复旦数学物理方法课件03解析函数的级数表示

3解析函数的级数表示高阶导数的Cauchy公式Cf(ξ)ξ(ξ-z)n+1=2πn!f(n)(z)可用于计算一些定积分，其中f(z)必须在闭合回路围成的区域内解析。把被积函数的不解析部分归结到1(ξ-z)n+1中。但是一般函数的积分如何计算？或者说能否将非解析部分归结为1(ξ-z)n+1。另一方面，我们已求得：Cz(z-a)n=2πδn,1如何利用这一性质？若能将f(z)写成以下的级数形式，似乎即可求出积分f(z)？？？？ncn(z-a)n因此，本章涉及的问题：函数的级数表示：函数写成无穷项幂函数之和求积分和无穷项的求和次序对调函数的奇异性（非解析特性）用1(ξ-z)n+1形式来描述3.1复变函数项级数为讨论函数的幂函数级数表示，先讨论一般函数项级数。复变函数级数的敛散性◼复变函数级数：无穷级数，每一项都是一个复变函数k=0∞wk(z)=w0(z)+w1(z)+w2(z)+...◼收敛：部分和：Sn(z)=k=0nwk(z)有限项求和一定收敛（其实也不必引入收敛的概念）如果极限limn∞Sn(z)=S(z)对某一点z存在，则称复变函数级数在z点收敛。S(z)称为级数在z点的和。因为wk(z)=uk(x,y)+vk(x,y)，故复变函数级数可视为两个二元实变函数级数，复函数级数收敛两二元实函数级数收敛。kwk(z)收敛kuk(x,y)和kvk(x,y)都收敛◼收敛的必要条件：limk∞wk(z)=0(1.1)证明：limk∞wk(z)=limk∞[Sk(z)-Sk-1(z)]=limk∞Sk(z)-limk∞Sk-1(z)=S(z)-S(z)=0◼收敛的充要条件——Cauchy判据∀ε0，∃N(ε,z)，使得当nN(ε,z)时，对任意自然数p，均有Sn+p(z)-Sn(z)=k=1pwn+k(z)εw1w2w3...wk-1wk...wNwN+1...wn+1...wn+p收敛的必要条件(1.1)式：limk∞wk(z)=0对应于p=1。绝对收敛定义：k=0∞wk(z)在z点收敛，则称级数k=0∞wk(z)在z点绝对收敛。若级数本身收敛，各项加绝对值之后的级数不收敛，则称条件收敛。◼若级数绝对收敛，则该级数一定收敛，反之不然。◼收敛的判别法（与实变函数相同，因为加绝对值之后就变为实函数了）比值法：limn∞wn+1(z)wn(z)=qq1,绝对收敛q1,发散q=1，不确定limn∞wn+1(z)wn(z)1绝对收敛limn∞wn+1(z)wn(z)1发散根式法limn∞wn(z)n=qq1,收敛q1,发散q=1，不确定limn∞wn(z)n=qq1,收敛q1,发散q=1不确定高斯法，当比值法遭遇q=1时常用，当n足够大时2z03a.nbwnwn+1=1+μn+o1nλ,λ1Reμ1收敛Reμ≤1发散注意区别：高斯法中看wnwn+1比值法中看wn+1(z)wn(z)比较法nvn收敛且un≤vn,则nun收敛nvn发散且un≥vn,则nun发散◼绝对收敛的性质各项次序可任意调换，级数仍绝对收敛且级数和不变▲非绝对收敛级数的求和不一定能任意改变次序I=1-12+13-14+15-16+...非绝对收敛，以下推导错误，因为只有绝对收敛才可以改变求和顺序（加法交换律？）I=1+12-2×12+13+14-2×14+15+16-2×16+....=1+12+13+14+...-2×12+14+16+....=1+12+13+14+...-1+12+13+14+....=0实际上I=ln2Sum(-1)n-1n,{n,1,∞}Log[2]可逐项相乘，下式右边仍为绝对收敛级数（乘法分配率与交换律？）kuklvl=klukvl☺例题，类似于实函数级数试证：当z1,k=0∞zk=11-z证明：利用比值法limk∞zkzk-1=z1时，级数绝对收敛Sn(z)=1+z+...+zn,zSn(z)=z+z2+...+zn+1二者相减：(1-z)Sn(z)=1-zn+1（这里用到加法交换律，对绝对收敛级数是可行的。）两边取极限：limn∞(1-z)Sn(z)=limn∞1-zn+1=1(1-z)limn∞Sn(z)=1-limn∞zn+1=1,S(z)=11-zz03a.nb3一致收敛一致：显然应是对某区域或某条曲线而言，不是对一点而言。不同于前述的收敛与绝对收敛。一致收敛概念在积分中有重要应用。定义：级数k=0∞wk(z)的每一项在区域D或曲线L上有定义∀ε0,存在与z无关的N(ε)，使得当nN(ε)时，对任意z∈D或z∈L，均有S(z)-Sn(z)ε,其中：Sn(z)=k=0nwk(z)则称级数在区域D或曲线L上一致收敛于S(z)。◼一致收敛的充要条件（Cauchy判据）：与收敛比较，仅在于N与z无关∀ε0，∃N(ε)，使得当nN(ε)时，对任意z∈D或z∈L，对任意自然数p，均有Sn+p(z)-Sn(z)=k=1pwn+k(z)εw1w2w3...wk-1wk...wNwN+1...wn+1...wn+p注意区别绝对收敛和一致收敛，前者可以对点z定义，后者仅对区域或曲线而定义；一致收敛与收敛的区别：找到一个对z∈D或z∈L与z无关的（最大的）N。比较一致收敛与非一致收敛的充要条件：▲一致收敛的充要条件：∀（任意）ε0，∃（一个）N(ε)，使得当nN(ε)时（对任意的nN），对任意z∈D或z∈L，对任意自然数p，均有Sn+p(z)-Sn(z)=k=1pwn+k(z)ε▲收敛但不是一致收敛的充要条件：存在一个ε00，对任意正整数N，都存在一个n0N及某点z0∈D或z0∈L，使得对某个自然数p0，有k=1p0wn+k(z)≥ε0☺例题：绝对收敛但不是一致收敛例级数kzk-1-zk在区域z1解：由比值判别法wk+1(z)wk(z)=z1，⟹绝对收敛试试看能不能证明一致收敛。用ε-N判别：∀ε0,需要导出存在N，使得对任意nN，k=1pwn+k(z)ε成立也就是导出使k=1pwn+k(z)ε成立的充分条件nN，且N与z无关。4z03a.nbk=1pwn+k(z)εzn1-zpε，在区域z1有1-zp2⟸2znε⟸nlnε/2lnz=N(ε,z)找到N，因此级数是收敛的。但，是否一致收敛？需要找一个与z无关的N，或者说对z1，找一个N的最大值。由N(ε,z)=lnε/2lnz,对z1区域，似乎找不到最大的N(ε)，应该不是一致收敛。是否一定找不到最大的N(ε)，当然需要证明。证法一：利用收敛但不是一致收敛的充要条件证明该级数非一致收敛。对ε0=0.1，对任意整数N，都存在某个n0N,某个自然数p0和某个点z01，使得k=1p0wn+k(z)≥ε0。取p0=1，z0=-1+δwithδ=10-M0，这时对n0=N+1k=1p0wn+k(z)=zN+1-zN+2=(1-δ)N+12-δ1-δN+1对任意给定的正整数N，只要M足够大，δ就足够小，就可以使1-10-MN+1~1-(N+1)10-Mε0=0.1故在z1，原级数不是一致收敛。这里的关键在于如果N与z无关，z改变（δ变、M变）时N不能随之改变。证法二：利用反证法证明该级数非一致收敛。设该级数一致收敛，那么对任意ε，均可找到一个与z无关的N(ε)，使得当nN时，对任意自然数p与满足z1的z，均有：k=1pwn+k(z)ε。(1.2)下用反证法证明，对p=1就不满足。对n=N+1,p=1，取z0=-1+10-M。显然对任意正整数M，z0均满足z01。p=1时，(1.2)式退化为：k=1pwn+k(z0)p=1=z0N+1-z0N+2=1-10-MN+12-10-M1-10-MN+1因为N与z无关，M变化时，N不变，因此对那个找到的与z无关的N(ε)，我们可以取足够大的M，使得k=1pwn+k(z)p=11-10-MN+1ε，这就与(1.2)式相矛盾。故找不到与z无关的N。该级数不可能是一致收敛的。理解（注意，这里的理解并非数学证明）：前面已求得N(ε,z)=lnε/2lnz与z有关，接着应该在区域z1内找到一个最大的N。显然，在区域z1内，lnε/2lnz无最大值（因为z可以无限接近于1）。若在z12区域，N(ε,z)=lnε/2lnz在此区域可取最大值,对应于z=12⟹lnε/2ln1/2=N(ε)与z无关。☺例题：一致收敛但不是绝对收敛例：z03a.nb5级数k=1∞(-1)kzkk在曲线L：0≤x≤1y=0上比值法：limn∞wn+1wn=z⟹在z1区域绝对收敛。在z=1点，wn=1n,发散，或应用高斯法wnwn+1=1+1n=1+μn+o1nλ,λ1,Reμ=1发散原级数在L上并非绝对收敛级数。下证明它在L上一致收敛∀ε0,要找一个与z无关的N(ε)，使得当nN时，对任意自然数p，I=k=1pwn+k(z)ε。现必须从Iε出发导出nN(ε)。在L上I=zn+1n+1-zn+2n+2+zn+3n+3-zn+4n+4+...=zn+1n+11-(n+1)(n+2)z+(n+1)(n+3)z2-(n+1)(n+4)z3+...中括号内，当z在L上时，第一项大于第二项，第三项大于第四项...，因此，若总项数p为偶数，必大于0，即任意偶数项之和大于0（对z在L上）若总项数p为奇数，因偶数项之和0，最后一项也0，总和仍0故：中括号内各项之和大于0。又：对z在L上，每一项的绝对值都比后一项大，故：前(2m-1)项之和1，前2m项之和小于前(2m-1)项之和，因此，中括号内各项之和大于0小于1，故Izn+1n+11n+1Iε⟸1n+1ε⟸nln1ε-1,取N=ln1ε即可，N与z无关（只要z在曲线L：0≤x≤1y=0上）实际上k=1∞(-1)kzkk=-ln(1+z),对z≤1且z≠-1该复数级数在z≤1-δ闭区域一致收敛（δ0，δ很小）Sum(-1)kzkk,{k,1,∞}-Log[1+z]借助Mathematica，判断在闭区域z≤1-δ，这个级数一致收敛对z≤1-δ（小量δ0），Cauchy一致收敛判据中的任意连续的p项和要满足Sn+p(z)-Sn(z)=k=1pwn+k(z)ε可用Mathematica计算Tp(z,n)=(n+1)[Sn+p(z)-Sn(z)],并验证对任意自然数p，Tp(z,n)M（有界）6z03a.nb从而Sn+p(z)-Sn(z)=Tp(z,n)(n+1)Mn+1ε⟹N=Mε下图为Tp(z,n)在z=127°,n=100,p从1到50的值，箭号表示从Tp到Tp+1，红色点为T1-1.0-0.50.51.0-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2当然，以上并非证明，但给我们一个图像：Cauchy判据乘以(n+1)在“兜圈”，这种“兜圈”形式的级数之敛散性的证明将在下节讨论。◼内闭一致收敛：在开区域D内的任意闭区域（不包含D的边界）一致收敛，称在开区域D上内闭一致收敛。闭区域解析：从闭区域扩展到开区域。即：能找到一个包含闭区域的开区域，在这个开区域内，函数解析。内闭一致收敛：从开区域塌缩到闭区域。在开区域内的任何一个闭区域上一致收敛。在开区域D内一致收敛则一定在D内闭一致收敛（存在N的最大值），反之不然。例：级数kzk在z1区域绝对收敛、内闭一致收敛，但在开区域z1不是一致收敛。◼一致收敛实用判别法：若常数项（每一项均为常数）级数kmk每一项均大于0且级数收敛，并