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当前位置:首页 > 高等教育 > 理学 > 复旦数学物理方法课件08傅里叶变换和色散关系
8傅里叶变换和色散关系在所有科技类文献中,出现频率最高的术语,就是傅里叶变换,FourierTransform。8.1Fourier变换Fourier级数在实变函数中,学过下列定理定理:任意周期为2π的函数f(x),如果在每个周期中满足为Dirichlet条件,即:(a)连续或只有有限个第一类间断点(左右极限存在但不相等,称之)(b)只有有限个极大或极小值则:f(x)可展开为以下绝对且一致收敛的级数f(x)=a02+n=1∞(ancosnx+bnsinnx),an=1π-ππf(x)cosnxx,bn=1π-ππf(x)sinnxx,级数在函数的连续点收敛于函数值,在第一类间断点x0收敛于左右极限之平均:12f(x0-)+f(x0+)若周期为2l:f(x+2l)=f(x),可作变量代换:t=πlx⟹f(x)=flπt=g(t)⟹g(t+2π)=g(t)得到周期为2π的函数g(t),从而g(t)=a02+n=1∞(ancosnt+bnsinnt),an=1π-ππg(t)cosntt,bn=1π-ππg(t)sinnttf(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx,an=1l-llf(x)cosnπxlx,bn=1l-llf(x)sinnπxlx上式即为任意满足Dirichlet条件且周期为2l的函数之Fourier级数。若函数仅在[-l,l]区间有定义,则可做周期延拓:f(x)=f(x±2l)=⋯,从而:定义在[-l,l]区间的满足Dirichlet条件的函数f(x),可展开为f(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx,在间断点收敛于左右极限之平均(1.1)☺试将如下函数展为Fourier级数f(x)=tfor0≤t≤πt-2πforπ≤t≤2π解:an=1π-ππf(x)cosnxx=0,bn=1π-ππf(x)sinnxx=(-1)n-12nClear[Gloabal`*]f[x_]:=If[x≤π,x,x-2π];b[n_]:=(-1)n-12n;g[x_,ns_]:=Sum[b[n]Sin[nx],{n,1,ns}];Plot[{g[x,5],g[x,25],g[x,50],f[x]},{x,0,2π},PlotStyle{Red,Magenta,Blue,Black},PlotLegendsPlaced[LineLegend[{Style[n=5,Italic,10],Style[n=25,Italic,10],Style[n=50,Italic,10]},LegendMarkerSize{30,1}],{Scaled[{.6,0.6}],{0,0.25}}]]n=5n=25n=50123456-4-224Fourier积分利用Euler公式:cosx=12x+-x,sinx=12x--x,周期为2l的函数之Fourier级数可写成更为简洁的复数形式f(x)=a02+n=1∞ancosnπlx+bnsinnπlx=a02+n=1∞12(an-bn)nπx/l+12(an+bn)-nπx/l=n=-∞∞cnnπx/l其中cn的表达式有统一的形式:c0=a02=12l-llf(x)x=12l-llf(x)-k0xxcn=an-bn2=12l-llf(x)(cosknx-sinknx)x=12l-llf(x)-knxx,n0cn=a-n+b-n2=12l-llf(x)(cosknx-sinknx)x=12l-llf(x)-knxx,n0故,对周期为2l的函数f(x),有复数形式的Fourier级数:f(x)=n=-∞∞cnknx,kn=nπl,cn=12l-llf(x)-knxx如何推广至非周期情况?视为周期2l且定义于[-l,l]区间的函数,再让l∞在什么条件下才能有相应的展开形式?展开形式应如何变化?2z08aFourier变换.nb还是从复数形式的Fourier级数出发f(x)=n=-∞∞cnknx,kn=nπl,l∞时,kn0?非也!因为n从-∞到+∞求和。f(x)=n=-∞∞cnknxΔkn1Δkn,Δkn=kn+1-kn=πl=Δk与n无关,且l∞时,Δkn=Δk0=1Δkn=-∞∞cnknxΔkn,因为Δk0,求和变为积分=1Δk-∞∞ckkxk,其中ck=cn=12l-llf(x)-knxx=12l-llf(x)-kxx=-∞∞12lΔk-llf(x)-kxxkxk,注意Δk=Δkn=πl,2lΔk=2π在l∞时,进一步改写成f(x)=-∞∞12π-∞∞f(ξ)-kξξkxk=12π-∞∞f(k)kxk称为Fourier积分f(k)=-∞∞f(ξ)-kξξ那么上述一系列貌似正确的推导,在什么条件下成立?充分条件:(a)函数f(x)在任意有限区间内满足Dirichlet条件;(b)-∞∞f(ξ)ξ有界,或称为f(x)绝对可积。实际上,条件(b)还可弱化为平方可积,即:∫-∞∞f(ξ)2ξ∞,相应的,这时的收敛退化为平均值收敛,即:limA+∞-∞∞f(t)-12π-AAf(k)kxk2t0◼容易推广至三维f(x,y,z)=-∞∞-∞∞-∞∞1(2π)3-∞∞-∞∞-∞∞f(x,y,z)-(kxx+kyy+kzz)xyz(kxx+kzy+kzz)kxkykz◼写成三角函数形式f(x)=12π-∞∞-∞∞f(ξ)-kξξkxk=12π-∞∞-∞∞f(ξ)k(x-ξ)ξk=12π-∞∞ξf(ξ)-∞∞cosk(x-ξ)偶函数+sink(x-ξ)奇函数,积分为0k=1π-∞∞ξf(ξ)0∞cosk(x-ξ)k=1π0∞k-∞∞f(ξ)cosk(x-ξ)ξ=0∞1π-∞∞f(ξ)coskξξcoskxk+0∞1π-∞∞f(ξ)sinkξξsinkxk=0∞[A(k)coskx+B(k)sinkx]kA(k)=1π-∞∞f(ξ)coskξξ,B(k)=1π-∞∞f(ξ)sinkξξ▲写成三角函数形式有何好处?当f(x)为偶函数时:f(x)=0∞A(k)coskxk,A(k)=2π0∞f(ξ)coskξξ当f(x)为奇函数时:f(x)=0∞B(k)sinkxx,B(k)=2π0∞f(ξ)sinkξξz08aFourier变换.nb3Fourier变换Fourier积分f(x)=-∞∞12π-∞∞f(ξ)-kξξkxk改写为f(x)=12π-∞∞f(k)kxk称为f(k)的反Fourier变换f(k)=-∞∞f(ξ)-kξξ称为函数f(x)的Fourier变换记为:f(k)=ℱ[f(x)],也称像函数;f(x)=ℱ-1f(k),也称原函数量子力学中,粒子状态用波函数描述。以粒子动量为自变量的波函数,是以粒子坐标为自变量的波函数之Fourier变换。若f(x)是奇函数或偶函数,常写成三角函数形式,进行正弦变换和余弦变换。由三角函数形式的变换f(x)=0∞[A(k)coskx+B(k)sinkx]k,A(k)=1π-∞∞f(ξ)coskξξ,B(k)=1π-∞∞f(ξ)sinkξξ即:f(x)=1π0∞-∞∞f(ξ)coskξξcoskxk+1π0∞-∞∞f(ξ)sinkξξsinkxk(1.2)若f(x)为奇函数,上式第一项为0ℱS[f(x)]=12-∞∞f(ξ)sinkξξ=0∞f(ξ)sinkξξ=fS(k)正弦变换ℱS-1fS(k)=2π0∞fS(k)sinkxk=f(x)若f(x)为偶函数,(1.2)式第二项为0ℱC[f(x)]=12-∞∞f(ξ)coskξξ=0∞f(ξ)coskξξ=fC(k)余弦变换ℱC-1fC(k)=2π0∞fC(k)coskxk=f(x)◼三维空间的Fourier变换ℱ[f(x,y,z)]=f(kx,ky,kz)=-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(x,y,z)-(kxx+kyy+kzz)xyzℱ-1f(kx,ky,kz)=f(x,y,z)=1(2π)3-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(kx,ky,kz)(kxx+kyy+kzz)kxkykz◼四维时空的Fourier变换ℱ[f(x,y,z,t)]=f(kx,ky,kz,ω)=-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(x,y,z,t)-(kxx+kyy+kzz)+ωtxyztℱ-1f(kx,ky,kz,ω)=f(x,y,z,t)=1(2π)4-∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞f(kx,ky,kz,ω)(kxx+kyy+kzz)-ωtkxkykzω◼Fourier变换的物理意义若f(x)=δ(x),则:4z08aFourier变换.nbf(k)=ℱ[f(x)]=-∞∞f(ξ)-kξξ=-∞∞δ(ξ)-kξξ=1f(x)=ℱ-1f(k)=12π-∞∞1·kxx=f(x)=δ(x)⟹δ(x)=12π-∞∞kxx物理上,若将x视为时间,k视为圆频率,则δ(x)可视为时域的一个尖脉冲,对应地,在频域中,f(k)=1,表明它包含了所有的各种频率分量,且各频率分量振幅和相位相等。反之,若在频域中仅仅包含一个频率分量,对应于像函数为delta函数:δ(k-k0),在时域上看,有f(x)=12π-∞∞δ(k-k0)kxk=12πk0x的确,在时域上看,是单一频率k0的时谐振荡。因此,若将x视为时间:Fourier变换其实是将一个随时间任意变化的函数f(x),分解为各种频率分量f(k)的叠加。像函数f(k)给出不同频率分量的振幅及相位。这一点,将在下一节“色散关系”中展现得更为清楚。若将x视为空间坐标,k视为波矢量,则单一个波矢量的波:φ=ekz充满整个空间,反过来,若一个波在局域在空间某有限区域,则它必定由波矢量不同的波叠加而成。求像函数、原函数例题通过例题介绍涉及Fourier变换的一些计算技巧,有些技巧貌似不严谨,但在物理中常用,其数学基础是广义函数论。☺例题:f(x)=-x,求f(k)解:f(k)=-∞∞f(x)-kxx=-∞∞-x-kxx=11-k+11+k=21+k2☺例题:f(x)=δ(x),求f(k)。看起来更为严格的证明。解:f(k)=-∞∞f(x)-kxx=-∞∞δ(x)-kxx=1反变换:ℱ-1f(k)=12π-∞∞f(k)kxk=12π-∞∞kxk=δ(x),怎么看起来有点怪?这里涉及:Cauchy主值积分(是积分主值,不是积分的一般值,后者其实是不收敛的)I(x)=12π-∞∞kxk积分主值limn∞12π-nnkxk=limn∞sinnxπx看sinnxπx,不同n值的图形如下。n=10-0.4-0.20.20.4-22468sin(nx)πxn=200-0.4-0.20.20.4-2020406080sin(nx)πxn=2000-0.10-0.050.050.10200400600sin(nx)πx随n增大,I(x)的峰越来越高、越来越窄,似乎暗示着I(x)=limn∞sinnxπxδ(x)?然也。证据?考虑函数序列:In(x)=sinnxπx,要“证明”limn∞In(x)δ(x),需验证以下两点:(a)随n增大,In(x)在x=0的峰可任意高,任意窄(b)对In(x)的积分,在n
本文标题:复旦数学物理方法课件08傅里叶变换和色散关系
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