复旦数学物理方法课件14柱函数

14柱函数柱坐标系(ρ,ϕ,z)中Helmholtz方程经分离变量为∇2w(ρ,ϕ,z)+λw(ρ,ϕ,z)=0w(ρ,ϕ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)Z″+μZ=0Φ″+γΦ=0ρ2R″+ρR′+(λ-μ)ρ2-γR=0包含了γ,μ与λ三个分离变量常数，其中λ为时空分离引进的分离变量常数。类似于球坐标系，Φ满足的方程最为简单，利用Φ的周期条件可确定本征值γ及相应的本征函数。Φ″+γΦ=0Φ(ϕ+2π)=Φ(ϕ)⟶γ=m2Φm(ϕ)=Am′cosmϕ+Bm′sinmϕ或Φm(ϕ)=Ammϕ+Bm-mϕ,m=0,1,2,…接下来，是利用Z满足的微分方程及边界条件确定本征值μ，还是利用R满足的微分方程及边界条件确定本征值λ-μ？视问题的条件而定。关于Z的微分方程容易求解，为此，要讨论R满足的微分方程应有何种形式的解。14.1Bessel方程的解当λ-μ0时，令：λ-μ=k2，则R满足的微分方程为ρ2R″+ρR′+k2ρ2-m2R=0做变换：x=kρ,y(x)=R(ρ)，则R满足的微分方程化为：x2y″+xy′+x2-v2y=0Bessel方程(1.1)这里为更一般地讨论问题，将m2写成v2，v不再限制于正整数。Bessel函数及其生成函数1.基于Bessel微分方程（参见§6.4节）由Bessel方程：x2y″+xy′+x2-v2y=0可知，x=0是正则奇点。在微分方程的正则奇点邻域，根据FrobeniusandFuchs定理，方程有一个以下形式的解y(x)=xsk=0∞ckxk,c0≠0,s称为指标。在§6.4已讨论，对于一般的Bessel方程，可求得两个指标分别为：s=±v。Bessel方程的两个解称为Bessel函数，表为：y1(x)=k=0∞(-1)kk!Γ(k+v+1)x22k+v≡Jv(x),y2(x)=k=0∞(-1)kk!Γ(k-v+1)x22k-v≡J-v(x)但J-v(x)与Jv(x)仅在v不为整数时才线性独立。当v=m为整数时，J-m(x)=(-1)mJm(x)，二者线性相关，为此，构造了另一个解：y2(x)=(cosvπ)Jv(x)-J-v(x)sinvπ≡Nv(x)称为Neumann函数或第二类Bessel函数这样，无论v是否整数，Jv(x)都与Nv(x)线性无关。我们就得到Bessel方程的两个线性独立解。Jv(x)=k=0∞(-1)kk!Γ(k+v+1)x22k+v,一般阶数Bessel函数的级数表示Nv(x)=(cosvπ)Jv(x)-J-v(x)sinvπ,有的文献写成Yv(x)Nn(x)=2πJn(x)lnx2-1πk=0n-1(n-k-1)!k!x22k-n-1πk=0∞(-1)kk!(k+n)![ψ(k+n+1)+ψ(k+1)]x22k+n注意Jv(x)的级数是全平面内闭一致收敛的，并且在x0时，Jv(x)有界，而Nv(x)无界。对非整数阶，第二类Bessel函数（Neumann函数）的级数形式复杂得多，式中digamma函数ψ(z)=Γ′(z)Γ(z)。以上就是我们在§6.4得到的一些结论。这些结论源自于Bessel微分方程的级数解——thankstoFrobeniusandFuchs.2.基于生成函数（参见§3.4节）另一方面，由解析函数的Laurent展开（参见§3.4的例题），可知expx2t-t-1=n=-∞∞Jn(x)tn此式在除原点之外的整个复平面t之内：内闭一致收敛其中：Jn(x)≡m=0∞(-1)mm!(n+m)!x2n+2m=m=0∞(-1)mm!Γ(n+m+1)x2n+2m为整数阶Bessel函数因此，函数w(z,t)=expz2t-t-1称为Bessel函数的生成函数。比较级数表示，可知由生成函数定义的Bessel函数和由Bessel微分方程得出的Bessel函数两者一致。回顾在Legendre函数：我们从生成函数定义得到了在x=±1处有界的Legendre函数，再导出递推关系，进而，由递推关系导出由生成函数定义的Legendre函数满足Legendre方程，从而完成两个定义一致性的证明。当然，也可对生成函数应用二项式展开，得到Legendre函数的级数表示，再比较两种级数表示证明一致性。对Bessel函数：我们这里直接比较：生成函数定义的Bessel函数与微分方程定义的Bessel函数的级数形式，证明了一致性。当然，也可以从递推关系，得到由生成函数定义的Bessel函数应满足的微分方程，进而证明一致性。基于Bessel函数的生成函数，还可以得到平面波展开公式。令生成函数中的t=θ，则有expu2θ+-θ=exp[ucosθ]=n=-∞∞Jn(u)θtn=n=-∞∞nJn(u)nθ再令u=kρ,ρ=x2+y2，则有2z14a.nbexp[kρcosθ]=n=-∞∞nJn(kρ)nθ——Jacobi-Anger公式Jacobi-Anger公式将平面波表示为一些列柱面波的叠加。这个公式多用于分析圆柱体的波散射问题。文件z14-01包含Mathematica代码，显示平面波、柱面波以及平面波表示为柱面波的动画及图形。3.几个低阶Bessel函数与Neumman函数图注意整数阶Bessel函数无法表为初等函数形式。BesselJ[1,x]BesselY[2,x]BesselJ[1,x]BesselY[2,x]Clear[Global`*]g1=Plot[{BesselJ[0,x],BesselJ[1,x],BesselJ[2,x]},{x,0,10},PlotRange{-1/2,1},PlotStyle{{Red},{Magenta,Dashed},{Blue,DotDashed}},PlotLabelBesselJ[n,x],PlotLegendsLineLegend[Expressions,LegendMarkerSize{30,15}]];g2=Plot[{BesselY[0,x],BesselY[1,x],BesselY[2,x]},{x,0,10},PlotRange{-5,1},PlotStyle{{Red},{Magenta,Dashed},{Blue,DotDashed}},PlotLabelBesselY[n,x],PlotLegendsLineLegend[Expressions,LegendMarkerSize{30,15}]];Grid[{{g1,Spacer[50],g2}}]246810-0.4-0.20.20.40.60.81.0Jn(x)J0(x)J1(x)J2(x)246810-5-4-3-2-11Yn(x)Y0(x)Y1(x)Y2(x)4.例题☺例1.计算积分：I=∫0∞-axJ0(bx)x,ab0解：利用Bessel函数的级数表示：J0(x)=k=0∞(-1)kk!Γ(k+1)x22kI=0∞-axk=0∞(-1)kk!Γ(k+1)bx22kx,因为幂级数内闭一致收敛，积分求和可交换次序=k=0∞(-1)kk!k!b22k0∞-axx2kx,利用Ak=0∞-axxkx=kaAk-1=k!akA0=k!ak+1z14a.nb3=k=0∞(-1)kk!k!b2k22k(2k)!a2k+1,利用：-12k=(-1)k(2k)!22kk!k!（证明见下注）=1ak=0∞-12kba2k,利用：(1+t)r=k=0∞rktkfort1=1a1+ba2-1/2=1a2+b2注：(1)二项式系数-rk=(-r)(-r-1)(-r-2)⋯[-r-(k-1)]从-r开始，连续k个间隔为1的数相乘k!注意这里r不必为正整数=(-1)k(r+k-1)(r+k-2)⋯(r+1)r从r+k-1开始，k个间隔为1的数相乘k!=(-1)kr+k-1k,k=0,1,2,…所以：-12k=(-1)kk-12k=(-1)kk-12k-32⋯12k!=(-1)k(2k-1)!!2kk!=(-1)k(2k-1)!!2kk!(2k)!!2kk!=(-1)k(2k)!22k(k!)2(2)0∞-axJ0(bx)x=1a2+b2称为Lipschitz公式成立的条件为：Rea0且Re(a±b)≥0（尽管这里只对ab0情况进行证明。）对复数a,b，多值函数a2+b2取a+a2+b2b的分枝Integrate[-axBesselJ[0,bx],{x,0,∞},Assumptions{Re[a]0}]ConditionalExpression1a1+b2a2,Re[a]≥Abs[Im[b]]14.2Bessel函数的递推关系递推关系当然，可以类似于Legendre，从生成函数导出递推关系。只是这种做法仅适用于整数阶Bessel函数。对一般Bessel函数，通常从级数表示出发，导出递推关系。Bessel函数最基本的递推关系为：4z14a.nbx[xvJv(x)]=xvJv-1(x)x[x-vJv(x)]=-x-vJv+1(x)(1.2)以下基于级数表示给出证明。x[xvJv(x)]=xxvk=0∞(-1)kk!Γ(k+v+1)x22k+v级数内闭一致收敛，可逐项求导=k=0∞(-1)k(2k+2v)k!Γ(k+v+1)x2k+2v-1122k+v,利用：Γ(k+v+1)=(k+v)Γ(k+v)=xvk=0∞(-1)kk!Γ(k+v)x22k+v-1=xvJv-1(x)x[x-vJv(x)]=xx-vk=0∞(-1)kk!Γ(k+v+1)x22k+v级数内闭一致收敛，可逐项求导=k=1∞(-1)k2kk!Γ(k+v+1)x2k-1122k+v,注意因为有2k因子，求和指标k可从1开始=-x-vk′=0∞(-1)k′k′!Γ(k′+v+1+1)x22k′+v+1其中k=k′+1=-x-vJv+1(x)由基本递推关系(1.2)得：x[xvJv(x)]=xvJv-1(x)x[x-vJv(x)]=-x-vJv+1(x)⟹νxv-1Jv(x)+xνJv′(x)=xvJv-1(x)-νx-v-1Jv(x)+x-νJv′(x)=-x-vJv+1(x)⟹νJv(x)+xJv′(x)=xJv-1(x)-νJv(x)+xJv′(x)=-xJv+1(x)分别消去Jv和Jv′，可得两个递推关系：Jv-1(x)-Jv+1(x)=2Jv′(x)Jv-1(x)+Jv+1(x)=2vxJv(x)令v=0，可得：-J1(x)=J0′(x)(1.3)注意上式对任意阶数v成立。由第二类Bessel函数Nv(x)的定义：Nv(x)=(cosvπ)Jv(x)-J-v(x)sinvπ可得Nv(x)满足相同的递推关系：x[xvNv(x)]=xvNv-1(x)x[x-vNv(x)]=-x-vNv+1(x)和Nv-1(x)-Nv+1(x)=2Nv′(x)Nv-1(x)+Nv+1(x)=2vxNv(x)(1.4)柱函数满足以下递推关系的函数x[xvZv(x)]=xvZv-1(x)x[x-vZv(x)]=-x-vZv+1(x)称为柱函数☺例1.试证明柱函数必满足Bessel方程，反之不然。证明：类似于Legendre函数，现在需要从递推关系导出微分方程。z14a.nb5由柱函数的定义（递推关系）可得：(1)vZv(x)+xZv′(x)=xZv-1(x)(2)-vZv(x)+xZv′(x)=-xZv+1(x)有(1),(2)消去Zv′得：Jv+1(x)=2vxJv(x)-Jv-1(x)递推关系中最大与最小下标差2，Jv应该满足二阶微分方程。为此(2)式对x求导得：-vZv′(x)+Zv′(x)+xZv″(x)=-Zv+1(x)-xZv+1′(x)(1)式v⟶v+1得：(v+1)Zv+1(x)+xZv+1′(x)=xZv(x)上两式消去Zv+1′得：