复旦数学物理方法课件15正交函数及其物理应用

15正交函数及其物理应用在球坐标和柱坐标系，Helmholtz方程分离变量，得到微分方程，分别为∇2w(r,θ,ϕ)+λw(r,θ,ϕ)=0w(r,θ,ϕ)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)Φ″+γΦ=01sinθθ(sinθΘ′)+l(l+1)−γsin2θΘ=0rr2R′+λr2−l(l+1)R=0∇2w(ρ,ϕ,z)+λw(ρ,ϕ,z)=0w(ρ,ϕ,z)=R(ρ)Φ(ϕ)Z(z)Z″+μZ=0Φ″+γΦ=0ρ2R″+ρR′+(λ−μ)ρ2−γR=0前面我们较为详细地讨论了两个蓝色的方程，分别对应于Legendre方程与Bessel方程。其中紫色显示的是由边界条件或自然条件或周期条件确定的分离变量常数。物理上的方程当然不局限于Helmholtz方程。其它方程类似地也会遇到一个由边界条件或自然条件或周期条件来确定（分离变量）常数的常微分方程这类方程有一些共同的特征：具有生成函数、递推关系、正交、完备、微分积分表示等等。数学家们总喜欢归纳成一类数学问题，这就是Sturm-Liouville问题。为此，在讨论其它正交函数之前，我们先讨论Sturm-Liouville问题及其解的一般性质。15.1Sturm-Liouville方程具有以下形式的常微分方程，称为Sturm-Liouville方程xp(x)yx−q(x)y+λw(x)y=0其中：λ为待定常数，函数y(x)定义于a≤x≤b并且在端点a,b满足某种边条（Sturm−Liouville边条，以下会讨论）由边条确定常数λ的允许取值（以免微分方程仅有平庸解，即0解）☺例1.Legendre方程x1−x2yx+l(l+1)y=0该方程显然是Sturm−Liouville方程的特殊情况，相当于Sturm−Liouville方程中p(x)=1−x2,q(x)=0,w(x)=1,λ=l(l+1)☺例2.Bessel方程x2y′′+xy+x2−m2y=0⟹xxyx+x−m2xy=0好像属Sturm−Liouville方程，怎么没有“分离变量”常数？（m不由此方程确定）再回头看该方程从分离变量中得到的原始形式：ρ2R″+ρR′+(λ−μ)α2ρ2−m2R=0⟹ρρRρ+α2ρ−m2ρR=0比较Sturm−Liouville方程：xp(x)yx−q(x)y+λw(x)y=0原来对应于：p(x)=x,q(x)=m2x,w(x)=x,λ=α2果然逃不过Sturm−Liouville物理上的许多问题，都可以化为Sturm-Liouville方程：xp(x)yx−q(x)y+λw(x)y=0。为简化起见，把它改写成：ℒy〉=−λwy〉,其中：ℒ=xp(x)x−q(x)是个算符。这种形式看起来似乎很爽，特像量子力学。特别是将函数y(x)写成y〉形式。这个形式看起来怎么有点眼熟，试着令w=−1看看——原来是个本征值问题。这就对了，我们已把Sturm-Liouville方程写成：广义本征值问题的形式——怪不得我们把它称为微分方程的本征值问题。满足ℒym〉=−λmwym〉的非平庸函数ym〉=ym(x)称为Sturm-Liouville本征值问题中对应于本征值λm的本证函数。现在，我们就可证明在一定条件下，Sturm-Liouville方程对应于不同本征值的本证函数正交。abym(x)yn(x)w(x)x=0ifλm≠λn证明：出发点，当然是Sturm−Liouville方程ℒym〉=−λmwym〉⟹xp(x)ymx−q(x)ym+λmw(x)ym=0(1)xp(x)ynx−q(x)yn+λnw(x)yn=0(2)(1)×yn−(2)×ym得：ynxp(x)ymx−ymxp(x)ynx=−(λm−λn)w(x)ymyn两边同时积分，并利用分部积分：abynxp(x)ymxx=ynp(x)ymxab−abp(x)ynxymxx得：ynp(x)ymx−ymp(x)ynxab=−(λm−λn)abw(x)ymynx如果yn,ym满足适当的边界条件（上式左边为0），则有：abw(x)ymynx=0——Sturm−Liouville算符不同本征值的本证函数正交其中：w(x)称为权函数那么，什么条件才能保证上式中紫色部分为0？ynp(x)ymx−ymp(x)ynxab=0？？——Sturm–Liouville边条2z15a.nb也即确保Sturm-Liouville算符不同本征值的本证函数正交？1.最简单的，是问题在两端点a,b满足以下三者之一：y(a)=y(b)=0Dirichlet齐次边条y′(a)=y′(b)=0Neumann齐次边条y(a)+αy′(a)=y(b)+βy′(b)=0Robin齐次边条证明这三类齐次边条可写成：α1ym(a)+α2ym′(a)=0α1yn(a)+α2yn′(a)=0这是一个关于(α1,α2)的二元一次方程组，α1,α2不同时为0故：ym(a)ym′(a)yn(a)yn′(a)=0⟹(ynym′−ymyn′)x=a=0满足Sturm–Liouville边条2.当然，周期边条也行：y(a)=y(b)y′(a)=y′(b)且p(a)=p(b)3.“还有还有，那梦中的橄榄树”：自然边条p(a)=p(b)=0，不过，这时x=a,b是Sturm−Liouville方程：xp(x)yx−q(x)y+λw(x)y=0的奇点——不能保证方程的解y(x)在端点一定有限因此需要自然边界条件才能确定本征值。Legendre方程就属此类。通常，若a,b为有限，由以上这些边界条件确定的本征值构成半无限的可数集合。可数集合：集合中的元素能与正整数或正整数的一个子集建立一一对应关系。有限个元素的集合一定是可数集合，有理数构成的集合也是可数集合。形象一点（不那么严谨）地说：就是本征值是分立的。如Legendre方程中l取正整数，又如Bessel方程中取Bessel函数的根（也是分立的）。数学上还可以证明：Sturm−Liouville算符构成区域a≤x≤b内分段连续函数f(x)正交完备归一的基函数，即：f(x)=n=0∞cnyn(x),cn=abf(t)yn(t)t级数：n=0∞cnyn(x)平均收敛于f(x)，即满足：limN∞abf(x)−n=0Ncnyn(x)2x=0换言之，f(x)≠n=0∞cnyn(x)的点构成的集合的测度为0◼关于测度的讨论：abf(x)2x=0是否等价于f(x)=0?假设函数f(x)定义于闭区间[0,1]，f(x)=1当x为有理数时0当x为无理数时显然，f(x)不恒等于001f(x)x=?z15a.nb3Rieman积分：不存在上积分：f(x)x=kΔximax[f(x)]xi≤x≤xi+Δxi=1下积分：f(x)x=kΔximin[f(x)]xi≤x≤xi+Δxi=0上下积分不相等，积分不存在。Lebesgue积分：存在，积分值为0，因为f(x)≠0的点构成的集合的测度为0。既然f(x)仅在有理数上为1，就可以按以下做法，将这些函数值不为0的点都覆盖住任取一个宽度为ε的小纸片，对第一个f(x)≠0的点撕下一半盖住，再撕一半盖住第二个f(x)≠0的点，可以一直做下去，盖住所有f(x)≠0的可数点集如此，我们只用一张宽度为ε的小纸片，盖住了所有f(x)≠0的点。而这张小纸片的宽度ε可以任意小，因此其测度为0。因此Lebesgue积分为0。综上：limN∞abf(x)−n=0Ncnyn(x)2x=0表明f(x)=n=0∞cnyn(x)并非在a≤x≤b区间上的每一点都成立，但f(x)≠n=0∞cnyn(x)的点集测度为0。1.Sturm-Liouville算符的自伴性及其性质若实函数，u〉,v〉满足Sturm–Liouville边条：vp(x)ux−up(x)vxab=0定义两函数的内积为：〈uv〉≡abu(x)v(x)x观察：〈uℒv〉，注意这里算符作用于它右边的函数且ℒ=xp(x)x−q(x)〈uℒv〉≡abu(x)ℒv(x)x=abu(x)xp(x)v(x)xx−abu(x)q(x)v(x)x=−p(x)vux−p(x)uvxabSturm–Liouville边条+abv(x)xp(x)u(x)xx−abv(x)q(x)u(x)x=abv(x)ℒu(x)x=〈vℒu〉故：Sturm–Liouville算符ℒ是自伴的(self-adjoint)，称为自伴算符若u〉,v〉为复函数，定义内积：〈uv〉≡abu*(x)v(x)x若复算符ℋ满足uℋv=vℋu*即：abu*(x)ℋv(x)x=abv(x)ℋ*u*(x)x则称算符ℋ是厄米算符。实函数的自伴算符是厄米算符的特殊形式。因而厄米算符的性质，自伴算符也都满足。数学上可以证明：厄米算符，有以下性质1.本征值都是实的4z15a.nb2.不同本征值的本证函数正交3.本证函数构成完备基函数这些性质与厄米矩阵的性质类似，只不过厄米算符相当于无穷阶的厄米矩阵因而，我们有以下结论：对实函数，Sturm−Liouville算符满足上述三个性质。自伴算符相当于无穷阶的实对称矩阵，因为基函数是无穷维的。自伴算符是厄米算符的特殊形式，正如实对称矩阵是厄米矩阵的特殊形式除了厄米算符的三个重要性质外，Sturm-Liouville算符还有一重要性质，即：4.若p(x),q(x),w(x)在区间[a,b]均为非负，则本征值必为非负。证明对本证函数yn，有ℒyn〉=−λnwyn〉⟹xp(x)ynx−q(x)yn+λnw(x)yn=0两边乘yn并积分，得：I=λnabw(x)yn2x=abq(x)yn2x−abynxp(x)ynxx第二项分部积分=−p(x)ynyn′ab+abp(x)yn′2xI=abq(x)yn2x+abp(x)yn′2x+p(a)yn(a)yn′(a)−p(b)yn(b)yn′(b)≥p(a)yn(a)yn′(a)−p(b)yn(b)yn′(b)=J即：I≥J对周期边条、自然边条p(a)=p(b)=0和第一、第二类齐次边条，易证：J=0对第三类齐次边条：αyn(a)+yn′(a)=0βyn(b)+yn′(b)=0第三类齐次边条的特性：β0,α0J=−αp(a)yn2(a)+βp(b)yn2(b)0故：总有I≥J≥0，即：λnabw(x)yn2x≥0⟹λn≥02.一般二阶常微分方程化为Sturm-Liouville方程Sturm-Liouville方程具有以下形式xp(x)yx−q(x)y+λw(x)y=0故：Legendre方程：x1−x2yx+l(l+1)y=0Bessel方程：ρρRρ+α2ρ−m2ρR=0均可视为其特例但一般的二阶线性齐次常微分方程并不满足如下Sturm-Liouville方程的形式p(x)y′′+p′(x)y′−q(x)y+λw(x)y=0二阶导数项的系数：p(x)而一阶导数项的系数：p′(x)Sturm-Liouville算符的性质对于一般二阶线性常微分方程，能否适用？一般分离变量得到的二阶线性常微分方程总可以写成如下形式：f(x)2yx2+g(x)yx+h(x)y=−λw(x)yz15a.nb5（分离变量常数不出现在导数项的系数中）写成算符形式：ℒ′y〉=−λw(x)y〉,ℒ′=f(x)2x2+g(x)x+h(x)应化为：p(x)2x2+p′(x)x−q(x)形式。比较：2yx2+g(x)f(x)yx+h(x)f(x)y=−λw(x)f(x)y一般二阶线性常微分方程2yx2+p′(x)p(x)yx−