()()d411()()()()22(),2irakirakirakeeexrararararrar其中，0)(ar，这是因为0,0ar，因此0.ra因此，sin().2aktratakar由卷积定理，sin1()()()d.4aktrkrratrakarr另外，sin1()cos,2aktratakttakatr由卷积定理，1()()cos()d.4rkaktrratratrr1()()(,)()d()d.4rrwrtrratrrratratrrrr注意到，只有当r满足条件atrr时，此式中的被积函数才可能不为零。这条件就是以r点为圆心，at为半径的球面，记之为ratS。于是，上式可写成简洁的形式：1()()(,)dd,4rratatSSrrwrtSSatatat其中，dS是球面ratS的面积元。上式称为Poisson公式。物理意义：Possion公式表明，时刻t，r点的波动情况是由初始条件)(r和)(r在球面ratS上的值决定的。既然此球面的半径是at，可见扰动是以速度a传播的。为了清楚地看出三维波动问题的特点，我们设初始扰动只局限于某一有限区域0V[即)(r和)(r仅在0V区域内取非零值]，并以d和D分别表示r点至0V的最小距离和最大距离，如图所示。当adt时，ratS与0V尚不相交，)(r和)(r在球面ratS上都取零值，所以0),(txw.从物理角度看，这是因为扰动的前波阵面尚未到达r点，此点仍处于静止状态。当aDt时，ratS与0V又不相交，同样有0),(txw。从物理角度看，这是因为扰动的后波阵面已经过去，r点又恢复静止状态。只有当aDtad时，ratS与0V相交，)(r和)(r在球面ratS上取非零值，Poisson公式中的积分只才可能不为零，扰动到达r点。由此可见，三维波动问题的解是一种“推迟势”解，且具有清晰的前阵面和后阵面，没有后效现象。同时振幅在传播过程中与距离的一次方成反比而减小（那么，能量流以与距离的平方成反比的方式减小，即能量守恒），这种现象也称为Huygens现象。2.受迫振动问题2200(,)(,)(,),0,0.tttttvrtavrtfrtvv解：Fourier变换后，方程变为2200(,)(,)(,),0,0.tttttvktakvktfktvv解之得（可以用Laplace变换法求解）0(,)(,)sind,tfkvktaktak利用ratrrrrraakaktkd)()(41sin)(~，得到，0201(,)(,)dd41(,)dd,4ttfrvrtrratrarrrrfrtrarra其中利用了()().xaxa（0a）注意到，式中的被积函数只有当0