复旦数学物理方法课件16格林函数初窥

16格林函数初窥电磁学中的静电势在r′处的点电荷，在空间r的电势：φ(r)=qr-r′电荷分布ρ(r′)，在空间r的电势：φ(r)=ρ(r′)τ′qr-r′物理内涵：叠加原理数学基础：线性问题隐含的边界条件：r0时，φ(r)=0另一个角度看：空间电势满足：Poisson方程：∇2φ(r)=-4πρ(r′)——非齐次微分方程边界条件：r0时，φ(r)=0微分方程的非齐次项来自：源（外部激发）求解的问题是线性问题，应满足叠加原理：将所有“源”的贡献加起来φ(r)=Gr,r′ρ(r′)τ′对静电势问题：Gr,r′=1r-r′，Gr,r′是一个点电荷的静电势。一般情况下，问题：一般非齐次微分方程的解，是否都可以写成：φ(r)=Gr,r′ρ(r′)τ′其中：ρ(r′)为非齐次项。Ifso,紧接着的问题是：1.求Gr,r′是否比直接求解非齐次微分方程简单2.如何求：Gr,r′，或者：Gr,r′应满足什么微分方程与边界条件？3.Gr,r′的物理意义？在静电势问题上，Gr,r′是一个点电荷的静电势，对一般问题，Gr,r′应该是单位“源”导致的响应，效果。这些问题，导致了Green函数理论。所以，Green函数理论是求解非齐次线性微分方程（偏微分方程）的一种方法。带着这些问题，我们从最简单的一维情况出发来讨论。16.1一维情况toymodel围绕以上三个问题，看最简单的常微分方程，写成Sturm-Liouville形式xp(x)yx-q(x)y=f(x)——注意非齐次项在物理上常来自“源”我们已经讨论过，一般的二阶线性常微分方程，总可以化成这种形式。写成算符形式：ℒ=xp(x)x-q(x),ℒy(x)=f(x)假设函数定义于：a≤x≤b，别忘了还有边条：边界条件：α1y(a)+α2y′(a)=0β1y(b)+β2y′(b)=0(1.1)记得我们是要把解写成以下形式：y(x)=abG(x,x′)f(x′)x′，G(x,x′)称为Green函数(1.2)以下我们要求Green函数，当让应该导出Green函数应该满足的微分方程与边界条件。显然，如果Green函数G(x,x′)也满足如下边界条件，则由(1.2)给出的y(x)必满足边界条件(1.1)α1G(a,x′)+α2G′(a,x′)=0β1G(b,x′)+β2G′(b,x′)=0注意此边条与x′无关，只要a≤x′≤b(1.3)未得到Green函数G(x,x′)满足的微分方程，将算符ℒ作用于(1.2)两边，记得y(x)满足微分方程：ℒy(x)=f(x)得：左边=ℒy(x)=f(x)右边=ℒabG(x,x′)f(x′)x′=ab[ℒG(x,x′)]f(x′)x′记得ℒ只作用于x左边=右边⟹f(x)ab[ℒG(x,x′)]f(x′)x′⟹ℒG(x,x′)=δ(x-x′)格林函数G(x,x′)的微分方程与边界条件为：ℒG(x,x′)=xp(x)G(x,x′)x-q(x)G(x,x′)=δ(x-x′)α1G(a,x′)+α2G′(a,x′)=0β1G(b,x′)+β2G′(b,x′)=0与原非齐次微分方程问题相比：xp(x)yx-q(x)y=f(x)α1y(a)+α2y′(a)=0β1y(b)+β2y′(b)=0出别在非齐次项（蓝色部分）。那么，格林函数G(x,x′)的微分方程是否比原问题更容易求解？首先，格林函数G(x,x′)满足的微分方程在x≠x′时退化为齐次方程！应该比原方程容易求解。其次，格林函数G(x,x′)与非齐次项f(x)无关，物理上非齐次项表明外界的扰动，因而格林函数G(x,x′)应该反映系统本身的响应性质。数学上，只要求出格林函数G(x,x′)，不同的非齐次项f(x)，只需将它带入同一个积分即可。y(x)=abG(x,x′)f(x′)x′接下来，我们讨论如何求解格林函数G(x,x′)满足的微分方程：xp(x)G(x,x′)x-q(x)G(x,x′)=δ(x-x′)如前所述，格林函数G(x,x′)的微分方程在x≠x′时退化为齐次方程，相对容易，为此我们假设xx′时：G(x,x′)=G1(x,x′)xx′时：G(x,x′)=G2(x,x′)那么在x=x′时如何连接？一个合理的假设是：G(x,x′)在区间a≤x≤b连续，即limxx′G1(x,x′)=limxx′G2(x,x′)2z16a.nb接着，将格林函数G(x,x′)的微分方程对x从x′-ϵ到x′+ϵ积分xp(x)G(x,x′)x-q(x)G(x,x′)=δ(x-x′)两边对x从x′-ϵ到x′+ϵ积分p(x)G(x,x′)xx′-ϵx′+ϵ=1利用了q(x)，G(x,x′)在x′连续，limϵ0x′-ϵx′+ϵq(x)G(x,x′)x=0limxx′G2(x,x′)x-limxx′G1(x,x′)x=1p(x′)小结：构造格林函数1.由齐次方程：xp(x)G(x,x′)x-q(x)G(x,x′)=0构造：xx′：G(x,x′)=G1(x,x′)xx′：G(x,x′)=G2(x,x′)2.由边界条件：α1G(a,x′)+α2G′(a,x′)=0β1G(b,x′)+β2G′(b,x′)=0及limxx′G1(x,x′)=limxx′G2(x,x′)limxx′G2(x,x′)x-limxx′G1(x,x′)x=1p(x′)确定4个待定常数☺例：构造以下非齐次微分方程和边界条件的格林函数y′′-k2y=f(x),0≤x≤Ly(0)=y(L)=0,解：格林函数满足的方程：2G(x,x′)x2-k2G(x,x′)=δ(x-x′)x≠x′时，退化为齐次方程：xx′：G1(x,x′)=A1-kx+A2kxxx′：G2(x,x′)=B1-kx+B2kx由边界条件：G1(0,x′)=G2(L,x′)=0⟹A1+A2=0B1-kL+B2kL=0⟹G(x,x′)=G1(x,x′)=A-kx-Akx0xx′G2(x,x′)=B-kx-Bkx-2kLx′xL利用：limxx′G1(x,x′)=limxx′G2(x,x′)limxx′G2(x,x′)x-limxx′G1(x,x′)x=1p(x′)=1解得G(x,x′)=G1(x,x′)=-sinh(kx)sinh(kL-kx′)ksinh(kL)0xx′G2(x,x′)=-sinh(kx′)sinh(kL-kx)ksinh(kL)x′xL格林函数可改写成如下形式G(x,x′)=u(x)v(x′)0xx′u(x′)v(x)x′xL分离变量？这其实反映了互易性质(reciprocity)：G(x,x′)=G(x′,x)从物理上理解：G(x,x′)其实是在空间x′处的点源，在空间另一点x的效应G(x′,x)其实是在空间x处的点源，在空间另一点x′的效应对一般体系，两者当然满足互易性质。格林函数仅依赖于微分方程与边条，与非齐次项（外源）无关一旦求得格林函数，非齐次微分方程的解表为：y(x)=0LG(x,x′)f(x′)x′z16a.nb3g1=A-kx-Akx;g2=B-kx-Bkx-2kL;eq1=(g1/.xt)-(g2/.xt);eq2=(D[g2,x]/.xt)-(D[g1,x]/.xt)-1;sol=Solve[{eq10,eq20},{A,B}];sol=Simplify[%[[1]]];g1s=Simplify[g1/.sol];g2s=Simplify[g2/.sol];g1s=Simplify[ExpToTrig[g1s]];g2s=Simplify[ExpToTrig[g2s]];g1s//TraditionalFormg2s//TraditionalFormDSolve[y''[x]-k2y[x]DiracDelta[x-t],y,x];G=Simplify[y[x]/.%[[1]]];G1=Simplify[G,xt];G2=Simplify[G,xt];eq1=(G1/.x0);eq2=(G2/.xL);sol=Solve[{eq10,eq20},{C[1],C[2]}];sol=Simplify[%[[1]]];G=Simplify[G/.sol];G1s=Simplify[G1/.sol];G2s=Simplify[G2/.sol];G1s=Simplify[ExpToTrig[G1s]];G2s=Simplify[ExpToTrig[G2s]];Simplify[g1s-G1s]Simplify[g2s-G2s]-csch(kL)sinh(kx)sinh(k(L-t))k-csch(kL)sinh(kt)sinh(k(L-x))k004z16a.nbClear[f]f[x_]:=x;DSolve[y''[x]-k2y[x]f[x],y,x];ys=Simplify[y[x]/.%[[1]]];eq1=ys/.x0;eq2=ys/.xL;sol=Solve[{eq10,eq20},{C[1],C[2]}];ys=Simplify[ys/.sol[[1]]]yt=Integrate[Gf[t],{t,0,L}];Simplify[ys-yt,{0xL}]-k(L-x)L+k(L+x)L+x-2kLx(-1+2kL)k2016.2偏微分方程的格林函数现在，再进一步，来看偏微分方程。多变量ℒu(r)=-4πρ(r)这里ℒ是微分算符，暂时认为r代表偏微分方程的3个空间变量。假设函数定义于区域D，边界为B。满足一定的边界条件。例如：ℒ=∇2+k2Helmholtz算符ℒ=∇2Laplace算符现在，我们假设这些算符的格林函数Gr,r′为：ℒ′Gr,r′=-4πδr-r′故，对应到微分方程与格林函数满足的微分方程改写为ℒ′u(r′)=-4πρ(r′)(1)ℒ′Gr,r′=-4πδr-r′(2)这里认为算符ℒ′所用于空间变量r′。4π因子仅为讨论方便。Gr,r′×(1)-u(r′)×(2)并对r积分，得：DGr,r′ℒ′u(r′)-u(r′)ℒ′Gr,r′3r′=-4πDGr,r′ρ(r′)3r′+4πDδr-r′u(r)3r′⟹u(r)=DGr,r′ρ(r′)3r′+14πDGr,r′ℒ′u(r′)-u(r′)ℒ′Gr,r′3r′假设算符具有Sturm-Liouville形式：ℒ=∇·p(r)∇-q(r)或ℒ′=∇′·p(r′)∇′-q(r′)u(r)=DGr,r′ρ(r′)3r′+14πDGr,r′ℒ′u(r′)-u(r′)ℒ′Gr,r′3r′=DGρ3r′+14πD[G∇′·(p∇′u)-u∇′·(p∇′G)]3r′z16a.nb5=DGρ3r′+14πD∇′·[Gp∇′u-up∇′G]3r′u(r)=DGρ3r′+14πBn·[pG∇′u-pu∇′G]σ′上式表明只要按：ℒ′Gr,r′=-4πδr-r′求出格林函数，则原非齐次微分方程：ℒu(r)=-4πρ(r)的解u(r)可由格林函数及边界条件确定。但同时，上式似乎表明，要求得非齐次微分方程：ℒu(r)=-4πρ(r)的解u(r)，不仅需要非齐次项ρ(r)，还需要u(r)在边界上的值并且其边界上的法向导数n·∇′u这似乎有点超定了，因为对这类椭圆形偏微分方程，我们知道定解条件是Dirichlet或Neu