复旦数学物理方法讲义12球坐标系下的分离变量法

Chapter12球坐标系下的分离变量法Legendre多项式和球谐函数Abstracts正交曲线坐标系及在此坐标系下Laplace算术的表示；球极坐标系下的变量分离法及由此得出的特殊函数（例如，Legendre函数、连带Legendre函数和球谐函数等）。函数空间概念(复习)3D：基矢：je1,2,3j；正交：ijijee；表示：112233xxexexe,这是3DEuclidspace，直观、简单、符合常识。(3+1)D：是加t，还是加4ite，如何去加？时空观的变革：相对运动，不但有了相对时空位置，还有了scaling（标尺）、不变性和时空弯曲等概念。nD：基矢是()jx1,2,3,,jn，带权x的正交归一性如下：*dijijxxxxD：Hilbertspace.基矢亦是函数，并且straightscalingcurvescaling.j：quantumnumbers.抽象、复杂、冲破常识！对于任意函数(),fx只要其定义域与()jx的相同，总有1,nnnfxcx其中**1mnmnmnxxxfxcxxxxcddisarepresentation!当()fx已知时，nc是上式；当()fx是()nx的线性组合时，nc是其系数。1．nD向量空间:有nD向量的集合.1)表述：n个独立的单位矢量12,,,,neee排成基向量，选je为正交归一基矢，即ijijee，则1njjjxxe和jjxxe（在je上的坐标值—表示）。2)内积：*1,.njjjxyxyxy3)模方：22*11,.nnjjjjjxxxxxx4)基矢的完备性：nD空间有1D矢量系je1,2,,jn，若不能在此空间找出一个简单向量f，使f与je正交，则称为完备系，1njjjxxe.2．函数空间（Hilbertspace）：在域,xab上分段连续、平方可积的函数x[*()()()dbaxxxx有限]的集合所排成的空间称为Hilbertspace.1)正交函数系：如①0,xl内的sinnxl和cos,nxl②,xll内的1,cos,sinnnxxll均为完备基。一般带权正交函数系的定义：设12,,,,nxxx,在,xab上有*2,bmnmnnmnaxxxxxxNd，则称nx是在,xab上的带权[0x]正交函数系。把2*2,bnnnnnnaxxxxxxxNd称为模之平方，若21nN（对于所有的n）称为jx为正交归一函数系nnxN(Asetoforthogonalcompletenormalizedfunctionbases).2)广义Fourier展开(expansion)：若nx是,xab上的正交完备系，则,xab上任意分段连续（平方可积）的函数fx均可表示为1,nnnfxcx其中**().()bnanbnnafxxxxcxxxxdd一、正交曲线坐标系1．从直角坐标系到正交曲线坐标系球坐标系),,(r关系:sincos,sinsin,cos.xryrzr柱坐标系),,(z关系:cos,sin,.xyzz一般曲线坐标系),,(321qqq关系:123123123(,,),(,,),(,,),xxqqqyyqqqzzqqq满足Jacobi行列式123123123123///(,,)///0().(,,)///xqxqxqxyzyqyqyqqqqzqzqzq变换条件如果三族坐标线是处处相互正交的，则称这种坐标系为正交曲线坐标系。如何判断一个坐标系是否为正交坐标系？可以通过计算弧元长度:2222212312321231232123123,1,2,3ddddddddddddddd,ijijijsxyzxxxqqqqqqyyyqqqqqqzzzqqqqqqgqq其中，jijijijiijqzqzqyqyqxqxgg.如果ijiiijgg，则称此坐标系为正交曲线坐标系。这是因为沿坐标轴iq的弧元长度为ddiiishq，而iiigh称为坐标曲线iq的度规因子；2222222112233(d)(d)(d)(d).shqhqhq如果2dd(d),ijijiiijgqqhq即各个坐标曲线的相互投影为零，则它们之间相互正交。例如，对于球坐标系，2222222222222ddddsincosdcoscosdsinsindsinsindcossindsincosdcosdsindddsind.sxyzrrrrrrrrrrr球坐标系是正交曲线坐标系，111ghr，rgh22，sin33rgh.对于柱坐标系，22222222222ddddcosdsindsindcosddddd.sxyzzz柱坐标系也是正交曲线坐标系，且111gh，22hg，133ghz.2．函数在正交曲线坐标系中的表达式在直角坐标系中，)()()()(zzyyxxrr.设r点对应于直角坐标系zyx,,的新坐标为321,,qqq，即),,(),,(),,(321321321qqqzzqqqyyqqqxx，并设),,(zyxf在点zyx,,附近为连续的任意函数，按函数的定义，有(,,)()()()ddd(,,).fxyzxxyyzzxyzfxyz左边的积分可以作变量代换，而右边的函数作上述变量代换，有123123123123123123123123(,,),(,,),(,,)()()()(,,)ddd(,,),(,,),(,,).(,,)fxqqqyqqqzqqqxxyyzzxyzqqqfxqqqyqqqzqqqqqq另一方面，由函数的定义，又有123123123112233123123123123(,,),(,,),(,,)()()()ddd(,,),(,,),(,,).fxqqqyqqqzqqqqqqqqqqqqfxqqqyqqqzqqq比较上面两式，由于f是任意函数，得到112233123(,,)()()()()()(),(,,)xyzxxyyzzqqqqqqqqq即在一般正交曲线坐标系中，函数的表达式为112233123()()()()()().(,,)(,,)qqqqqqxxyyzzxyzqqq在正交曲线坐标系中，由六个面333222111d,,d,,d,qqqqqqqqq所构成的体积元为123123123123(,,)ddddddd.(,,)xyzqqqhhhqqqqqq因此，321332211)()()()()()(hhhqqqqqqzzyyxx.球坐标系中，1rh，rh，sinrh,sin)()()()()()(2rrrzzyyxx.柱坐标系中，1h，h，1zh,)()()()()()(zzzzyyxx.平面极坐标系中，1h，h,)()()()(yyxx.由体积元123123ddddhhhqqq知道，球坐标系中体积元为2dsindd,rr权重函数分别为2(,sin,1).r柱坐标系中体积元为ddd,z权重函数分别为(,1,1).3．场量的梯度(grade:u)，散度(divergence:A)，旋度(rotation:A)和Laplace算符2等在正交曲线坐标系中的表达式（1）标量321,,qqqu的梯度u是一个矢量，在直角坐标系中的表达式是kzujyuixuuˆˆˆ，其中kjiˆ,ˆ,ˆ分别是3D实空间中三个坐标轴的单位矢量。在一般正交曲线坐标系中，u的三个分量定义为沿三条坐标轴的变化率isu，如以ieˆ3,2,1i分别表示点),,(321qqq沿三条坐标线的单位矢量，就有3131ˆ1ˆiiiiiiiequhesuu.(Note:dd)iiishq（2）矢量332211321ˆˆˆ),,(eAeAeAqqqA的散度A是一个标量，定义为：以S记体积元的边界面，Sd表示大小为Sd，方向为面积元外法线方向的矢量，则SdSA是A通过边界面S的通量，而123(,,)aqqq点的散度是d/dSAAS.通过坐标面1q的通量是133221ddqqhqhA，通过坐标面11dqq的通量是11d33221ddqqqhqhA；通过坐标面2q的通量是233112ddqqhqhA，通过坐标面22dqq的通量是22d33112ddqqqhqhA；通过坐标面3q的通量是322113ddqqhqhA，通过坐标面33dqq的通量是33d22113ddqqqhqhA.因此，1231231232313121231231.qqqAAAAAhhAhhAhhhhhqqq（3）矢量332211321ˆˆˆ),,(eAeAeAqqqA的旋度A是一个矢量，它在1ˆe方向的分量1A定义为：以l记坐标面1q上的面积元33221dddqhqhS的边界线，其走向是关于1ˆe成右手螺旋的，则11d/d.lAAlS因为，322332()()()()222333222333dd33222323ddddddd,cddaabbcqqqqqqlAlAhqAhqAhqAhqAhAhqqqq所以，2233323211hAqhAqhhA.2A，3A可以类似（指标轮换）地定义并推导出。最后有，33221113322323313122113121211ˆˆ1ˆ.AAhAheAhAhehhqqhhqqAhAhehhqq（4）Laplace算符2利用1232313121231231AAhhAhhAhhhhhqqq和3131ˆ1ˆiiiiiiiequhesuu，得到