2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测二十倍角公式

第1页共5页课时跟踪检测（二十）倍角公式A级——学考水平达标练1．若tanθ＝－13，则cos2θ等于()A．－45B．－15C.15D．45解析：选D若tanθ＝－13，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D．79解析：选A将sinα－cosα＝43的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝169，即sin2α＝－79.3．计算：sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°2tan22.5°＝()A.12B．1C.3D．2解析：选B原式＝sin90°－tan222.5°2tan22.5°＝1－tan222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.4．化简sin2x2cosx1＋tanx·tanx2＝()A．cosxB．tanxC．sinxD．12sin2x解析：选B原式＝2sinxcosx2cosx1＋sinxcosx·sinx2cosx2＝sinxcosxcosx2＋sinxsinx2cosxcosx2＝sinx·cosx2cosxcosx2＝sinxcosx＝tanx.第2页共5页5．已知x∈－π2，0，cosx＝45，则tan2x等于()A.724B．－724C.247D．－247解析：选D由cosx＝45，x∈－π2，0，得sinx＝－35，所以tanx＝－34，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝2×－341－－342＝－247，故选D.6．已知sinπ4－x＝35，则sin2x的值为________．解析：sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝1－2sin2π4－x＝725.答案：7257．已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝_______，b＝________.解析：2cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，故A＝2，b＝1.答案：218．已知sin2θ＝34，则cos2θ－π4＝________.解析：cos2θ－π4＝1＋cos2θ－π42＝1＋cos2θ－π22＝1＋sin2θ2，∵sin2θ＝34，∴cos2θ－π4＝1＋342＝78.答案：789．求值：sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°.解：∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，第3页共5页cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.10．已知函数f(x)＝cos2x＋π3＋sin2x－cos2x＋23sinxcosx.(1)化简f(x)；(2)若f(α)＝17，2α是第一象限角，求sin2α.解：(1)f(x)＝12cos2x－32sin2x－cos2x＋3sin2x＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.(2)∵f(α)＝sin2α－π6＝17，2α是第一象限角，即2kπ2α2kπ＋π2(k∈Z)，∴2kπ－π62α－π62kπ＋π3(k∈Z)，∴cos2α－π6＝437，∴sin2α＝sin2α－π6＋π6＝sin2α－π6·cosπ6＋cos2α－π6·sinπ6＝17×32＋437×12＝5314.B级——高考水平高分练1．已知tanx＝12，则sin2π4＋x＝()A.110B.15C.35D．910解析：选D因为tanx＝12，所以sin2π4＋x＝1－cosπ2＋2x2＝1＋sin2x2＝12＋sinxcosxsin2x＋cos2x＝12＋tanxtan2x＋1＝12＋25＝910.2．设sinπ6＋θ＝23，则sin2θ－π6＝()A．－79B．－59C.59D．79第4页共5页解析：选B因为sinπ6＋θ＝23，所以sin2θ－π6＝sin2θ＋π3－π2＝－cos2θ＋π3＝－1－2sin2π6＋θ＝－59.3．函数f(x)＝sin2x－π4－22·sin2x的最小正周期是________．解析：f(x)＝sin2x－π4－22sin2x＝22sin2x－22cos2x－22×1－cos2x2＝22sin2x＋22cos2x－2＝sin2x＋π4－2，故该函数的最小正周期是2π2＝π.答案：π4．已知α，β均为锐角，且tanα＝7，cosβ＝255，则α＋2β＝________.解析：∵β为锐角，且cosβ＝255，∴sinβ＝55，∴tanβ＝12，则tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43.∵tanα＝7，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝7＋431－7×43＝253－253＝－1.由α，β为锐角，可得α＋2β＝3π4.答案：3π45．已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋x·sin2π4－x.(1)求f－1712π的值；(2)当x∈0，π2时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．解：f(x)＝4cos4x－2cos2x－1tanπ4＋x·sin2π4－x第5页共5页＝41＋cos2x22－2cos2x－1tanπ4＋x·cos2π4＋x＝cos22xsinπ4＋x·cosπ4＋x＝cos22x12sinπ2＋2x＝cos22x12cos2x＝2cos2x.(1)f－1712π＝2cos17π6＝2cos5π6＝－3.(2)g(x)＝12f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.因为x∈0，π2，所以π4≤2x＋π4≤5π4，所以g(x)max＝2，g(x)min＝－1.6.如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进103m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．解：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30m.又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，∴AD＝CD＝103m.∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin4θ＝103sin4θ(m)，在Rt△ACE中，AE＝AC·sin2θ＝30sin2θ(m)，∴103sin4θ＝30sin2θ，即203sin2θcos2θ＝30sin2θ，∴cos2θ＝32，又2θ∈0，π2，∴2θ＝π6，∴θ＝π12，∴AE＝30sinπ6＝15(m)，∴θ＝π12，建筑物AE的高为15m.