复旦数学物理方法讲义01复数和复变函数

Chapter1复数和复变函数一、复数的基本概念(Basicconceptsofcomplexnumber)形如bai(Rba,，i1)的数称为复数。（两元素两算子与四元素四算子）1．复数（Complexnumber）的三种形式：1)isinicosieyxz，（,,RyxR,）代数式：iyxz;（缺点：无法表示多值函数的高相位）三角式：sinicosz;（极坐标系下的表示）指数式：iez，其中0!1nniine.sinicosie称为欧拉公式。2)一些术语（terminology）和符号(notation):xzRe,实部（Realpart）,yzIm，虚部（Imaginarypart）.22modyxzz，模（Modulus）,称为幅角（Argument），记作zArg.而将满足200或0的值称为幅角的主值或主幅角，记为zarg，因此有nzz2argArg2,1,0n.当取zarg时，有关系3)i*sinicosi)or(eyxzz，)or(*zz称为z的复共轭或共轭复数(Complexconjugateofz)，当然，z也是)or(*zz的复共轭。arctan00,02arg0,02arctan0,0arctanyxxxyzxyyxyxyx0,0xy注意：*复数无大小。但它们的模之间可以比较大小。**21zz的充要条件为2121ImIm,ReRezzzz(单值可以，多值时没有定义幅角);.,2121(可以)2．复数的几何表示：复平面（Complexplane）：通过直角坐标系或极坐标系将平面上的点yx,或,与复数yxi或ie做成一一对应，此时的平面称为复平面,其自由矢量为（讨论：z在哪里？）3．复数的运算规则：设1i1111111sinicosieyxz，2i2222222sinicosieyxz.1)加法：212121iyyxxzz满足交换律和结合律。减法：212121iyyxxzz.加减法的几何解释与向量加减法相似，三角形法则（自由矢量，可以平移）。2)乘法：（1iii2）——和多项式乘法一样.sinicosi21i212121211221212121eyxyxyyxxzz212121zzzz,乘积的模=模的乘积。121212Arg()ArgArgzzzz，乘积的幅角=幅角的和。特别地，2zzz.乘法的几何解释：在0x轴上取单位线段0I，作Pz20和10Iz相似，那么P点就表示乘积,21zz这是因为12||/1||/||.zzz12(||||||)zzz3)除法：假设01z,.sinicos112i12121212212112212121212121121212eyxyxyxiyxyyxxzzzzzzz121212zzzz，221211ArgArgArgzzzz.几何解释（z1）：先看(即设)sincos112izzzz，若1z，过z点作射线Oz的垂线，交单位圆周于T，过T作单位圆周的切线，这条切线与Oz的交点就是zz1，而它关于x轴的对称点为z1.设z点到z点的距离为，则图示三个直角三角形之间存在如下关系：222|Tz'|=()11,解得11||.z若1z，只需先作切线，再作垂线。若1z，zz.4)整数幂：innnneninzsincos,nininsincossincos----DeMoivre公式。4．（X）复数运算的一些基本性质：（两个重要不等式）1）2121zzzz，三角形两边之和大于第三边;2121zzzz，三角形两边之差小于第三边。证明：利用zyxxz22Re,12121212122221212121212122Re()22,()()()().zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz2）2121zzzz.3）2121zzzz.1212zzzz.5．复球面与无穷远点：考虑一个半径为R的球面S（2232221)(RRxxx），点(0,0,0)称为南极，与复平面21xOx的原点重合，点(0,0,2R)称为北极，记为N.对于C中的任一有限远点z，它与N连接的直线只与S交于一点.反之，球面S上任意一点（N点除外），它与N连接的直线也只与C交于一点z.所以，除N点外，球面S上的点和复平面C上的点都是一一对应的。对于N点，我们发现，当z时，N，因此在复平面C中引进一个理想点，作为与N对应的点，称为无穷远点，记为.z加上无穷远点的复平面称为扩充复平面，也叫闭复平面，记为.CC不包含无穷远点的复平面C称为有穷复平面，也叫（开）复平面。这样，C与S建立起来的一一对应，称为球极射影。S称为复球面。注意：*无穷远点只有一个，其模为，而幅角是不确定的。**同样对于0z点，其模为0，幅角是不确定的。***10zz：作1z变换，或复球面均是就z大而言，其中为N与点之间的距离。二、复变函数（Functionsofcomplexvariable）1.区域的概念（复习）：点集E：由复数点组成的集合。例如，1z，表示以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）的内部。411zz，表示以1为焦点，半长轴为2的椭圆。点0z的邻域：对于实数0，满足条件0zz的点的全体称为0z点的邻域，记为;0zV。点的邻域：满足条件Rz（R是正实常数）的所有点z的集合，即以点0z为圆心，R为半径的圆的外部，记为RV;。点集E的内点：设平面上给定一点集E，如果0z及其某邻域;0zV的点全部属于E，则称0z为点集E的内点。点集E的外点：设平面上给定一点集E，如果0z及其某邻域;0zV的点全部不属于E，则称0z为点集E的外点。点集E的边界点：设平面上给定一点集E，如果0z的任一邻域中都含有E和非E的点，则称0z为点集E的边界点。区域D：满足下面两条的点集称为区域。a）D为开集:D中的每一点都是内点区域全由内点组成；b)D是连通集:对于D中的任意两点，总可以用某一曲线段连接起来，而这条曲线上的所有点都属于该点集区域内点连通。闭区域D：由区域D及其全部边界点所组成的点集，闭域D通常记为D.单连通域：在连通域D中任作闭曲线，若该曲线内部的点全部属于D，则称D为单连通域。否则称D为复连通域！（请讨论之！）有界域D：若存在有限大的圆Rz，使得RVD;0，则称D为有界域，否则为无界域（有界域离散量子数无界域连续量子数）。2.复变函数：（1）复变函数定义：若对于复平面上区域D中的每一个复数z，按照一定规律，都有一个（或几个）复数值w与之相对应，则称w为z的复变函数(单值函数（或多值函数）)，区域D称为定义域。复变函数有两种表示形式：zfw,（iwiyxz,）,),(),(yxivyxuw,[(,)uv均为实变量(,)xy的二元实函数]。例如：（1）bzw平移变换（2）zewi旋转变换（3）rzw缩放变换（4）bazw设irea，三步：1/旋转；2/缩放r；3/平移b.（5）zRw2（广义）反演变换。如果||Rz,则zRw2就是z的复共轭；如果R与||z是相同的量纲（例如长度），则w亦具有相同的量纲。(2)复变函数的极限：设0z是函数)(zf的定义域内的一点，如果对0，都0，（隐含()，0()z和0()z）使得对于任意满足条件00zz的复数z，都有Azf)(，那么复数A（有限）称为函数zfw当z趋于0z时的极限，记为Azfzz)(lim0.如果复数A无限，则称函数)(zf在0z处发散（divergence）。设),(),()(yxivyxuzf，00ivuA，000iyxz，则00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuAzfyyxxyyxxzz.(3)复变函数的连续与一致连续：，0，当0zz，恒有)()(0zfzf，那么称函数zfw在点0z连续（在点0z邻域连续）[等价定义：设0z是函数)(zf的定义域内的一点，)()(lim00zfzfzz，那么称函数zfw在点0z连续]，如果函数zfw在区域D上的每一点都连续，则称函数zfw在区域D上是连续的。注：),(),()(yxivyxuzf在000iyxz处连续),(),(yxvyxu均在),(00yx处连续。，0，对任何0Dz，只要0zz，且Dz，恒有)()(0zfzf，那么称函数zfw在D上一致连续[等价定义：如果，0，只要21zz，12,Dzz，恒有)()(21zfzf，那么称函数zfw在D上一致连续]。注：*函数zf在区域D上一致连续，一定在D上连续。**连续定义中的不仅与有关，还与0z点有关。一致连续定义中的只与有关，与0z点无关。例如，zzf1)(在区域z0上连续，但不一致连续。例：求函数22)(iyxzf在iz20的极限，并判断在该点的连续性。解：因为，4lim),(lim02lim),(lim22,0,2,0,2,0,2,0,yyxvxyxuyxyxyxyx，因此，iizfyx440)(lim2,0,，又iiyxifzf42)2()(20所以，22)(iyxzf在iz20的极限存在，并连续。例：求函数zzzzizf21)(在00z的极限，并判断在该点的连续性。解：设iyxz，则),(),(242121)(2222yxivyxuyxxyyxixyizzzzizf，显然，0),(yxv在)0,0(点的极限存在并连续，然而，220,0,0,0,2lim),(limyxxyyxuyxyx不存在，事实上，令kxy，有2222002200220,0,1212lim)(2lim2limkkkkkxxkxxyxxykxyxkxyxyx，对于不同k值，极限不同，故知),(yxu在)0,0(点的极限不存在。所以，zzzzizf21)(在00z的极限不存在。（4）复变函数的导数：设0z是函数)(zf的定义域内的一点，当z在0z的邻域内沿一切方向、按任何方式趋于点0z时，即当00zzz时，若极限zzfzzfz000)(lim具有同一有限值，则称函数)(zf在点0z可导，称此极限值为)(zf在0z的导数，记为)(0zf或0d)(dzzzzf.注意:*与0z的方式无关;**求导'()fx最多有两个方向，而'()wz可有多个方向。***(,)/uxyx是偏导，()/dfxiydz是全导。（5）复变函数可导的必要条件—Cauchy-Riemann(C-R)条件：设),(),()(yxivyxuzf在000iyxz点可导，则),(yxu,),(yxv在00,yx处必定满足